2025八年级期末试卷

2025-2025学年八年级（初二）上学期期末模拟试卷

（总分：100分 考试时间：90分钟）

注意事项：

1. 本试卷共分两部分，第一部分为选择题,第二部分为非选择题。
2. 请将所有答案填写在答题卡或指定位置上。

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第一部分 选择题（共30分）

单项选择题（每小题2分，共20分）

1. 下列各数中，是无理数的是 A. 3.14 B. $\sqrt{9}$ C. $\frac{22}{7}$ D. $\sqrt{5}$

2. 下列运算正确的是 A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$ B. $(a^2)^3 = a^5$ C. $a^6 \div a^2 = a^3$ D. $(ab)^2 = a^2b^2$

3. 一次函数 $y = -2x + 3$ 的图象不经过的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

   
   （图片来源网络，侵删）

4. 下列命题中，是假命题的是 A. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 轴对称图形的对称轴是唯一的 D. 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形

5. 在平面直角坐标系中，点 $P(-3, 2)$ 关于原点对称的点的坐标是 A. $(3, 2)$ B. $(-3, -2)$ C. $(3, -2)$ D. $(-2, 3)$

6. 已知 $x=2$ 是关于 $x$ 的方程 $2x - a = 3$ 的解，则 $a$ 的值是 A. 1 B. -1 C. 4 D. -4

7. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是 A. $x^2 - 2x + 1$ B. $x^2 - y^2$ C. $x^2 + y^2$ D. $x^2 + 2xy + y^2$

   
   （图片来源网络，侵删）

8. 一次函数 $y_1 = kx + b$ 与 $y_2 = x + a$ 的图象如图1所示，则下列结论中错误的是

   （图1：一个坐标系，直线y1经过一、三、四象限，直线y2经过一、二、三象限,两直线交于第一象限）

   A. $k < 0$ B. $b > 0$ C. $a > 0$ D. 方程组 $\begin{cases} y = kx + b \ y = x + a \end{cases}$ 的解在第一象限

9. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是 A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形

10. 如图2，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，下列结论中不一定成立的是

    （图2：一个等腰三角形ABC，AB=AC，D是BC中点,连接AD）

    A. $AD \perp BC$ B. $\angle BAD = \angle CAD$ C. $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的对称轴 D. $AB = CD$

多项选择题（每小题3分，共10分，错选、多选、少选均不得分）

11. 下列说法中，正确的有 A. 带根号的数都是无理数 B. 无限小数都是无理数 C. $\sqrt{4}$ 的算术平方根是 2 D. 数轴上的点与实数一一对应

12. 下列关于函数 $y = kx + b(k \neq 0)$ 的说法中，正确的有 A. $y$ 与 $x$ 成正比例关系 B. 图象是一条直线 C. 当 $k > 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大 D. 图象一定经过点 $(0, b)$

13. 下列命题中，是真命题的有 A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

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第二部分 非选择题（共70分）

填空题（每小题3分，共15分）

14. 计算：$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \underline{\hspace{2cm}}$。

15. 分解因式：$3ax^2 - 12ay^2 = \underline{\hspace{2cm}}$。

16. 已知一次函数的图象经过点 $(1, 2)$ 和 $(3, 0)$，则这个函数的表达式为 $\underline{\hspace{2cm}}$。

17. 一个正多边形的每个内角都等于 $120^\circ$，则这个正多边形的边数是 $\underline{\hspace{2cm}}$。

18. 如图3，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 8$，$BC = 6$，点 $D$ 是 $AB$ 的中点，则 $CD$ 的长为 $\underline{\hspace{2cm}}$。

    （图3：一个直角三角形ABC，C为直角，AC=8，BC=6,D为AB中点）

解答题（共55分）

19. （本题8分）计算： $(1) (\pi - 2025)^0 + (-\frac{1}{2})^{-2} + |1 - \sqrt{3}|$ $(2) (a+2b)(a-2b) - (a-b)^2$

20. （本题8分）先化简，再求值：$(\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} \div \frac{x+1}{x-1}) \cdot \frac{x-1}{x}$，$x = \sqrt{2} - 1$。

21. （本题9分）如图4，在 $\square ABCD$ 中，$E$、$F$ 分别是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$。

    （图4：一个平行四边形ABCD，对角线AC，E、F是AC上两点，AE=CF）

    求证： (1) $\triangle ABE \cong \triangle CDF$； (2) $BE = DF$。

22. （本题10分）为响应“绿色出行”的号召，某市计划引进一批共享单车，经过市场调研发现，如果每月每辆共享单车的固定成本为100元，那么每辆单车每月的盈利 $y$（元）与投放数量 $x$（辆）之间的关系是一次函数,其图象如图5所示。

    （图5：一个坐标系，横轴是投放数量x（辆），纵轴是盈利y（元），直线经过点(100, 5000)和(200, 0)）

    (1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式； (2) 如果该公司计划每月盈利不少于8000元,那么每月至少要投放多少辆共享单车？

23. （本题10分）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$\triangle ABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A(-1, 4)$，$B(-3, 2)$，$C(-2, 1)$。 (1) 画出 $\triangle ABC$ $y$ 轴对称的 $\triangle A_1B_1C_1$，并写出 $A_1$，$B_1$，$C_1$ 的坐标； (2) 将 $\triangle ABC$ 先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到 $\triangle A_2B_2C_2$，请画出 $\triangle A_2B_2C_2$ 并写出 $A_2$，$B_2$，$C_2$ 的坐标。

24. （本题10分）阅读下列材料,并回答问题。

    材料：我们知道，对于任意两个实数 $a$、$b$，它们的平方和 $a^2 + b^2$ 总是非负数，我们可以利用这个性质来证明一些不等式，要证明 $a^2 + b^2 \ge 2ab$，可以这样证明： $\because (a-b)^2 \ge 0$ $\therefore a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$ $\therefore a^2 + b^2 \ge 2ab$

    问题： (1) 仿照材料，证明：对于任意实数 $a$，有 $a^2 + 1 \ge 2a$。 (2) 已知 $a, b$ 均为正数，且满足 $a + b = 4$，求 $ab$ 的最大值，并写出此时 $a, b$ 的值。

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参考答案及评分标准

单项选择题

1. D
2. D
3. C
4. C
5. B
6. A
7. B
8. C
9. D
10. D

多项选择题 11. D 12. BCD 13. ABD

填空题 14. $\sqrt{3}$ 15. $3a(x+2y)(x-2y)$ 16. $y = -x + 3$ 17. 6 18. 5

解答题

19. (1) 原式 = $1 + 4 + (\sqrt{3} - 1) = 4 + \sqrt{3}$ ... 4分 (2) 原式 = $(a^2 - 4b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 - 4b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 2ab - 5b^2$ ... 4分

20. 原式 = $(\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x+1}) \cdot \frac{x-1}{x} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x-1}{x} = \frac{(x-1)^2}{x^2}$ ... 4分 当 $x = \sqrt{2} - 1$ 时， 原式 = $\frac{(\sqrt{2}-1-1)^2}{(\sqrt{2}-1)^2} = \frac{(\sqrt{2}-2)^2}{(\sqrt{2}-1)^2} = \frac{2 - 4\sqrt{2} + 4}{2 - 2\sqrt{2} + 1} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}$ 分母有理化：$= \frac{(6-4\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{18 + 12\sqrt{2} - 12\sqrt{2} - 16}{9-8} = \frac{2}{1} = 2$ ... 4分

21. (1) 证明：在 $\square ABCD$ 中， $AB = CD$，$\angle BAE = \angle DCF$ ... 2分 又 $\because AE = CF$ ... 1分 $\therefore \triangle ABE \cong \triangle CDF$ (SAS) ... 1分

    (2) 由(1)可知，$\triangle ABE \cong \triangle CDF$， $\therefore BE = DF$ ... 2分

22. (1) 设函数关系式为 $y = kx + b$。 由图象知，当 $x=100$ 时，$y=5000$；当 $x=200$ 时，$y=0$。 $\begin{cases} 100k + b = 5000 \ 200k + b = 0 \end{cases}$ 解得：$k = -50$，$b = 10000$ ... 4分 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = -50x + 10000$。

    (2) 根据题意，$y \ge 8000$， 即 $-50x + 10000 \ge 8000$ ... 2分 解得：$x \le 40$ ... 2分 答：每月至少要投放40辆共享单车。

23. (1) $A_1(1, 4)$，$B_1(3, 2)$，$C_1(2, 1)$，画图正确 ... 4分 (2) $A_2(4, 6)$，$B_2(2, 4)$，$C_2(3, 3)$，画图正确 ... 6分

24. (1) 证明：$\because (a-1)^2 \ge 0$ ... 2分 $\therefore a^2 - 2a + 1 \ge 0$ ... 1分 $\therefore a^2 + 1 \ge 2a$ ... 1分

    (2) $\because a, b$ 均为正数，且 $a + b = 4$ ... 1分 由材料中的结论可知，$a^2 + b^2 \ge 2ab$ ... 1分 $\because (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 16$ ... 1分 $\therefore a^2 + b^2 = 16 - 2ab$ ... 1分 将其代入不等式，得 $16 - 2ab \ge 2ab$ ... 1分 解得：$ab \le 4$ ... 1分 $ab$ 的最大值为4。 $a^2 + b^2 = 2ab$，即 $(a-b)^2 = 0$，$a = b$。 又 $a + b = 4$，解得 $a = 2$，$b = 2$ ... 2分

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