七年级下册不等式组计算题怎么解？

下面我为你整理了 核心知识点、解题步骤、典型例题 和 专项练习题，希望能帮你彻底搞懂！

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核心知识点回顾

1. 一元一次不等式组

   
   （图片来源网络，侵删）
   • 定义：由含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组。
   • 解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分。
   • 解不等式组：求不等式组解集的过程。

2. 解集的确定方法（数轴法 - 最直观！）

   • 将每个不等式的解集在数轴上表示出来。
   • 找出这些解集在数轴上重叠的部分，这个重叠部分就是不等式组的解集。
   • 如果没有重叠部分,则称这个不等式组无解。

3. 口诀法（快速判断） 记住这个口诀，可以快速写出解集（前提是 x 的系数都为正）： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。

   • 同大取大：如 x > 2 和 x > 5，解集是 x > 5。
   • 同小取小：如 x < 3 和 x < 7，解集是 x < 3。
   • 大小小大中间找：如 x > 2 和 x < 7，解集是 2 < x < 7。
   • 大大小小无解了：如 x > 5 和 x < 2，解集是无解。

4. 解集的表示

   • 用不等式表示：如 x > 1，2 ≤ x < 4。
   • 用数轴表示：空心圆圈表示不包含该点（<, >），实心圆点表示包含该点（），射线方向表示解集的范围。

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解题步骤（五步法）

1. 求：分别求出不等式组中每一个不等式的解集。
2. 画：将求出的每一个解集在同一个数轴上表示出来。
3. 找：找出数轴上各个解集的公共部分。
4. 写：根据公共部分，写出不等式组的解集。
5. 查：检查解集是否正确，尤其是“无解”的情况。

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典型例题与解析

基础求解题

例1：解不等式组 $$ \begin{cases} 2x - 1 > x + 1 \ \frac{1}{2}x - 1 \le 3 \end{cases} $$

解析：

1. 求：

   • 解不等式 2x - 1 > x + 1： 2x - x > 1 + 1 x > 2
   • 解不等式 (1/2)x - 1 ≤ 3： (1/2)x ≤ 3 + 1 (1/2)x ≤ 4 x ≤ 8

2. 画：在数轴上表示 x > 2 和 x ≤ 8。

   • x > 2：从2出发向右的射线，2处是空心圆圈。
   • x ≤ 8：从8出发向左的射线，8处是实心圆点。

3. 找：两个解集的重叠部分是大于2且小于等于8。

   
   （图片来源网络，侵删）

4. 写：不等式组的解集是 2 < x ≤ 8。

答案： 2 < x ≤ 8

(这是一个示意图，帮你理解数轴画法)

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无解问题

例2：解不等式组 $$ \begin{cases} x - 3 > 2x \ 3x + 1 < 4 \end{cases} $$

解析：

1. 求：

   • 解不等式 x - 3 > 2x： -3 > 2x - x -3 > x (即 x < -3)
   • 解不等式 3x + 1 < 4： 3x < 4 - 1 3x < 3 x < 1

2. 画：在数轴上表示 x < -3 和 x < 1。

   • x < -3：从-3出发向左的射线，-3处是空心圆圈。
   • x < 1：从1出发向左的射线，1处是空心圆圈。

3. 找：两个解集的重叠部分是 x < -3。

4. 写：不等式组的解集是 x < -3。

答案： x < -3

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特殊解问题（求整数解、非负整数解等）

例3：求不等式组 3x - 1 < 2(x + 9) 和 x - 1 > \frac{x + 1}{3} 的所有整数解。

解析：

1. 先求出不等式组的解集：

   • 解 3x - 1 < 2(x + 9)： 3x - 1 < 2x + 18 3x - 2x < 18 + 1 x < 19
   • 解 x - 1 > \frac{x + 1}{3}： 3(x - 1) > x + 1 (两边同乘3，3是正数，不改变不等号方向) 3x - 3 > x + 1 3x - x > 1 + 3 2x > 4 x > 2

2. 确定解集：

   • 解集为 2 < x < 19。

3. 寻找整数解：

   • 在 2 < x < 19 范围内的整数有：3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18。

答案： 所有整数解为 3, 4, 5, ..., 18。

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应用题

例4：将若干本书分给几名学生，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分8本，则最后一名学生分到的书不足8本，求学生人数和书的总数。

解析：

1. 设未知数：

   • 设学生有 x 人，书有 y 本。

2. 列不等式组：

   • 根据“每人分3本，剩余20本”得：y = 3x + 20。
   • 根据“每人分8本，最后一名学生分到的书不足8本”：
     • 前 x-1 名学生分了 8(x-1) 本。
     • 最后一名学生分到的书是 y - 8(x-1) 本。
     • 这个数大于0且小于8：0 < y - 8(x-1) < 8。

3. 代换求解：

   • 将 y = 3x + 20 代入第二个不等式： 0 < (3x + 20) - 8(x - 1) < 8
   • 化简不等式组： 0 < 3x + 20 - 8x + 8 < 8 0 < -5x + 28 < 8
   • 将这个复合不等式拆成两个不等式：
     • -5x + 28 > 0 => -5x > -28 => x < 5.6
     • -5x + 28 < 8 => -5x < -20 => x > 4
   • 得到 x 的范围：`4 < x < 5.6