人教版七年级数学上册一单元重点难点是什么？
校园之窗 2025年12月5日 07:43:38 99ANYc3cd6
第一单元：有理数
本单元是初中数学的起点,它将数的范围从我们熟悉的“自然数和分数”（非负数）扩展到了包含负数的“有理数”世界，学好本单元，将为后续学习整式、方程等打下坚实的基础。
核心知识点梳理
正数和负数
- 引入负数的原因：为了表示具有相反意义的量，零上温度与零下温度、收入与支出、向东走与向西走等。
- 正数：大于0的数（如 5, 3.14, +1/2）。
- 负数：在正数前面加上负号“-”的数（如 -3, -0.5, -2/3）。
- 0：0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。
- 注意：
- 字母a可以表示任意有理数,a不一定是正数，-a也不一定是负数。（当a为负数时，-a为正数）
- 带有“+”、“-”号的数不一定就是正负数。-a，如果a本身是-5，a就是5。
有理数
- 定义：整数和分数统称为有理数。
- 有理数的分类：
- 按定义分：
有理数 $\begin{cases} \text{整数} \begin{cases} \text{正整数} \ \text{0} \ \text{负整数} \end{cases} \ \text{分数} \begin{cases} \text{正分数} \ \text{负分数} \end{cases} \end{cases}$
（图片来源网络，侵删） - 按符号分：
有理数 $\begin{cases} \text{正有理数} \begin{cases} \text{正整数} \ \text{正分数} \end{cases} \ \text{0} \ \text{负有理数} \begin{cases} \text{负整数} \ \text{负分数} \end{cases} \end{cases}$
- 按定义分：
- 注意：任何有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此它们都是有理数。
数轴
- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 三要素：缺一不可。
- 原点：数轴上表示0的点。
- 正方向：通常规定向右为正方向。
- 单位长度：数轴上每相邻两个整数点之间的距离。
- 数轴上的点与有理数的关系：每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都是有理数（以后会学到无理数）。
- 作用：
- 数形结合：将抽象的数直观地表示在直线上。
- 比较有理数大小：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
- 表示相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数，它们在数轴上位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
相反数
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。
- 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
- 求法：在一个数前面加上负号，就得到它的相反数，a的相反数是-a。
- 多重符号化简：一个数前面有多个“+”号或“-”号，化简规律是“奇负偶正”。
+(-5) = -5（一个负号，奇数个，结果为负）-(-(+2)) = +2（三个负号，奇数个，结果为负，再与+2结合，整体为正）
绝对值
- 定义：一个数a的绝对值，记作
|a|。- 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离。
- 代数意义：
- a > 0，|a| = a
- a = 0，|a| = 0
- a < 0，|a| = -a （注意：-a在这里是一个正数）
- 性质：
- 任何数的绝对值都是非负数（即 ≥ 0）。
- 0的绝对值是0。
- 互为相反数的两个数的绝对值相等。
有理数的大小比较
- 基本方法：
- 利用数轴：数轴上右边的点表示的数大。
- 直接比较：
- 正数 > 0 > 负数。
- 两个正数比较,绝对值大的数就大。
- 两个负数比较,绝对值大的数反而小。（这是难点，要记住！）
- 步骤：
- 先判断符号,确定大致范围。
- 同号两数,比较绝对值。
- 异号两数,按“正>负”判断。
有理数的加减法
-
有理数加法
- 法则：
- 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加。
- 例：
(-5) + (-7) = -(5+7) = -12
- 例：
- 异号两数相加,取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 例：
(-8) + (+3) = -(8-3) = -5 - 例：
(+10) + (-6) = +(10-6) = +4
- 例：
- 互为相反数的两个数相加得0。
- 例：
(-4) + (+4) = 0
- 例：
- 一个数同0相加,仍得这个数。
- 例：
(-9) + 0 = -9
- 例：
- 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加。
- 运算律：
- 加法交换律：a + b = b + a
- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 技巧：使用运算律可以使计算简便，通常将正数、负数分别结合，或凑整、凑相反数。
- 法则：
-
有理数减法
- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- a - b = a + (-b)
- 步骤：
- 将减法转化为加法。
- 按照加法法则进行计算。
- 例：
(-10) - (-12) = (-10) + (+12) = 2 - 例：
7 - 15 = 7 + (-15) = -8
- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
有理数的乘除法
-
有理数乘法
（图片来源网络，侵删）- 法则：
- 两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 例：
(-6) × (-4) = +24 - 例：
(-5) × (+3) = -15
- 例：
- 任何数同0相乘,都得0。
- 例：
0 × (-100) = 0
- 例：
- 几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正；当负因数的个数是奇数时，积为负。
- 两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 运算律：
- 乘法交换律：a × b = b × a
- 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c （非常重要，是简化计算的关键）
- 法则：
-
有理数除法
- 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
- a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
- 步骤：
- 将除法转化为乘法。
- 按照乘法法则进行计算。
- 例：
(-12) ÷ (-4) = (-12) × (-1/4) = 3
- 两数相除：
- 同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
- 0除以任何一个不等于0的数,都得0。
- 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
有理数的乘方
- 定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作 aⁿ。
- a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。
- 意义：aⁿ表示n个a相乘。
- 符号法则：
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
- 0的任何正整数次幂都是0。
- 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。
- 科学记数法：
- 定义：把一个大于10的数表示成 a × 10ⁿ 的形式（其中1 ≤ |a| < 10，n为正整数）。
- 方法：n等于原数的整数位数减1。
- 例：130000000 = 1.3 × 10⁸
有理数的混合运算
- 运算顺序（重点）：
- 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
- 同级运算，从左到右依次进行。
- 如果有括号，先算小括号 里面的，再算中括号
[ ]里面的，最后算大括号 里面的。
- 计算技巧：
- 运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算。
- 准确确定每一步的符号。
近似数与有效数字
- 精确数：与实际情况完全相符的数。
- 近似数（近似值）：与实际接近但并不完全相符的数。
- 有效数字：
- 从一个数的左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
- 例：0.03050
- 精确到万分位（或0.0001）。
- 有4个有效数字，分别是 3, 0, 5, 0。
- 注意：前面的0和中间的0不是有效数字，但末尾的0是有效数字，它表示了精确度。
本单元重难点
-
重点：
- 有理数的概念、数轴、相反数、绝对值。
- 有理数的四则运算法则及混合运算。
- 运用运算律进行简便计算。
-
难点：
- 理解负数的意义，并能在实际生活中应用。
- 绝对值概念的理解，特别是负数绝对值的求法。
- 有理数的大小比较，尤其是两个负数大小的比较。
- 有理数运算中符号的确定，这是最容易出错的地方。
- 有理数混合运算的顺序和准确率。
学习方法与建议
- 理解概念，不要死记硬背：比如绝对值，要理解它代表的是“距离”，距离没有负的，所以绝对值总是非负的。
- 抓住数轴这个工具：数轴是“数形结合”的典范，用它来理解相反数、绝对值、大小比较等非常直观。
- 掌握运算法则，注重符号：有理数运算，一半的精力要放在确定符号上，做题时先确定符号，再算绝对值，可以大大提高正确率。
- 多做练习，总结规律：计算题是基础，必须通过大量练习来达到熟练的程度，准备一个错题本，记录下自己常犯的错误（尤其是符号错误），定期回顾。
- 养成严谨的计算习惯：书写规范，步骤清晰，不要跳步，尤其是在做混合运算时。
希望这份详细的梳理能帮助你系统地掌握人教版七年级数学上册第一单元的内容！祝你学习进步！
（图片来源网络，侵删）
