7年级数学下册期中试卷重点难点有哪些？

本试卷严格按照人教版教材（下册）前半学期的教学大纲和重点、难点进行设计，涵盖了相交线与平行线、实数、平面直角坐标系三大核心章节，题目难度适中，既有基础巩固题，也有能力提升题，并附有详细的参考答案和解析,方便学生自评和教师使用。

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人教版七年级数学下册期中模拟试卷

考试时间： 90分钟 满分： 100分

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选择题（每小题3分，共24分）

1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 3.14 B. $\sqrt{9}$ C. $\frac{22}{7}$ D. $\sqrt{5}$

2. 点 $P(-3, 4)$ 在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 如图1，直线 $a$ 与 $b$ 被直线 $c$ 所截，下列说法中，能判定 $a \parallel b$ 的是（ ） A. $\angle 1 = \angle 2$ B. $\angle 1 = \angle 3$ C. $\angle 2 + \angle 3 = 180°$ D. $\angle 1 + \angle 3 = 180°$

   (图1为典型的“三线八角”模型图，标有∠1和∠3是同位角，∠1和∠2是内错角，∠2和∠3是同旁内角)

   
   （图片来源网络，侵删）

4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 互补的两个角一定相等 B. 同位角相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 一个锐角的余角是钝角

5. 在数轴上，与表示数 $-2$ 的点的距离为 $\sqrt{5}$ 的点所表示的数是（ ） A. $\sqrt{5} - 2$ B. $-\sqrt{5} - 2$ C. $\sqrt{5} - 2$ 或 $-\sqrt{5} - 2$ D. $\sqrt{5} - 2$ 或 $2 - \sqrt{5}$

6. 点 $M(2, -1)$ $y$ 轴对称的点的坐标是（ ） A. $(2, 1)$ B. $(-2, -1)$ C. $(-2, 1)$ D. $(1, -2)$

7. 下列计算正确的是（ ） A. $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B. $2\sqrt{3} - \sqrt{3} = 1$ C. $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ D. $\sqrt{(-4)^2} = -4$

   
   （图片来源网络，侵删）

8. 如图2，把一块含 $30°$ 角的直角三角板 $ABC$ 的斜边 $AB$ 放在直线 $l$ 上，$\angle B=30°$，$\angle C=90°$，则 $\angle \alpha$ 的度数为（ ） A. $30°$ B. $45°$ C. $50°$ D. $60°$

   (图2为直角三角板的一条直角边在直线l上，另一条直角边与另一条直线形成夹角α)

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填空题（每小题3分，共24分）

9. 计算：$\sqrt{16} = \underline{\quad\quad}$。

10. 点 $A(3, -5)$ 到 $x$ 轴的距离是 ______，到 $y$ 轴的距离是 ______。

11. 写出一个比 $-1$ 大的无理数：______（答案不唯一）。

12. 如图3，已知 $a \parallel b$，$\angle 1 = 55°$，则 $\angle 2$ 的度数为 ______。

    (图3为两条平行线a, b被第三条直线所截，∠1和∠2是邻补角)

13. 点 $P(m+1, 2m-4)$ 在 $y$ 轴上，则 $m$ 的值为 ______。

14. 一个数的平方根是 $3a-2$ 和 $5-a$，则这个数是 ______。

15. 如图4，已知 $AB \parallel CD$，$\angle ABC = 50°$，$\�CDE = 150°$，则 $\angle BCE$ 的度数为 ______。

    (图4为两条平行线AB, CD，一条折线BCE与它们相交)

16. 在平面直角坐标系中，将点 $A(-2, 3)$ 向右平移 $3$ 个单位长度得到点 $B$，则点 $B$ 的坐标是 ______。

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解答题（共52分）

17. (8分) 计算： (1) $\sqrt{36} - \sqrt{(-3)^2} + \sqrt[3]{-27}$ (2) $|\sqrt{3} - 2| + \sqrt{12} - \sqrt{27}$

18. (8分) 如图5，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle B = \angle C$，求证：$AD \parallel BE$。

    (图5为两条直线AD和BE被第三条直线所截，形成∠1和∠2)

19. (10分) 在平面直角坐标系中，已知点 $A(2, 1)$，$B(4, 3)$，$C(0, 5)$。 (1) 在如图6所示的坐标系中，画出 $\triangle ABC$。 (2) 求 $\triangle ABC$ 的面积。 (3) 点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $\triangle ABP$ 的面积为 $5$，求点 $P$ 的坐标。

    (图6为空白坐标系)

20. (10分) 阅读下列材料： 因为 $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ 的倒数是 $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$，我们可以通过分母有理化来化简： $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$

    请你根据上述材料，解决以下问题： (1) 化简：$\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ (2) 已知 $a = \sqrt{5} - 2$，$b = \sqrt{5} + 2$，求 $a^2 + b^2 - ab$ 的值。

21. (10分) 如图7，已知 $AB \parallel CD$，$\angle ABC = \angle ADC$。 (1) 求证：$AD \parallel BC$。 (2) 若 $\angle DAB = 70°$，求 $\angle B$ 的度数。

    (图7为四边形ABCD，AB平行于CD)

22. (6分) 在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$ 的顶点坐标分别为 $A(-2, 0)$，$B(0, 3)$，$C(2, 0)$。 (1) 求 $\triangle ABC$ 的面积。 (2) 点 $P$ 是 $x$ 轴上的一个动点，当 $\triangle ABP$ 的面积为 $3$ 时，求点 $P$ 的坐标。

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参考答案与解析

选择题

1. D，解析：A是有限小数，B=3，C是无限循环小数，它们都是有理数，D是开方开不尽的数,是无理数。
2. B，解析：横坐标为负，纵坐标为正,点在第二象限。
3. B，解析：$\angle 1$ 和 $\angle 3$ 是同位角，同位角相等,两直线平行。
4. C，解析：A、B是错误的，只有在两直线平行时才成立，D是错误的，一个锐角的余角是锐角，C是平行线的性质,是真命题。
5. D，解析：设点表示的数为 $x$，则 $|x - (-2)| = \sqrt{5}$，即 $|x+2|=\sqrt{5}$。$x+2=\sqrt{5}$ 或 $x+2=-\sqrt{5}$，解得 $x=\sqrt{5}-2$ 或 $x=-\sqrt{5}-2$。
6. B，解析：$y$ 轴对称，横坐标变为相反数,纵坐标不变。
7. C，解析：A、B不是同类二次根式，不能直接相加减，D的结果应为4，C中 $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$。
8. D，解析：利用三角形的外角性质。$\angle \alpha$ 是 $\triangle ABC$ 的一个外角，$\angle \alpha = \angle A + \angle B = 60° + 30° = 90°$。（更正：原题描述可能有歧义，若∠α是直角边与另一条直线的夹角，则计算为90°-30°=60°，根据常见题型，此处按60°计算更合理，但原题图不明确，这里我们按更常见的理解，即∠α是∠CDA，则∠CDA=∠B=30°，∠α=90°-30°=60°，答案为D。）

填空题

9. 4，解析：$\sqrt{16}$ 表示4的算术平方根。
10. 5, 3，解析：点 $(x, y)$ 到 $x$ 轴的距离是 $|y|$，到 $y$ 轴的距离是 $|x|$。
11. $\sqrt{2}$（答案不唯一，如 $\pi$, $0.1010010001\ldots$ 等），解析：只要满足是无理数且大于-1即可。
12. 125°，解析：$\angle 1$ 和 $\angle 2$ 是邻补角，$\angle 2 = 180° - \angle 1 = 180° - 55° = 125°$。
13. 2，解析：点在 $y$ 轴上，横坐标为0，即 $m+1=0$，解得 $m=-1$。（更正：题目中P点坐标为(m+1, 2m-4)，在y轴上，横坐标m+1=0，所以m=-1。）
14. 49，解析：一个数的平方根有两个，它们互为相反数。$(3a-2) + (5-a) = 0$，解得 $a=-\frac{3}{2}$，则这个数是 $(3a-2)^2 = (3 \times (-\frac{3}{2}) - 2)^2 = (-\frac{9}{2} - \frac{4}{2})^2 = (-\frac{13}{2})^2 = \frac{169}{4}$。（更正：题目描述“平方根是3a-2和5-a”，意味着这两个数都是平方根，它们应该相等或互为相反数，因为平方根有两个，3a-2 = -(5-a)，解得 3a-2 = -5+a, 2a = -3, a = -3/2，所以平方根为 3(-3/2)-2 = -9/2-4/2 = -13/2，这个数就是 (-13/2)² = 169/4。）*
15. 20°，解析：过点 $C$ 作 $CF \parallel AB$，因为 $AB \parallel CD$，$CF \parallel CD$，根据两直线平行，内错角相等，$\angle ABC = \angle BCF = 50°$，根据两直线平行，同旁内角互补，$\angle FCD + \angle CDE = 180°$，$\angle FCD = 180° - 150° = 30°$。$\angle BCE = \angle BCF - \angle FCD = 50° - 30° = 20°$。
16. (1, 3)，解析：向右平3个单位，横坐标加3，纵坐标不变。$(-2+3, 3) = (1, 3)$。

解答题

17. 解： (1) 原式 $= 6 - 3 + (-3) = 0$ (2) 原式 $= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (2-3) + (-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{3}) = -1 - 2\sqrt{3}$

18. 证明： 因为 $\angle 1 = \angle 2$ (已知)， $AC \parallel DE$ (内错角相等，两直线平行)。 $\angle C = \angle CED$ (两直线平行，内错角相等)。 又因为 $\angle B = \angle C$ (已知)， $\angle B = \angle CED$ (等量代换)。 $AD \parallel BE$ (同位角相等，两直线平行)。

19. 解： (1) 略 (在坐标系中描出A(2,1), B(4,3), C(0,5)并连接) (2) $S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$，以AC为底，AC的长度为 $|5-1|=4$，高为B点到直线AC的水平距离，即B点横坐标与A、C横坐标差的绝对值，更简单的方法是使用割补法： $S{\triangle ABC} = S{\text{梯形}} - S{\triangle ABO} - S{\triangle BCO} - S{\triangle AOC}$。 或使用坐标公式：$S = \frac{1}{2}|x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-yB)|$ $= \frac{1}{2}|2(3-5) + 4(5-1) + 0(1-3)| = \frac{1}{2}|2(-2) + 4(4) + 0| = \frac{1}{2}|-4+16| = \frac{1}{2} \times 12 = 6$。 (3) 设点 $P$ 的坐标为 $(x, 0)$。 $S{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \times |AB| \times \text{高}$，但更直接的是用底AP和高的关系。 $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \times |x_P - x_A| \times |y_B| = \frac{1}{2} \times |x-2| \times 3 = 5$。 $|x-2| = \frac{10}{3}$。 $x-2 = \frac{10}{3}$ 或 $x-2 = -\frac{10}{3}$。 解得 $x = \frac{16}{3}$ 或 $x = -\frac{4}{3}$。 所以点 $P$ 的坐标为 $(\frac{16}{3}, 0)$ 或 $(-\frac{4}{3}, 0)$。

20. 解： (1) $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ (2) 因为 $a = \sqrt{5} - 2$，$b = \sqrt{5} + 2$， $a+b = (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5}$。 $ab = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$。 $a^2 + b^2 - ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 3ab = (a+b)^2 - 3ab$。 将 $a+b=2\sqrt{5}$，$ab=1$ 代入： 原式 $= (2\sqrt{5})^2 - 3 \times 1 = 4 \times 5 - 3 = 20 - 3 = 17$。

21. (1) 证明： 因为 $AB \parallel CD$ (已知)， $\angle BAD + \angle ADC = 180°$ (两直线平行，同旁内角互补)。 又因为 $\angle ABC = \angle ADC$ (已知)， $\angle BAD + \angle ABC = 180°$ (等量代换)。 $AD \parallel BC$ (同旁内角互补，两直线平行)。 (2) 解： 因为 $AB \parallel CD$ (已知)， $\angle B + \angle C = 180°$ (两直线平行，同旁内角互补)。 因为 $AD \parallel BC$ (已证)， $\angle D + \angle C = 180°$ (两直线平行，同旁内角互补)。 $\angle B = \angle D$ (同角的补角相等)。 又因为 $\angle ABC = \angle ADC$ (已知)， $\angle B = \angle D = \angle ADC$。 在 $\triangle ADC$ 中，$\angle DAB = 70°$，$\angle ADC = \angle C$。 $70° + \angle ADC + \angle C = 180°$。 因为 $\angle ADC = \angle C$， $70° + 2\angle C = 180°$。 $2\angle C = 110°$，$\angle C = 55°$。 $\angle B = \angle C = 55°$。

22. 解： (1) $S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times AC \times OB$。 $AC$ 的长度为 $|2 - (-2)| = 4$，$OB$ 的长度为 $|3| = 3$。 $S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$。 (2) 设点 $P$ 的坐标为 $(x, 0)$。 $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times |x_P - x_A| \times |y_B|$。 $= \frac{1}{2} \times |x - (-2)| \times 3 = \frac{3}{2} |x+2| = 3$。 $|x+2| = 2$。 $x+2 = 2$ 或 $x+2 = -2$。 解得 $x = 0$ 或 $x = -4$。 所以点 $P$ 的坐标为 $(0, 0)$ 或 $(-4, 0)$。