人教版九年级上册数学期中试卷重点难点有哪些？

人教版九年级上册数学期中模拟试卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 方程 $(x-1)(x+2)=0$ 的根是 A. $x_1=1, x_2=2$ B. $x_1=1, x_2=-2$ C. $x_1=-1, x_2=2$ D. $x_1=-1, x_2=-2$

   
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2. 下列函数中,是二次函数的是 A. $y=3x-1$ B. $y=ax^2+bx+c$ C. $y=-2x^2$ D. $y=\frac{1}{x}$

3. 一元二次方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的根的情况是 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定

4. 抛物线 $y=2(x-1)^2+3$ 的顶点坐标是 A. $(1, 3)$ B. $(-1, 3)$ C. $(1, -3)$ D. $(-1, -3)$

5. 将抛物线 $y=3x^2$ 向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是 A. $y=3(x+1)^2-2$ B. $y=3(x-1)^2+2$ C. $y=3(x+1)^2+2$ D. $y=3(x-1)^2-2$

   
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6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 得到 $\triangle AB'C'$，若点 $C$ 的对应点 $C'$ 恰好落在边 $AB$ 上，则 $\angle BAC$ 的度数是 (第6题图) A. $30^\circ$ B. $45^\circ$ C. $60^\circ$ D. 无法确定

7. 用配方法解一元二次方程 $x^2 - 6x - 2 = 0$，配方正确的是 A. $(x-3)^2 = 11$ B. $(x-3)^2 = 2$ C. $(x+3)^2 = 11$ D. $(x+3)^2 = 2$

8. 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是 (第8题图) A. $a>0, b>0, c>0$ B. $a<0, b>0, c<0$ C. $a<0, b<0, c>0$ D. $a>0, b<0, c<0$

9. 下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 菱形

   
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10. 某商店经销一种商品,每件成本价为 $a$ 元，据市场调查，当每件售价为 $b$ 元时（$b>a$），每天可售出 $(b-a)$ 件，为了获得最大利润，售价应定为 A. $a$ 元 B. $b$ 元 C. $\frac{a+b}{2}$ 元 D. $\frac{a+2b}{3}$ 元

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填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 一元二次方程 $2x^2 = 8$ 的解是 ____。
12. 抛物线 $y=-(x+2)^2$ 的开口方向向 ____（填“上”或“下”）。
13. 若点 $A(-2, 3)$ 关于原点对称的点是 $B$，则点 $B$ 的坐标是 ____。
14. 用一长为8 cm的铁丝，围成一个面积为 $4 cm^2$ 的矩形，设矩形的一边长为 $x$ cm，则可列出的方程为 ____。
15. 如图,$\triangle ABC$ 绕点 $C$ 旋转后，顶点 $A$ 的对应点为 $D$，顶点 $B$ 的对应点为 $E$，$\angle ACB=25^\circ$，$\angleACE=120^\circ$，$\angleA'CB'$ 的度数是 ____。 (第15题图)
16. 已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象经过点 $A(-1, 0)$, $B(3, 0)$, $C(0, -3)$，则当 $y>0$ 时，$x$ 的取值范围是 ____。

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解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本题8分) 解方程：$(2x-1)^2 - 9 = 0$。

18. (本题8分) 用公式法解方程：$x^2 + 4x = 1$。

19. (本题10分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (m+2)x + m = 0$。 (1) 求证：此方程总有两个不相等的实数根。 (2) 若方程的一个根为 $-1$，求 $m$ 的值及方程的另一个根。

20. (本题10分) 已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$。 (1) 用配方法将其化为 $y=a(x-h)^2 + k$ 的形式。 (2) 写出该抛物线的顶点坐标、对称轴和开口方向。 (3) 求该抛物线与坐标轴的交点坐标。

21. (本题12分) 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是边 $CD$ 上一点，连接 $AE$，将 $\triangle ADE$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 到 $\triangle ABF$ 的位置。 (1) 求证：$\triangle ABE \cong \triangle ADF$。 (2) 若 $AB=4$，$DE=1$，求 $BE$ 的长。 (第21题图)

22. (本题12分) 某水果批发市场销售一批优质苹果，成本为每千克10元，市场规定，当售价定为每千克12元时，每天可售出200千克，售价每上涨1元，销量将减少10千克。 (1) 设售价为每千克 $x$ 元，每天的销售利润为 $y$ 元，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式。 (2) 当售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3) 为了尽快减少库存，市场要求每天的销售利润不低于800元，那么售价应控制在什么范围内？

23. (本题12分) 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1, 0)$, $B(3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C(0, 3)$。 (1) 求抛物线的解析式。 (2) 点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，若 $\triangle PAB$ 的面积为6，求点 $P$ 的坐标。 (第23题图)

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参考答案与解析

选择题

1. B $(x-1)(x+2)=0$，$x-1=0$ 或 $x+2=0$，解得 $x_1=1, x_2=-2$。
2. C 二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$（$a \neq 0$），选项A是一次函数，选项B中未说明$a \neq 0$，选项D是反比例函数。
3. A 判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4 > 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
4. A 抛物线 $y=a(x-h)^2+k$ 的顶点坐标是 $(h, k)$，这里 $h=1, k=3$。
5. C $y=3x^2$ 向上平移2个单位得 $y=3x^2+2$，再向左平移1个单位得 $y=3(x+1)^2+2$。
6. B 旋转后 $AC$ 旋转到 $AC'$ 的位置，$\angle CAC' = 90^\circ$，因为 $C'$ 在 $AB$ 上，$\triangle ABC'$ 是等腰直角三角形，$\angle BAC = 45^\circ$。
7. A $x^2 - 6x - 2 = 0$，移项得 $x^2 - 6x = 2$，配方 $x^2 - 6x + 9 = 2 + 9$，即 $(x-3)^2 = 11$。
8. D 抛物线开口向下，$a<0$，对称轴在 $y$ 轴右侧，$-\frac{b}{2a}>0$，因为 $a<0$，$b<0$，抛物线与 $y$ 轴交点在负半轴，$c<0$。
9. B 等边三角形是轴对称图形；平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形（除特殊矩形、菱形、正方形外）；等腰梯形是轴对称图形；菱形既是轴对称图形也是中心对称图形。
10. C 设售价为 $x$ 元，则利润 $W=(x-a)(b-a-(x-b))=(x-a)(2b-a-x)$，展开得 $W=-x^2+(2b-a)x+a(2b-a)$，这是一个开口向下的抛物线，当 $x=-\frac{b}{2a} = -\frac{2b-a}{2 \times (-1)} = \frac{2b-a}{2} = \frac{a+2b}{3}$ 时，利润最大。

填空题

11. $x_1=2, x_2=-2$，由 $(2x)^2=8$ 得 $4x^2=8$，$x^2=2$，$x=\pm\sqrt{2}$。
12. 下 二次项系数 $-1<0$，所以抛物线开口向下。
13. $(2, -3)$，关于原点对称，横纵坐标都取相反数。
14. $x(8-x)=4$，矩形周长为8，所以长+宽=4，宽为 $(4-x)$，面积为 $x(4-x)$，更正：周长为8，所以长+宽=4，宽为 $(4-x)$，面积为 $x(4-x)$，原题描述“一长为8 cm的铁丝，围成一个矩形”，通常指周长为8 cm，面积 $S=x(4-x)$，所以方程为 $x(4-x)=4$，若理解为一边长为8 cm，则另一边为 $x$，周长为 $2(8+x)$，此情况不合理，故采用周长8 cm的理解。
15. $95^\circ$，旋转角为 $\angle BCB'$。$\angle ACE$ 是旋转角，$\angle ACE=120^\circ$。$\angle ACB=25^\circ$，$\angle B'CE = \angle ACE - \angle ACB = 120^\circ - 25^\circ = 95^\circ$，旋转角 $\angle BCB' = \angle B'CE = 95^\circ$。
16. $x<-1$ 或 $x>3$，由图象可知，抛物线开口向上，与 $x$ 轴交点为 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$，当 $y>0$ 时，图象在 $x$ 轴上方，$x$ 的取值范围是 $x<-1$ 或 $x>3$。

解答题

17. 解：$(2x-1)^2 - 9 = 0$ $(2x-1)^2 = 9$ $2x-1 = \pm 3$ $2x-1 = 3$ 或 $2x-1 = -3$ $2x = 4$ 或 $2x = -2$ $x_1 = 2$ 或 $x_2 = -1$

18. 解：将方程化为一般式：$x^2 + 4x - 1 = 0$。 这里 $a=1, b=4, c=-1$。 判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 16 + 4 = 20 > 0$。 方程有实数根。 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2 \times 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$ $x_1 = -2 + \sqrt{5}$, $x_2 = -2 - \sqrt{5}$。

19. 解：(1) 证明：$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4 \times 1 \times m = m^2 + 4m + 4 - 4m = m^2 + 4$。 因为 $m^2 \geq 0$，$m^2 + 4 \geq 4 > 0$。 无论 $m$ 取何值，判别式 $\Delta$ 恒大于0，此方程总有两个不相等的实数根。 (2) 将 $x=-1$ 代入方程 $(-1)^2 - (m+2)(-1) + m = 0$， $1 + m + 2 + m = 0$， $2m + 3 = 0$， $m = -\frac{3}{2}$。 设方程的另一个根为 $x_2$，根据韦达定理，$x_1 + x_2 = m+2$， $-1 + x_2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$， $x_2 = \frac{3}{2}$。 $m$ 的值为 $-\frac{3}{2}$，方程的另一个根是 $\frac{3}{2}$。

20. 解：(1) $y=-\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$ $= -\frac{1}{2}(x^2 - 4x) + 1$ $= -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1$ $= -\frac{1}{2}[(x-2)^2 - 4] + 1$ $= -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 2 + 1$ $= -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3$ (2) 由(1)可知，顶点坐标是 $(2, 3)$，对称轴是直线 $x=2$，因为二次项系数 $-\frac{1}{2}<0$，所以开口向下。 (3) 令 $y=0$，$-\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3 = 0$，$(x-2)^2 = 6$，$x-2 = \pm\sqrt{6}$，$x = 2 \pm \sqrt{6}$。 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(2+\sqrt{6}, 0)$ 和 $(2-\sqrt{6}, 0)$。 令 $x=0$，$y=-\frac{1}{2}(0-2)^2 + 3 = -\frac{1}{2} \times 4 + 3 = -2 + 3 = 1$。 与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0, 1)$。

21. 解：(1) 证明：因为 $\triangle ADE$ 旋转到 $\triangle ABF$ 的位置， $AD=AB$, $\angle DAB=90^\circ$, $\angle DAE=\angle BAF$。 因为四边形 $ABCD$ 是正方形， $AB=AD$, $\angle BAD=90^\circ$。 $\angle DAE = \angle DAB - \angle EAB = 90^\circ - \angle EAB$， $\angle BAF = \angle BAE - \angle FAE = \angle BAE - \angle DAE$ (因为 $\angle FAE=\angle DAE$)。 由 $\angle DAE=\angle BAF$，可得 $90^\circ - \angle EAB = \angle BAE - \angle DAE$。 另一种更简单的方法：因为旋转，$AE=AF$, $\angle EAF=90^\circ$。 在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ADF$ 中， $AB=AD$ (正方形性质), $\angle BAE = \angle DAF$ (因为 $\angle BAE = \angle BAD - \angle EAD = 90^\circ - \angle EAD$, $\angle DAF = \angle DAB - \angle FAB = 90^\circ - \angle FAB$, 而 $\angle EAD=\angle FAB$), $AE=AF$ (旋转性质)。 $\triangle ABE \cong \triangle ADF$ (SAS)。 (2) 因为 $AB=4, DE=1$，$CE = CD - DE = 4 - 1 = 3$。 在Rt $\triangle BCE$ 中，$BE^2 = BC^2 + CE^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$。 $BE = 5$。

22. 解：(1) 设售价为 $x$ 元，则每件利润为 $(x-10)$ 元。 每天的销量为 $200 - 10(x-12) = 200 - 10x + 120 = 320 - 10x$ (件)。 $y = (x-10)(320-10x)$。 化简得：$y = -10x^2 + 420x - 3200$。 (2) 由(1)知，$y = -10x^2 + 420x - 3200$。 当 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{420}{2 \times (-10)} = \frac{420}{20} = 21$ (元)时， $y_{最大} = -10(21)^2 + 420 \times 21 - 3200 = -4410 + 8820 - 3200 = 1210$ (元)。 答：当售价定为每千克21元时，每天的销售利润最大，最大利润是1210元。 (3) 由题意，$y \geq 800$， $-10x^2 + 420x - 3200 \geq 800$， $-10x^2 + 420x - 4000 \geq 0$， 两边除以-10，不等号方向改变， $x^2 - 42x + 400 \leq 0$。 解方程 $x^2 - 42x + 400 = 0$， $\Delta = (-42)^2 - 4 \times 1 \times 400 = 1764 - 1600 = 164$， $x = \frac{42 \pm \sqrt{164}}{2} = \frac{42 \pm 2\sqrt{41}}{2} = 21 \pm \sqrt{41}$。 因为抛物线 $y=x^2-42x+400$ 开口向上，$x^2-42x+400 \leq 0$ 的解集为 $21-\sqrt{41} \leq x \leq 21+\sqrt{41}$。 $21-\sqrt{41} \approx 21-6.4 = 14.6$，$21+\sqrt{41} \approx 21+6.4 = 27.4$。 因为售价必须大于成本价，且销量不能为负，$320-10x \geq 0$，$x \leq 32$。 $x$ 的取值范围是 $14.6 \leq x \leq 27.4$。 答：售价应控制在每千克约14.6元至27.4元之间。

23. 解：(1) 因为抛物线经过 $A(-1, 0), B(3, 0), C(0, 3)$， 可设抛物线的解析式为 $y=a(x+1)(x-3)$。 将点 $C(0, 3)$ 代入，$3 = a(0+1)(0-3)$， $3 = -3a$， $a = -1$。 抛物线的解析式为 $y=-(x+1)(x-3)$， 展开得：$y=-(x^2-2x-3) = -x^2+2x+3$。 (2) 抛物线的对称轴是直线 $x = \frac{-1+3}{2} = 1$。 设点 $P$ 的坐标为 $(1, p)$。 $AB = |3 - (-1)| = 4$。 点 $P$ 到直线 $AB$（即 $x$ 轴）的距离为 $|p|$。 因为 $\triangle PAB$ 的面积为6， $\frac{1}{2} \times AB \times |p| = 6$， $\frac{1}{2} \times 4 \times |p| = 6$， $2|p| = 6$， $|p| = 3$， $p = 3$ 或 $p = -3$。 点 $P$ 的坐标为 $(1, 3)$ 或 $(1, -3)$。