八年级数学上册第十二章重点难点是什么？

第一章：全等三角形

本章核心目标

1. 理解概念：掌握全等三角形的概念、性质和判定方法。
2. 学会证明：能够运用全等三角形的判定方法进行简单的几何证明。
3. 掌握技巧：学会分析几何图形，找到证明全等所需的条件,特别是学会添加辅助线。
4. 学以致用：能够运用全等三角形的知识解决线段相等、角相等、线段和差倍分等问题。

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知识结构梳理

本章的知识点可以看作一个“概念 → 判定 → 应用”的逻辑链条。

第一部分：基础概念与性质

1. 全等形

   • 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
   • 关键：“完全重合”意味着形状和大小都相同。

2. 全等三角形

   • 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
   • 对应元素：当两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
   • 表示方法：记作 △ABC ≌ △DEF，记全等三角形时,通常把对应顶点写在对应的位置上。
   • 性质：
     • 全等三角形的对应边相等。
     • 全等三角形的对应角相等。
     • 全等三角形的对应边上的高、中线、角平分线相等。
     • 全等三角形的周长相等，面积相等。

第二部分：全等三角形的判定

这是本章的核心和重点，共有五个基本判定方法（包括一个公理和两个推论，以及两个针对特殊三角形的判定）。

判定方法	图形	备注
边边边 (SSS)	三边对应相等的两个三角形全等。	(三个边都对应相等的三角形)	公理，不需要证明，作为基础。
边角边 (SAS)	两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。	(两边和夹角对应相等)	“角必须是夹角”，这是关键。
角边角 (ASA)	两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。	(两角和夹边对应相等)	“边必须是夹边”。
角角边 (AAS)	两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。	(两角和其中一个角的对边对应相等)	由“ASA”推论得出，应用广泛。
斜边、直角边 (HL)	斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。	(直角三角形，斜边和一条直角边对应相等)	仅适用于直角三角形。

易错点提醒：

• “SSA”或“ASS”不能判定全等，这是最常见的误区，可以想象一个“瘦”的三角形和一个“胖”的三角形，它们有两条边和一个角对应相等,但显然不全等。
• “AAA”不能判定全等，只能保证形状相同，但大小可能不同（相似三角形）。
• SAS中的角必须是夹角，ASA中的边必须是夹边。

第三部分：角平分线的性质

这是全等三角形的一个重要应用,也是本章的一个小重点。

1. 角平分线的性质定理

   
   （图片来源网络，侵删）
   • 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
   • 图形语言：如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，则 PD = PE。
   • 作用：证明两条线段相等。

2. 角平分线的判定定理

   • 到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。
   • 作用：证明点在角平分线上。

第四部分：尺规作图

本章要求掌握两个基本尺规作图，它们都是基于全等三角形（SSS）的原理。

1. 作一个角等于已知角

   • 依据：SSS 全等判定。
   • 步骤：在已知角上截取两边，再在新角上截取等长边,连接第三个顶点即可。

2. 作已知线段的垂直平分线

   • 依据：SSS 全等判定（构造两个全等的三角形）。
   • 作用：找到线段的垂直平分线,其上的点到线段两端点的距离相等。

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学习方法与技巧

1. 抓准对应关系：在证明全等时，首先要根据图形和已知条件，准确找出对应边和对应角，可以尝试用“旋转、翻折、平移”的思想去想象两个三角形如何重合。

2. 掌握证明流程（“三步走”）：

   • 第一步：找目标，要证明什么？（通常是证明两条线段相等、两个角相等，或者证明两条直线平行/垂直）。
   • 第二步：想方法，要证明这个结论,通常需要先证明哪两个三角形全等？
   • 第三步：备条件，要证明这两个三角形全等，目前还缺什么条件？（根据SSS, SAS, ASA, AAS, HL去寻找），如果条件不够,看能否利用已知条件先证明出所需的中间量。

3. 学会添加辅助线：当题目给出的条件比较分散，无法直接构成全等三角形时，就需要添加辅助线,常见的辅助线有：

   • 连线：连接两个点,构造新的三角形或边。
   • 延长/截取：延长某条线段或在某条线段上截取一段,以创造全等的条件。
   • 作垂线：当遇到角平分线时，常向两边作垂线,利用角平分线性质。
   • 作平行线：利用平行线的性质（内错角、同位角相等）来创造相等的角。

4. 规范书写格式：几何证明题要求逻辑严谨，书写规范,一个标准的全等证明步骤是：

   • 写出在哪两个三角形中（如：在△ABC和△DEF中）。
   • 列出全等的条件（用∵...∴...格式，条理清晰）。
   • 写出判定依据（如：∴ △ABC ≌ △DEF）。
   • 得出结论（如：∴ AB = DE (全等三角形的对应边相等)）。

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典型例题分析

直接应用判定定理 如图，点C是AB的中点，CD=CE，∠ACD=∠BCE，求证：AD=BE。

分析：

• 目标：证明 AD = BE。
• 方法：观察AD和BE分别是哪个三角形的边，它们分别是△ADC和△BEC的边，我们需要证明△ADC ≌ △BEC。
• 备条件：
  1. 已知 CD = CE。
  2. 已知 ∠ACD = ∠BCE。
  3. 因为C是AB中点，AC = BC。
• 判定：我们有两边（AC=BC, CD=CE）和它们的夹角（∠ACD=∠BCE）对应相等，符合 SAS 判定。
• △ADC ≌ △BEC，AD = BE。

需要证明中间量（两次全等） 如图，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，求证：AC=CE。

分析：

• 目标：证明 AC = CE。
• 方法：AC和CE不在同一个三角形里，也无法直接找到包含它们的两个全等三角形，需要寻找一个“桥梁”。
• 第一次全等：观察△ABC和△EDC，已知 AB=CD, BC=DE，还有一个对顶角∠ABC=∠EDC（因为都等于90°），可以先用 SAS 证明 △ABC ≌ △EDC。
• 得出中间量：由第一次全等，可以得到 ∠ACB = ∠ECD。
• 第二次全等：现在看△ACB和△ECD，我们已经知道 BC=DE，∠ACB=∠ECD，还有一个对顶角∠BCA=∠DCE（这是刚才得到的），可以用 ASA 证明 △ACB ≌ △ECD。
• 由第二次全等，得到 AC = CE。

利用角平分线性质 如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。

分析：

• 目标：证明 DE = DF。
• 方法：观察到DE和DF分别是点D到AB和AC的距离,而AD是角平分线。
• 直接应用：根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等，因为点D在∠BAC的平分线AD上，DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF。
• 直接得证。

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《全等三角形》这一章，从定义出发，核心是五个判定方法，最终落脚点是应用这些方法去解决几何证明问题,学习本章的关键在于：

• 牢记五个判定条件,特别是它们的适用范围和限制。
• 掌握“分析问题、寻找目标、构建全等、补充条件”的证明思路。
• 勤加练习,通过做题来熟悉各种图形模型和辅助线的添加方法。

打好这一章的基础，你的几何学习之路将会平坦很多,祝你学习进步！