八年级下册数学期末卷重点难点解析？

本试卷严格按照人教版八年级下册数学的教学大纲和核心知识点进行编写,涵盖了二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数、数据的分析等主要章节，题目难度梯度分明，既有基础巩固题，也有能力提升题和综合探究题，旨在全面考察学生的数学核心素养。

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八年级下册数学期末考试卷

（满分：120分 考试时间：120分钟）

选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列二次根式中,是最简二次根式的是 A. $\sqrt{8}$
   B. $\sqrt{12}$
   C. $\sqrt{a^2}$
   D. $\sqrt{a+1}$

2. 在平面直角坐标系中,点 $P(-2, 3)$ 关于原点对称的点的坐标是 A. $(2, 3)$
   B. $(2, -3)$
   C. $(-2, -3)$
   D. $(3, -2)$

3. 下列各组数中,能作为直角三角形三边长度的是 A. $2, 3, 4$
   B. $3, 4, 5$
   C. $4, 5, 6$
   D. $5, 6, 7$

   
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4. 一次函数 $y = -2x + 4$ 的图像不经过的象限是 A. 第一象限
   B. 第二象限
   C. 第三象限
   D. 第四象限

5. 下列命题中,是真命题的是 A. 对角线相等的四边形是矩形
   B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
   C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
   D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

6. 一次函数 $y_1 = k_1x + b_1$ 和 $y_2 = k_2x + b_2$ 的图像如图1所示，则下列结论中正确的是 (此处应有图，描述为：两直线交于y轴正半轴，直线y1更陡峭) A. $k_1 > k_2$, $b_1 > b_2$
   B. $k_1 < k_2$, $b_1 > b_2$
   C. $k_1 > k_2$, $b_1 < b_2$
   D. $k_1 < k_2$, $b_1 < b_2$

7. 某校八年级（1）班50名同学的期末数学成绩统计显示，平均分为85分，中位数为88分，众数为90分，下列关于该班数学成绩的说法中，正确的是 A. 成绩低于85分的人数超过一半
   B. 成绩高于88分的人数超过一半
   C. 成绩为90分的人数最多
   D. 该班没有低于85分的学生

   
   （图片来源网络，侵删）

8. 计算 $\sqrt{12} \times \sqrt{3} - \sqrt{27}$ 的结果是 A. $3$
   B. $-3$
   C. $\sqrt{3}$
   D. $-\sqrt{3}$

9. 如图2,在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，下列结论不一定成立的是 (此处应有图，描述为：平行四边形ABCD，对角线交于O) A. $OA = OC$
   B. $AB = CD$
   C. $AC \perp BD$
   D. $\angle ABC = \angle CDA$

10. 一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的边长为 A. 2 cm
    B. 3 cm
    C. 5 cm
    D. 10 cm

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填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 函数 $y = \sqrt{x-2}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是____。

12. 点 $A(1, 4)$ 向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到的点的坐标是____。

13. 在一次“献爱心”捐款活动中，某小组7名同学捐款的金额（单位：元）分别为：10, 12, 15, 15, 18, 20, 25，这组数据的中位数是____元。

14. 已知一次函数 $y = (m-1)x + m^2 - 1$ 的图像经过原点，则 $m$ 的值为____。

15. 如图3,在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$, $BC = 8$, $E$ 是 $BC$ 的中点，连接 $AE$，则 $\triangle ABE$ 的面积是____。 (此处应有图，描述为：矩形ABCD，AB=6, BC=8, E是BC中点)

16. 观察下列等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$， $\sqrt{2 + \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{12}{5}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$， $\sqrt{3 + \frac{3}{7}} = \sqrt{\frac{24}{7}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$， $\sqrt{4 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{40}{9}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{9}}$， ... 请你根据上述规律，猜想 $\sqrt{5 + \frac{5}{11}}$ 的值为____。

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解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本题满分8分) 计算： $(1) \sqrt{48} - \sqrt{12} + \sqrt{3}$ $(2) (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) - \sqrt{20}$

18. (本题满分8分) 如图4，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 13$, $BC = 10$, $BC$ 边上的中线 $AD = 12$，求 $AC$ 的长度。 (此处应有图，描述为：三角形ABC，D是BC中点，AD=12)

19. (本题满分10分) 如图5，在 $\square ABCD$ 中，$E, F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$。 求证：$BE = DF$。 (此处应有图，描述为：平行四边形ABCD，E、F在对角线AC上，AE=CF)

20. (本题满分10分) 某文具店销售A、B两种型号的钢笔，A型钢笔每支的成本价为10元，售价为15元；B型钢笔每支的成本价为12元，售价为18元，该文具店一次性购进A、B两种型号的钢笔共100支，设购进A型钢笔 $x$ 支。 (1) 求本次购进钢笔的总成本 $W$（元）与 $x$ 之间的函数关系式。 (2) 若本次销售全部售出，要使销售利润不低于570元，该文具店至少应购进A型钢笔多少支？

21. (本题满分12分) 如图6，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = x + 2$ 的图像与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$，一次函数 $y = -2x + m$ 的图像经过点 $A$，并与 $y$ 轴交于点 $C$。 (1) 求点 $A$ 和点 $C$ 的坐标。 (2) 求点 $B$ 到直线 $AC$ 的距离。 (3) 求 $\triangle ABC$ 的面积。 (此处应有图，描述为：直线y=x+2与x轴交于A，与y轴交于B，直线y=-2x+m也过A点，与y轴交于C)

22. (本题满分12分) 如图7，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$, $BC = 6$，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 边以每秒1个单位长度的速度向点 $B$ 移动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿 $BC$ 边以每秒2个单位长度的速度向点 $C$ 移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 $t$ 秒。 (1) 用含 $t$ 的代数式表示 $PB$ 和 $QB$ 的长度。 (2) 当 $t$ 为何值时，$\triangle PBQ$ 是直角三角形？ (3) 当 $t$ 为何值时，四边形 $APQC$ 的面积是矩形 $ABCD$ 面积的一半？ (此处应有图，描述为：矩形ABCD，P在AB上，Q在BC上，P从A向B，Q从B向C)

23. (本题满分12分) 在一次数学综合实践活动中，老师带领学生测量一座教学楼的高度，如图8，在教学楼的顶部 $A$ 处测得地面上的目标点 $D$ 的俯角为 $45^\circ$，在教学楼的底部 $B$ 处测得目标点 $D$ 的仰角为 $30^\circ$，已知目标点 $D$ 到教学楼底部 $B$ 的水平距离 $BD = 30$ 米，求教学楼 $AB$ 的高度。（参考数据：$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, 结果保留根号） (此处应有图，描述为：垂直的线段AB代表教学楼，D在B的右侧，连接AD，AD与水平线成45度角，BD与水平线成30度角，BD=30米)

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参考答案与评分标准

选择题

1. D (最简二次根式要求被开方数不含分母和能开得尽方的因数或因式)
2. B (关于原点对称，横纵坐标都取相反数)
3. B (勾股定理逆定理，$3^2+4^2=5^2$)
4. C (k=-2<0, b=4>0，图像过一、二、四象限)
5. C (矩形的判定定理)
6. B (从图像看，y1更陡，所以k1的绝对值大，k1<0, k2<0，所以k1<k2；交点在y轴正半轴，b1=b2>0)
7. C (众数的定义)
8. A ($\sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$, $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，原式=6-3=3)
9. C (平行四边形的对角线互相平分，但不一定垂直)
10. C (菱形的对角线互相垂直平分，边长= $\sqrt{(6/2)^2+(8/2)^2} = \sqrt{9+16} = 5$)

填空题 11. $x \ge 2$ 12. $(-1, 1)$ 13. 15 14. 1 (函数过原点，则b=0，即 $m^2-1=0$，且m-1≠0，解得m=1) 15. 12 (面积= $\frac{1}{2} \times AB \times BE = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$) 16. $\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{11}}$ (规律：$\sqrt{n + \frac{n}{2n+1}} = \frac{2\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{2n+1}}$，当n=5时，代入即可)

解答题

17. (1) $\sqrt{48} - \sqrt{12} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ (4分) (2) $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) - \sqrt{20} = (\sqrt{5})^2 - 2^2 - 2\sqrt{5} = 5 - 4 - 2\sqrt{5} = 1 - 2\sqrt{5}$ (4分)

18. 因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$BD = DC = \frac{1}{2}BC = 5$。(2分) 在 $\triangle ABD$ 中，$AB^2 = 13^2 = 169$，$AD^2 = 12^2 = 144$，$BD^2 = 5^2 = 25$。 因为 $144 + 25 = 169$，即 $AD^2 + BD^2 = AB^2$，(4分) $\triangle ABD$ 是直角三角形，且 $\angle ADB = 90^\circ$。(2分) 在Rt $\triangle ADC$ 中，$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$。(2分)

19. 证明： 在 $\square ABCD$ 中，$AB \parallel CD$, $AB = CD$。(2分) $\angle BAE = \angle DCF$。(1分) 又因为 $AE = CF$，(1分) $\triangle ABE \cong \triangle CDF$ (SAS)。(3分) $BE = DF$。(1分)

20. (1) $W = 10x + 12(100 - x) = 10x + 1200 - 12x = -2x + 1200$。(4分) (2) 设利润为 $P$ 元，则 $P = (15-10)x + (18-12)(100-x) = 5x + 600 - 6x = -x + 600$。(2分) 根据题意，$-x + 600 \ge 570$，(2分) 解得 $x \le 30$。(1分) 答：该文具店至少应购进A型钢笔30支。(1分)

21. (1) 令 $y=0$，则 $x+2=0$，解得 $x=-2$，所以点 $A(-2, 0)$。(2分) 将 $A(-2, 0)$ 代入 $y = -2x + m$，得 $0 = -2(-2) + m$，解得 $m = -4$。(2分) $y = -2x - 4$，令 $x=0$，则 $y=-4$，所以点 $C(0, -4)$。(2分) (2) 令 $x=0$，则 $y=x+2=2$，所以点 $B(0, 2)$。(1分) 直线 $AC$ 的解析式为 $y = -2x - 4$，点 $B(0, 2)$ 到直线 $AC$ 的距离 $d$ 为： $d = \frac{|-2 \times 0 - 1 \times 2 - 4|}{\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$。(3分) (3) $AB = |2 - 0| = 2$，$OC = |0 - (-4)| = 4$。(1分) $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times OC = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$。(1分)

22. (1) $PB = AB - AP = 4 - t$，$QB = 2t$。(2分) (2) 当 $\angle B = 90^\circ$ 时，$\triangle PBQ$ 是直角三角形，但 $\angle B$ 始终为 $90^\circ$，所以只要 $P, Q$ 不与 $B$ 重合即可，此情况恒成立，但需考虑范围。 当 $\angle BPQ = 90^\circ$ 时，$PQ \parallel BC$，即 $AP = BQ$。 $4 - t = 2t$，解得 $t = \frac{4}{3}$。(2分) 当 $\angle BQP = 90^\circ$ 时，$PQ \parallel AB$，即 $BQ = AP$。 $2t = 4 - t$，解得 $t = \frac{4}{3}$。(2分) 当 $t = \frac{4}{3}$ 秒时，$\triangle PBQ$ 是直角三角形。 (3) 矩形 $ABCD$ 面积为 $4 \times 6 = 24$。(1分) 四边形 $APQC$ 的面积 = 矩形 $ABCD$ 面积 - $\triangle PBQ$ 面积。(1分) $S_{\triangle PBQ} = \frac{1}{2} \times PB \times QB = \frac{1}{2} (4-t)(2t) = t(4-t)$。(2分) 根据题意，$24 - t(4-t) = \frac{1}{2} \times 24 = 12$。(2分) 解得 $t^2 - 4t + 12 = 12$，即 $t^2 - 4t = 0$。 $t(t-4) = 0$，解得 $t=0$ 或 $t=4$。(1分) 因为 $t=0$ 时，点未开始移动，不符合题意。$t=4$ 秒。(1分)

23. 过点 $A$ 作 $AE \perp BD$，交 $BD$ 的延长线于点 $E$。(1分) 因为 $\angle ADC = 45^\circ$，$\angle ADE = 45^\circ$。 在Rt $\triangle ADE$ 中，$\angle AED = 90^\circ$，$\angle DAE = 45^\circ$。(1分) $AE = DE$。(1分) 因为 $\angle ABD = 30^\circ$，在Rt $\triangle ABE$ 中，$\angle AEB = 90^\circ$，$BE = AB \cdot \cot 30^\circ = AB \cdot \sqrt{3}$。(2分) 因为 $BD = 30$，$DE = AE = AB$，$BE = BD + DE = 30 + AB$。(2分) 所以有 $AB \cdot \sqrt{3} = 30 + AB$。(1分) 解得 $AB\sqrt{3} - AB = 30$，$AB(\sqrt{3} - 1) = 30$。(1分) $AB = \frac{30}{\sqrt{3} - 1} = \frac{30(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{30(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 15(\sqrt{3} + 1)$。(2分) 答：教学楼 $AB$ 的高度为 $15(\sqrt{3} + 1)$ 米。

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