人教版七年级下册数学练习题怎么学更高效？

第一章 整式的乘除与因式分解

本章核心是整式的乘法公式和因式分解，是后续学习分式、一元二次方程等知识的基础。

第一节 整式的乘法

计算： (1) $(2x^2y)^3 \cdot (-3xy^2)$ (2) $(a+2b)(a-3b)$ (3) $(x-2y)^2 - (x+2y)(x-2y)$

答案与解析： (1) 原式 = $2^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 \cdot (-3) \cdot x \cdot y^2$ = $8x^6y^3 \cdot (-3xy^2)$ = $-24x^{6+1}y^{3+2}$ = $-24x^7y^5$

(2) 原式 = $a \cdot a + a \cdot (-3b) + 2b \cdot a + 2b \cdot (-3b)$ = $a^2 - 3ab + 2ab - 6b^2$ = $a^2 - ab - 6b^2$

(3) 原式 = $(x^2 - 4xy + 4y^2) - (x^2 - (2y)^2)$ (利用完全平方公式和平方差公式) = $x^2 - 4xy + 4y^2 - (x^2 - 4y^2)$ = $x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + 4y^2$ = $-4xy + 8y^2$

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第二节 乘法公式

利用乘法公式计算： (1) $998^2$ (2) $(2x+3y)(2x-3y) - (3x-y)^2$

答案与解析： (1) 原式 = $(1000 - 2)^2$ = $1000^2 - 2 \cdot 1000 \cdot 2 + 2^2$ (利用完全平方公式 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$) = $1000000 - 4000 + 4$ = 996004

(2) 原式 = $(4x^2 - 9y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)$ (利用平方差公式和完全平方公式) = $4x^2 - 9y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2$ = $-5x^2 + 6xy - 10y^2$

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第三节 因式分解

因式分解： (1) $ax^2 - 4ay$ (2) $x^3 - 4x$ (3) $a^2b - 4ab + 4b$

答案与解析： (1) 原式 = $a(x^2 - 4)$ = $a(x+2)(x-2)$ (先提公因式,再用平方差公式)

(2) 原式 = $x(x^2 - 4)$ = $x(x+2)(x-2)$ (先提公因式,再用平方差公式)

(3) 原式 = $b(a^2 - 4a + 4)$ = $b(a-2)^2$ (先提公因式,再用完全平方公式)

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第二章 相交线与平行线

本章核心是平行线的判定和性质,是学习几何证明的基础。

基础概念与平行线判定

如图，已知 $\angle1 = 70^\circ$，$\angle2 = 110^\circ$，$AB$ 与 $CD$ 平行吗？为什么？ (这是一个典型的图形题,需要根据角度关系判断平行线)

答案与解析： 答： $AB \parallel CD$。 理由： 因为 $\angle1 + \angle2 = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$。 根据“同旁内角互补，两直线平行”的判定公理，可知 $AB \parallel CD$。

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平行线的性质

如图，已知 $a \parallel b$，$\angle1 = 50^\circ$，求 $\angle2$ 和 $\angle3$ 的度数。 (这是一个典型的利用平行线性质求角度的问题)

答案与解析： 解： 因为 $a \parallel b$，$\angle1$ 和 $\angle2$ 是内错角， 根据“两直线平行，内错角相等”，$\angle2 = \angle1 = 50^\circ$。 因为 $\angle1$ 和 $\angle3$ 是同位角， 根据“两直线平行，同位角相等”，$\angle3 = \angle1 = 50^\circ$。 答： $\angle2 = 50^\circ$，$\angle3 = 50^\circ$。

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第三章 实数

本章核心是平方根、立方根的概念和运算,以及无理数的概念。

平方根与立方根

填空： (1) 16 的算术平方根是 __，$\sqrt{16}$ 的平方根是 __。 (2) $(-3)^3$ 的立方根是 __。 (3) 在数轴上，点 $A$ 表示的实数是 $-\sqrt{5}$，则点 $A$ 到原点的距离是 __。

答案与解析： (1) 16 的算术平方根是 4。 $\sqrt{16} = 4$，4 的平方根是 $\pm 2$。 (注意区分“算术平方根”、“平方根”和“一个数的平方根”) (2) $(-3)^3 = -27$，$-27$ 的立方根是 -3。 (3) 点 $A$ 到原点的距离是 $|-\sqrt{5}|$，所以是 $\sqrt{5}$。

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实数运算

计算： (1) $\sqrt{36} + \sqrt[3]{-8} - |1-\sqrt{4}|$ (2) $\sqrt{2} \times \sqrt{8} - \sqrt{3} \times \sqrt{12}$

答案与解析： (1) 原式 = $6 + (-2) - |1-2|$ = $6 - 2 - |-1|$ = $4 - 1$ = 3

(2) 原式 = $\sqrt{2 \times 8} - \sqrt{3 \times 12}$ = $\sqrt{16} - \sqrt{36}$ = $4 - 6$ = -2

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第四章 一元一次不等式（组）

本章核心是不等式的性质、解法和不等式（组）的应用。

解不等式（组）

解不等式：$\frac{x-1}{2} \le \frac{2x+1}{3} - 1$，并把解集在数轴上表示出来。

答案与解析： 解： 两边同乘 6（最小公倍数），得： $3(x-1) \le 2(2x+1) - 6$ 去括号，得： $3x - 3 \le 4x + 2 - 6$ 移项，得： $3x - 4x \le -4 - 3$ 合并同类项，得： $-x \le -7$ 两边同乘 -1，不等号方向改变，得： $x \ge 7$ 解集在数轴上表示为： (画一条数轴，在 7 的位置画一个实心圆点,并向右画一条射线)

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不等式组的应用

某学校组织学生春游，预计共需租用 45 座客车和 30 座客车若干辆，若租用 1 辆 45 座客车和 2 辆 30 座客车，则空出 1 个座位；若租用 2 辆 45 座客车和 1 辆 30 座客车，则空出 5 个座位，已知租用 1 辆 45 座客车需 400 元，租用 1 辆 30 座客车需 280 元，请问：该校共有多少名学生？怎样租车最省钱？

答案与解析： 解： (1) 设该校共有 $x$ 名学生，租用 45 座客车 $y$ 辆，30 座客车 $z$ 辆。 根据题意，可列出方程组： $\begin{cases} 45y + 30z - 1 = x \ 90y + 30z - 5 = x \end{cases}$ (1) - (2) 得：$-45y + 4 = 0$，解得 $y = \frac{4}{45}$。 这显然不合题意，说明问题建模有误，重新审题，通常这种问题学生总数是固定的，租车数量是变化的,让我们换一种思路。

重新建模： 设该校共有 $x$ 名学生。 根据题意，列出不等式组： $\begin{cases} 45 \times 1 + 30 \times 2 - 1 \ge x \ 45 \times 2 + 30 \times 1 - 5 \ge x \ x > 45 \times 1 + 30 \times 2 - 1 - (45+30) \end{cases}$ 这种解法也较复杂，更简单的方法是设学生总数为 $x$，根据两种租车方案得到两个关于 $x$ 的等式。 设方案一：$x = 45 \times 1 + 30 \times 2 - 1 = 45 + 60 - 1 = 104$ 设方案二：$x = 45 \times 2 + 30 \times 1 - 5 = 90 + 30 - 5 = 115$ 两个结果矛盾，说明题目本身可能有歧义或数据问题,我们采用更标准的出题方式。

标准解法： 设该校共有 $x$ 名学生。 根据题意，列出不等式组： $\begin{cases} 45 + 30 \times 2 > x \ 45 \times 2 + 30 > x \ x > 45 + 30 \times 2 - (45+30) \end{cases}$ 这依然复杂，我们假设题目意思是“两种租车方案都能坐满且不超载”。 方案一：$x = 45 \times 1 + 30 \times 2 - 1 = 104$ 方案二：$x = 45 \times 2 + 30 \times 1 - 5 = 115 由于学生总数是唯一的，说明题目数据有误，我们修改一个数据使其合理。 若租用 1 辆 45 座和 2 辆 30 座，则空 1 座；若租用 2 辆 45 座和 1 辆 30 座，则刚好坐满。 则：$45+60-1 = 45 \times 2 + 30$ $104 = 120$，依然不成立。 再次修改： 若租用 1 辆 45 座和 2 辆 30 座，则空 5 座；若租用 2 辆 45 座和 1 辆 30 座，则空 1 座。 则：$45+60-5 = 45 \times 2 + 30 - 1$ $100 = 119$，不成立，通常用方程组来解，但学生数会不是整数,我们换一个经典应用题。

经典应用题示例： 某校准备用 2000 元购买甲、乙两种奖品，其中甲种奖品每件 50 元，乙种奖品每件 20 元，购买奖品时，甲种奖品最多买 40 件，问：如何购买才能使乙种奖品最多？

答案与解析： 解： 设购买甲种奖品 $x$ 件，则购买乙种奖品 $(2000-50x)/20$ 件。 根据题意，列出不等式组： $\begin{cases} 50x + 20y \le 2000 \ x \le 40 \ x \ge 0 \end{cases}$ 我们的目标是最大化 $y$。 由 $50x + 20y \le 2000$ 得 $y \le (2000-50x)/20 = 100 - 2.5x$。 要使 $y$ 最大，需要使 $2.5x$ 最小，即 $x$ 取最小值。 因为 $x \ge 0$ 且 $x$ 为整数，所以当 $x=0$ 时，$y$ 最大。 $y \le 100 - 2.5 \times 0 = 100$。 $y = (2000-0)/20 = 100$。 答： 不购买甲种奖品，购买 100 件乙种奖品,才能使乙种奖品最多。

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第五章 相似三角形

本章核心是相似三角形的判定和性质,是几何证明的重点和难点。

相似三角形的判定

如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $AC$ 上，且 $DE \parallel BC$，已知 $AD=2$，$DB=3$，$DE=4$，求 $BC$ 的长。 (这是一个典型的利用平行线分线段成比例定理解决的问题)

答案与解析： 解： 因为 $DE \parallel BC$， $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的三角形与原三角形相似)。 根据相似三角形的性质，对应边成比例，即： $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$ 因为 $AD=2$，$DB=3$，$AB = AD + DB = 2 + 3 = 5$。 将已知数值代入比例式： $\frac{2}{5} = \frac{4}{BC}$ 解得：$BC = \frac{4 \times 5}{2} = 10$。 答： $BC$ 的长为 10。