七年级下册数学知识点汇总，有哪些重点难点？

七年级下册数学核心知识点汇总

七年级下册数学的主要内容可以概括为 “三大核心板块” 和 “两大工具”。

• 三大核心板块：

  
  （图片来源网络，侵删）
  1. 实数：从有理数扩展到更广阔的数系。
  2. 相交线与平行线：平面几何的基础，研究角、直线的位置关系。
  3. 平面直角坐标系：用代数方法研究几何图形的工具。

• 两大工具：

  1. 二元一次方程组：解决含有两个未知数问题的核心工具。
  2. 不等式与不等式组：解决现实世界中“大小关系”问题的工具。

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第一章 实数

本章是在七年级上册有理数基础上的扩展,引入了无理数，将数域从有理数扩展到实数。

第一节 平方根

1. 算术平方根：
   • 定义：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x² = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根，记作 √a。
   • 性质：
     • 0 的算术平方根是 0。
     • a 的算术平方根 √a 是一个非负数（即 √a ≥ 0）。
     • (√a)² = a (a ≥ 0)。
2. 平方根：
   • 定义：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x² = a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根（或二次方根），记作 ±√a。
   • 性质：
     • 一个正数有两个平方根,它们互为相反数。
     • 0 的平方根是 0。
     • 负数没有平方根。
3. 开平方：
   • 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。a 叫做被开方数。
   • 注意：开平方与平方是互逆运算。

第二节 立方根

1. 定义：如果一个数 x 的立方等于 a，即 x³ = a，那么这个数 x 叫做 a 的立方根（或三次方根），记作 ³√a。
2. 性质：
   • 正数有一个正的立方根。
   • 0 的立方根是 0。
   • 负数有一个负的立方根。
   • 任何实数（正数、负数、0）都有且仅有一个立方根。
3. 开立方：
   • 求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算。

第三节 实数

1. 无理数：
   • 定义：无限不循环小数叫做无理数。
   • 常见类型：
     • 开方开不尽的数,如 √2, ³√5, √7 等。
     • 特定意义的常数,如圆周率 。
     • 有特定结构的无限不循环小数,如 1010010001...。
2. 实数：
   • 定义：有理数和无理数统称为实数。
   • 实数分类：

     实数
     ├── 有理数 (有限小数或无限循环小数)
     │   ├── 整数
     │   └── 分数
     └── 无理数 (无限不循环小数)

3. 实数的相关概念：
   • 数轴：数轴上的每一个点都唯一表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的一个点来表示。
   • 相反数：a 的相反数是 -a，在数轴上，它们位于原点两侧，且到原点的距离相等。
   • 绝对值：一个实数 a 的绝对值，记作 |a|。
     • |a| = a (当 a > 0 时)
     • |a| = 0 (当 a = 0 时)
     • |a| = -a (当 a < 0 时)
   • 大小比较：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

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第二章 相交线与平行线

本章是平面几何的入门,重点研究角、两条直线的位置关系以及平行线的判定和性质。

第一节 相交线

1. 邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，邻补角互补（和为180°）。
2. 对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。对顶角相等。
3. 垂线：
   • 定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。
   • 性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
   • 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

第二节 平行线及其判定

1. 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2. 三线八角模型：
   • 同位角：位置相同（F型）。
   • 内错角：内部两侧（Z型）。
   • 同旁内角：内部同侧（C/U型）。
3. 平行线的判定公理/定理：
   • 公理：同位角相等，两直线平行。
   • 定理1：内错角相等，两直线平行。
   • 定理2：同旁内角互补，两直线平行。

第三节 平行线的性质

1. 性质1：两直线平行，同位角相等。
2. 性质2：两直线平行，内错角相等。
3. 性质3：两直线平行，同旁内角互补。
4. 重要推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

第四节 平移

1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移。
2. 性质：
   • 平移不改变图形的形状和大小。
   • 连接各组对应点的线段平行且相等。
3. 作图：确定关键点的平移位置，再连接成新图形。

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第三章 平面直角坐标系

本章引入了坐标系,架起了连接代数与几何的桥梁。

第一节 平面直角坐标系

1. 坐标轴：平面内有两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴，铅直的数轴叫y轴。
2. 象限：坐标轴将平面分成四个部分，分别叫做第一、二、三、四象限。
3. 点的坐标：
   • 对于平面内任意一点P,过P点分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b，分别叫做点P的横坐标和纵坐标，有序数对 (a, b) 叫做点P的坐标。
   • 表示方法：(横坐标, 纵坐标)。

第二节 坐标方法的简单应用

1. 用坐标表示地理位置：选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向，建立坐标系，确定关键点的坐标。
2. 用坐标表示平移：
   • 图形平移：图形上的所有点的坐标都加上（或减去）同一个数。
   • 点平移：
     • 点 (x, y) 向右平移 a 个单位，得到点 (x+a, y)。
     • 点 (x, y) 向左平移 a 个单位，得到点 (x-a, y)。
     • 点 (x, y) 向上平移 b 个单位，得到点 (x, y+b)。
     • 点 (x, y) 向下平移 b 个单位，得到点 (x, y-b)。

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第四章 二元一次方程组

本章是七年级下册的重点和难点,是解决多变量问题的核心工具。

第一节 二元一次方程组

1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。
2. 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。
3. 检验：将一对数值代入原方程组，看是否满足所有方程。

第二节 二元一次方程组的解法

1. 代入消元法（代入法）：
   • 步骤：
     1. 从方程组中选一个系数较简单的方程,将其中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来。
     2. 将这个式子代入另一个方程,消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
     3. 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值。
     4. 将求得的未知数的值代回第一步得到的式子中,求出另一个未知数的值。
     5. 写出方程组的解。
2. **加减消元法（加减法）：
   • 步骤：
     1. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不互为相反数，也不相等，就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等。
     2. 将两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
     3. 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值。
     4. 将求得的未知数的值代回原方程组中的任意一个方程,求出另一个未知数的值。
     5. 写出方程组的解。

第三节 实际问题与二元一次方程组

1. 解题步骤：
   • 审题：理解题意，找出等量关系。
   • 设未知数：设两个未知数。
   • 列方程组：根据等量关系列出两个方程，组成方程组。
   • 解方程组：代入法或加减法求解。
   • 检验作答：检验答案是否符合题意，并写出完整的答案。

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第五章 不等式与不等式组

本章是方程的延伸,研究“不等”关系。

第一节 不等式

1. 不等式：用不等号（如 <, >, , , ）表示不等关系的式子。
2. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。
3. 不等式的解集：一个不等式的所有解的集合。
4. 解不等式：求不等式解集的过程。
5. 不等式的基本性质：
   • 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
   • 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
   • 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变！
6. 在数轴上表示不等式的解集：
   • > 表示向右画， 包括端点，画实心点。
   • < 表示向左画， 包括端点，画实心点。
   • < 或 > 不包括端点，画空心圈。

第二节 一元一次不等式

1. 定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。
2. 解法步骤：与解一元一次方程类似，但性质3中不等号方向要改变。

   去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

第三节 一元一次不等式组

1. 定义：含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
2. 不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分。
3. 解不等式组：求不等式组解集的过程。
4. 解法（口诀）：
   • 同大取大：两个不等式的解集都向右，取较大的那个。
   • 同小取小：两个不等式的解集都向左，取较小的那个。
   • 一大一小中间找：一个向左一个向右，取中间的部分。
   • 无解无处找：两个解集没有公共部分，则不等式组无解。
5. 用数轴确定解集：将每个不等式的解集在数轴上表示出来，重叠部分就是不等式组的解集。

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学习建议

1. 抓基础，重概念：实数的定义、平行线的判定与性质、方程（组）和不等式（组）的概念是后续学习的基础，务必理解透彻。
2. 勤思考，多总结：几何部分要多画图，通过图形理解抽象概念，代数部分要总结解方程（组）、解不等式（组）的通用步骤和易错点。
3. 善联系，建体系：将平面直角坐标系与几何图形、函数思想联系起来，体会数形结合的魅力。
4. 多练习，巧归纳：通过做题巩固知识点，并归纳常见题型和解题技巧，尤其是应用题的建模能力。

希望这份汇总能帮助你系统地复习七年级下册的数学知识！祝你学习进步！