七年级上册数学第一单元重点难点有哪些？

校园之窗 2026年1月1日 20:00:01 99ANYc3cd6 1 0

第一单元的核心主题是“有理数”。 这是整个初中数学的基石，因为它引入了“负数”的概念，将数的范围从小学的“算术数”扩展到了“有理数”，学好这一单元，对后续学习代数、方程、函数等都至关重要。

第一单元：有理数

核心知识结构图

你可以把这个单元看作是围绕着“有理数”这个中心概念,从以下几个方面展开的：

（图片来源网络，侵删）

有理数
├── 1. 有理数的概念
│   ├── 正数与负数 (引入负数)
│   └── 有理数及其分类 (整数、分数)
├── 2. 数轴
│   └── 三要素 (原点、正方向、单位长度)
├── 3. 相反数与绝对值
│   ├── 相反数 (只有符号不同的两个数)
│   └── 绝对值 (数轴上表示数的点到原点的距离)
├── 4. 有理数的大小比较
│   └── 利用数轴和绝对值比较
└── 5. 有理数的运算
    ├── 5.1 加法 (同号、异号、与0相加)
    ├── 5.2 减法 (转化为加法：a - b = a + (-b))
    ├── 5.3 乘法 (符号法则、绝对值相乘)
    ├── 5.4 除法 (转化为乘法：a ÷ b = a × 1/b)
    ├── 5.5 乘方 (求n个相同因数的积)
    └── 5.6 混合运算 (运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的)

各章节详细要点解析

第一章：有理数的概念

正数与负数
- 核心概念：大于0的数叫做正数（正数前面可以加“+”，但通常省略）；在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
- 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点,具有非常特殊的地位。
- 生活中的意义：用正数和负数可以表示具有相反意义的量。
  - 零上5℃记作 +5℃ 或 5℃，零下3℃记作 -3℃。
  - 收入300元记作 +300元，支出200元记作 -200元。
- 易错点：带“-”号的数不一定是负数，如 -a，当 a 是负数时，-a 就是正数。

有理数及其分类

定义：整数和分数统称为有理数。

两种分类方法：

按定义分：

有理数
├── 整数
│   ├── 正整数 (如 1, 2, 3)
│   ├── 零 (0)
│   └── 负整数 (如 -1, -2, -3)
└── 分数
    ├── 正分数 (如 1/2, 0.5)
    └── 负分数 (如 -1/2, -0.5)

按性质符号分：

有理数
├── 正有理数 (正整数 + 正分数)
├── 零 (0)
└── 负有理数 (负整数 + 负分数)

易错点： (圆周率) 是一个无限不循环小数，它不是有理数，小数中，只有有限小数和无限循环小数属于分数,因此是有理数。

第二章：数轴

数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：缺一不可。
- 原点：数轴上表示0的点。
- 正方向：通常规定向右为正方向。
- 单位长度：数轴上相邻两个整数点之间的距离。
数轴的作用：
- 表示数：所有的有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
- 比较大小：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
- 体现绝对值：一个数的绝对值就是它所对应的点到原点的距离。

第三章：相反数与绝对值

相反数
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。
- 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
- 性质：a 的相反数是 -a。-(a) = -a，-(-a) = a。
绝对值
（图片来源网络，侵删）
- 定义：一个数在数轴上对应的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值。
- 表示方法：数 a 的绝对值记作 |a|。
- 求法：
  - 一个正数的绝对值是它本身。
  - 一个负数的绝对值是它的相反数。
  - 0的绝对值是0。
- 口诀：“正的本身，负的相反，零是零”。
- 性质：绝对值永远是一个非负数（即大于或等于0）。|a| ≥ 0。

第四章：有理数的大小比较

利用数轴比较：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
利用绝对值比较（法则）：
- 正数 > 0 > 负数。
- 两个正数,绝对值大的数就大。
- 两个负数,绝对值大的数反而小。
- 比较异号两数,直接根据正负判断。

第五章：有理数的运算

这是本单元的重中之重,需要大量练习。

有理数加法
- 同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
  - (+5) + (+3) = +8
  - (-5) + (-3) = -8
- 异号相加：取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  - (+5) + (-3) = +2
  - (-5) + (+3) = -2
- 与0相加：a + 0 = a。
- 互为相反数的两数相加：和为0。a + (-a) = 0。
有理数减法
- 核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- 公式：a - b = a + (-b)
- 例子：7 - 9 = 7 + (-9) = -2
有理数乘法
（图片来源网络，侵删）
- 符号法则：
  - 同号得正,异号得负。
  - 任何数与0相乘,都得0。
- 绝对值：把绝对值相乘。
- 例子：(-5) × (-2) = 10，(-5) × 2 = -10。
有理数除法
- 核心法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
- 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。a 的倒数是 1/a (a≠0),0没有倒数。
- 公式：a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
- 符号法则：与乘法相同。
- 例子：12 ÷ (-4) = 12 × (-1/4) = -3。
有理数乘方
- 定义：求n个相同因数a的积的运算，叫做a的n次方，记作 aⁿ。a 叫做底数，n 叫做指数。
- 读法：aⁿ 读作 “a的n次方” 或 “a的n次幂”。
- 性质：
  - 正数的任何次幂都是正数。
  - 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
  - 0的任何正整数次幂都是0。
- 注意：-2² 和 (-2)² 是不一样的！-2² = -(2×2) = -4，而 (-2)² = (-2)×(-2) = 4。
有理数混合运算
- 运算顺序：
  1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
  2. 同级运算（乘除、加减），按照从左到右的顺序进行。
  3. 如果有括号，先算小括号里的，再算中括号 [ ] 里的，最后算大括号里的。
- 例子：(-3)² + [18 - (-2)³] ÷ 4
  - 第一步：算乘方 (-3)² = 9，(-2)³ = -8
  - 第二步：算括号内 [18 - (-8)] = [18 + 8] = 26
  - 第三步：算除法 26 ÷ 4 = 6.5
  - 第四步：算加法 9 + 6.5 = 15.5