人教版七年级下册数学概念有哪些重点？

人教版七年级下册数学核心概念总结

七年级下册的数学内容是初中代数的基石,重点从“数”的运算过渡到“式”的运算，并引入了“形”（平面直角坐标系）的研究，核心可以概括为：相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式与不等式组、数据的收集、整理与描述。

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第五章 相交线与平行线

本章是几何入门,主要研究在同一平面内两条直线的位置关系及相关性质。

基本概念

1. 相交线

   • 邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，邻补角互补（和为180°）。
   • 对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，对顶角相等。
   • 垂线：两条直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
   • 垂线性质：
     • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
     • 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。

2. 三线八角

   • 同位角：在两条直线（被截线）的同侧，在第三条直线（截线）的同侧。∠1和∠5。
   • 内错角：在两条直线（被截线）之间，在第三条直线（截线）的两侧。∠3和∠5。
   • 同旁内角：在两条直线（被截线）之间，在第三条直线（截线）的同侧。∠3和∠6。

平行线

1. 定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。
2. 平行线的判定（由角的关系判断线是否平行）：
   • 同位角相等，两直线平行。
   • 内错角相等，两直线平行。
   • 同旁内角互补，两直线平行。
   • 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3. 平行线的性质（由线平行推出角的关系）：
   • 两直线平行，同位角相等。
   • 两直线平行，内错角相等。
   • 两直线平行，同旁内角互补。
4. 命题：
   • 定义：判断一件事情的语句叫做命题。
   • 结构：由题设（已知条件）和（由条件推出的事项）两部分组成。
   • 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
   • 假命题：如果题设成立，但结论不一定成立的命题。
   • 定理：用推理的方法判断为正确的命题。

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第六章 实数

本章将数的范围从有理数扩展到实数,为后续学习（如勾股定理）奠定基础。

实数的概念

1. 算术平方根：
   • 定义：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x² = a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作 √a。
   • 性质：√a 是一个非负数；0 的算术平方根是 0。
2. 平方根：
   • 定义：如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方根）。
   • 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
3. 立方根：
   • 定义：如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或三次方根），记作 ³√a。
   • 性质：正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数，立方根有且只有一个。

实数

1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
   • 常见类型：开方开不尽的数（如 √2, ³√5）、特定意义的常数（如圆周率 ）、某些有规律但无限不循环的小数（如 1010010001...）。
2. 实数：有理数和无理数统称为实数。
3. 实数分类：

   实数 有理数（整数、分数），无理数

   
   （图片来源网络，侵删）
4. 实数与数轴：
   • 数轴上的点与实数一一对应。
   • 每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
5. 实数的相反数、绝对值、倒数：与有理数的定义和性质完全相同。
6. 实数的大小比较：
   • 数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
   • 正数大于 0，0 大于负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小。

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第七章 平面直角坐标系

本章引入了“数形结合”的重要思想，用有序数对来确定平面内点的位置。

平面直角坐标系

1. 有序数对：用 (a, b) 来表示，a 是横坐标，b 是纵坐标。顺序不能交换，(a, b) 和 (b, a) 表示不同的点。
2. 平面直角坐标系：
   • 在平面内,两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。
   • 水平的数轴叫x轴（横轴），铅直的数轴叫y轴（纵轴），两数轴的交点叫原点。
3. 点的坐标：对于平面内任意一点P，过P点分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b，分别叫做点P的横坐标和纵坐标，有序数对 (a, b) 叫做点P的坐标。

坐标平面内的点与坐标的对应关系

1. 四个象限：坐标轴（x轴和y轴）将平面分成四个部分，分别叫做第一、二、三、四象限。
2. 坐标特征：
   • 象限内的点：第一象限 ，第二象限 ，第三象论 ，第四象限 。
   • 坐标轴上的点：
     • x轴上的点：纵坐标为 0，如 (a, 0)。
     • y轴上的点：横坐标为 0，如 (0, b)。
     • 原点 (0, 0)。
3. 对称点的坐标：
   • 关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数。(a, b) → (a, -b)
   • 关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数。(a, b) → (-a, b)
   • 关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。(a, b) → (-a, -b)

用坐标表示平移

• 点的平移规律：
  • 左右平移：横坐标左减右加，纵坐标不变。
  • 上下平移：纵坐标上加下减，横坐标不变。
• 图形的平移规律：图形中所有点的坐标都按照上述规律进行相应变化。

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第八章 二元一次方程组

本章是初中代数的核心内容,学习如何求解含有两个未知数的方程组。

基本概念

1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。
2. 二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程有无数个解。
3. 二元一次方程组：把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4. 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

解法

1. 代入消元法：
   • 步骤：
     1. 从方程组中选一个系数比较简单的方程,将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。
     2. 将这个式子代入另一个方程,消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
     3. 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值。
     4. 将求得的未知数的值代回到步骤1得到的式子中,求出另一个未知数的值。
     5. 写出方程组的解。
2. 加减消元法：
   • 步骤：
     1. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数乘以方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等。
     2. 将两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
     3. 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值。
     4. 将求得的未知数的值代回到原方程组中任意一个方程,求出另一个未知数的值。
     5. 写出方程组的解。

应用

• 步骤（审、设、列、解、答）：
  1. 审题：理解题意，找出等量关系。
  2. 设未知数：设两个未知数，如 x, y。
  3. 列方程组：根据找出的等量关系列出两个独立的方程，组成方程组。
  4. 解方程组：代入法或加减法求解。
  5. 写出答案：检验答案是否符合题意，并写出完整的答案。

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第九章 不等式与不等式组

本章研究不等关系,是方程的延伸和拓展。

不等式的概念与性质

1. 不等式：用不等号（<, >, , , ）表示不等关系的式子。
2. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。
3. 不等式的解集：一个不等式的所有解的集合。
4. 解不等式：求不等式解集的过程。
5. 不等式的基本性质：
   • 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
   • 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
   • 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。（这是最容易出错的地方！）

一元一次不等式

1. 定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。
2. 解法：与解一元一次方程的步骤类似（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），但注意性质3的应用。

一元一次不等式组

1. 定义：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
2. 不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分。
3. 解法：
   • 分别求出不等式组中每个不等式的解集。
   • 在数轴上表示出每个不等式的解集。
   • 找出它们的公共部分,就是不等式组的解集。
4. 口诀：
   • 同大取大：两个不等式的解集都在数轴的右侧，取较大的解集。
   • 同小取小：两个不等式的解集都在数轴的左侧，取较小的解集。
   • 大小小大中间找：一个解集在左，一个在右，取中间部分。
   • 大大小小无解了：一个解集在左，一个在右，没有公共部分，无解。

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第十章 数据的收集、整理与描述

本章是统计学入门,学习如何用图表和数字来描述数据。

调查方式

1. 普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查。
   • 特点：数据全面、准确，但工作量大。
2. 抽样调查：从总体中抽取一部分个体作为样本进行调查，并根据样本的情况来估计总体的情况。
   • 特点：工作量小，但估计结果存在误差。
   • 总体：要考察的全体对象。
   • 个体：组成总体的每一个考察对象。
   • 样本：从总体中抽取的一部分个体的集体。
   • 样本容量：样本中包含的个体数量（没有单位）。

数据的整理与描述

1. 条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
2. 扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
3. 折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势。
4. 直方图：
   • 用于显示数据在各个小组的分布情况。
   • 横轴表示数据分组，纵轴表示频数（每个小组内数据的个数）。
   • 小长方形的面积表示相应小组的频数。

数据分析

1. 平均数：所有数据的总和除以数据的个数，是描述数据集中趋势的量。
2. 中位数：将一组数据按大小顺序排列，位于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）。
3. 众数：一组数据中出现次数最多的数据。
4. 方差：
   • 定义：各个数据与平均数差的平方的平均数。
   • 作用：衡量一组数据的波动大小（离散程度）。
   • 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。