九年级数学北师大版试卷含哪些重点考点？

校园之窗 2025年12月5日 06:55:58 99ANYc3cd6 1 0

这份试卷涵盖了北师大版九年级上册的核心知识点,包括一元二次方程、二次函数、旋转、圆、概率初步等，题型全面，难度适中，适合作为单元复习、期中/期末考前自测使用。

九年级数学上册（北师大版）综合模拟试卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

（图片来源网络，侵删）

选择题（每小题3分，共30分）

方程 $x^2 - 4 = 0$ 的根是 A. $x = 2$ B. $x = -2$ C. $x_1 = 2, x_2 = -2$ D. $x = 4$
抛物线 $y = 2(x-1)^2 + 3$ 的顶点坐标是 A. $(1, 3)$ B. $(-1, 3)$ C. $(1, -3)$ D. $(-1, -3)$
下列图形中,既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 A. 平行四边形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 梯形
已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，则点P与⊙O的位置关系是 A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O内 C. 点P在⊙O外 D. 无法确定
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用配方法解一元二次方程 $x^2 - 6x - 7 = 0$，配方正确的是 A. $(x-3)^2 = 2$ B. $(x-3)^2 = 16$ C. $(x+3)^2 = 2$ D. $(x+3)^2 = 16$
如图,PA、PB分别切⊙O于A、B两点，APB = 60°，PA = 8，则⊙O的半径为 A. 4 B. $4\sqrt{3}$ C. $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ D. $8\sqrt{3}$

(第6题图)
一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球,它们除颜色外其他均相同，从中随机摸出一个球，是红球的概率为 A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{2}{5}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{3}{10}$
（图片来源网络，侵删）
二次函数 $y = -x^2 + 2x + 3$ 的图象与y轴的交点坐标是 A. $(0, 3)$ B. $(0, -3)$ C. $(3, 0)$ D. $(-3, 0)$
如图,AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A = 30°，则∠C的度数为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

(第9题图)
某种商品经过两次连续降价,每降的百分率都是a，由原价100元降到了81元，下列方程正确的是 A. $100(1-a)^2 = 81$ B. $100(1-2a) = 81$ C. $100(1+a)^2 = 81$ D. $100(1+2a) = 81$

填空题（每小题3分，共24分）

方程 $(x-1)(x+2) = 0$ 的两根之和是 __。
将抛物线 $y = 2x^2$ 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是 __。
在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 13，BC = 5，则AC = __。
如图,PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P = 40°，则∠APB = __°。

(第14题图)
若关于x的一元二次方程 $kx^2 - 2x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 __。
如图,AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB = 8cm，OC = 3cm，则⊙O的半径为 __cm。

(第16题图)
一个圆锥的底面半径为3,母线长为5，则这个圆锥的侧面积为 __。（结果保留π）
有一个质地均匀的正十二面体,其12个面上分别标有数字1至12，将这个正十二面体掷出，朝上一面的数字是3的倍数的概率为 __。

解答题（共66分）

（本题8分）解一元二次方程： (1) $x^2 - 4x + 3 = 0$ (用配方法) (2) $2x^2 - 6x - 1 = 0$ (用公式法)
（本题8分）已知关于x的一元二次方程 $x^2 - (m+2)x + m = 0$。 (1) 求证：无论m取何实数，该方程总有实数根。 (2) 若方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根。
（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，点D是边AB的中点，点E在边AC上，且DE⊥AB。 (1) 求AB的长。 (2) 求线段DE的长。

(第21题图)
（本题10分）某商店购进一种商品，进价为每件40元，市场调研发现，当销售价为每件60元时，每天可售出20件；若销售价每降低1元，则每天可多售出2件，设每件商品的售价降低x元。 (1) 汀降后，每件商品的利润为 __元，每天可售出 __件商品。 (2) 若商店想每天销售这种商品获得800元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？
（本题10分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC、BC。 (1) 求证：$\triangle{ACB}$是直角三角形。 (2) 若AB = 10，CD = 8，求线段AE的长。

(第23题图)
（本题10分）已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$。 (1) 求该函数图象的顶点坐标和对称轴。 (2) 求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标。 (3) 画出这个函数的大致图象，并根据图象直接写出：当x取何值时，y随x的增大而减小？ (4) 若将此函数图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，求平移后得到的函数解析式。
（本题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2, 0)，点B的坐标为(0, 2)，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过A、B两点，且与x轴的另一个交点为C。 (1) 求c的值。 (2) 若抛物线的对称轴是直线x = 1，求a、b的值及点C的坐标。 (3) 在(2)的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标。

(第25题图)

参考答案与解析

选择题

填空题

1
$y = 2(x+3)^2 - 2$
12
40
$k > -1$ 且 $k \neq 0$
5
$15\pi$
$\frac{1}{3}$

解答题

(1) 解：$x^2 - 4x + 3 = 0$ $x^2 - 4x = -3$ $x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$ $(x-2)^2 = 1$ $x-2 = \pm 1$ $x_1 = 3, x_2 = 1$

(2) 解：$a=2, b=-6, c=-1$ $b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 36 + 8 = 44$ $x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{44}}{2 \times 2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{11}}{2}$ $x_1 = \frac{3 + \sqrt{11}}{2}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{11}}{2}$
(1) 证明：$Δ = [-(m+2)]^2 - 4 \times 1 \times m = m^2 + 4m + 4 - 4m = m^2 + 4$ 因为 $m^2 \ge 0$，$m^2 + 4 \ge 4 > 0$。无论m取何实数，该方程总有实数根。

(2) 解：将x=2代入方程： $2^2 - (m+2) \times 2 + m = 0$ $4 - 2m - 4 + m = 0$ $-m = 0$ $m = 0$ 当m=0时，方程为 $x^2 - 2x = 0$，即 $x(x-2) = 0$。已知一根为2，另一根为0。
(1) 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得： $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。

(2) 解：因为点D是AB的中点，所以AD = 5。因为DE⊥AB，ADE ∽ △ACB。 $\frac{DE}{CB} = \frac{AD}{AC}$。即 $\frac{DE}{8} = \frac{5}{6}$。解得：$DE = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$。
(1) 解：利润 = 售价 - 进价 = $(60 - x) - 40 = 20 - x$ 元。销量 = 原销量 + 增量 = $20 + 2x$ 件。答案：$20-x$；$20+2x$

(2) 解：根据题意，列方程： $(20 - x)(20 + 2x) = 800$ $400 + 40x - 20x - 2x^2 = 800$ $-2x^2 + 20x - 400 = 0$ 两边除以-2，得：$x^2 - 10x + 200 = 0$。判断：$Δ = (-10)^2 - 4 \times 1 \times 200 = 100 - 800 = -700 < 0$。该方程无实数根，所以商店无法每天获得800元的利润。 (注：此题设计存在瑕疵，通常利润会设为600元等，这里按题目计算)
(1) 证明：∵ AB是直径，CD是弦，CD⊥AB，∴ $\widehat{AC} = \widehat{BC}$。 ∴ ∠A = ∠BCA。又∵ AB是直径，∴ ∠ACB = 90°。 ∴ $\triangle{ACB}$是直角三角形。

(2) 解：连接OA、OC。 ∵ CD⊥AB，E为垂足，∴ CE = DE = $\frac{1}{2}CD = 4$。在Rt△OCE中，$OE^2 + CE^2 = OC^2$。 $OC = \frac{1}{2}AB = 5$。 $OE^2 + 4^2 = 5^2$，解得 $OE = 3$。 ∵ 点E在AB上，且AE = AO + OE。 $AO = 5$，$OE = 3$。 ∴ $AE = 5 + 3 = 8$。
(1) 解：$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$。顶点坐标为(1, -4)，对称轴为直线x=1。

(2) 解：与y轴交点：令x=0，则y=-3，交点为(0, -3)。与x轴交点：令y=0，则 $x^2 - 2x - 3 = 0$，解得 $x_1=3, x_2=-1$。交点为(3, 0)和(-1, 0)。

(3) 图象略。当x < 1时，y随x的增大而减小。

(4) 解：将顶点(1, -4)向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新顶点(-1, -5)。所以平移后的解析式为 $y = (x+1)^2 - 5$。
(1) 解：因为抛物线经过点B(0, 2)，所以将x=0, y=2代入 $y = ax^2 + bx + c$，得 $c = 2$。

(2) 解：抛物线对称轴为 $x = -\frac{b}{2a} = 1$，$b = -2a$。抛物线经过点A(2, 0)，$a(2)^2 + b(2) + c = 0$，即 $4a + 2b + 2 = 0$。将 $b = -2a$ 代入：$4a + 2(-2a) + 2 = 0$，解得 $2 = 0$，矛盾。 (注：此题条件A(2,0)与对称轴x=1矛盾，A点坐标应为(4,0)，此处按A(4,0)修正) 修正(2)的解法： 抛物线经过点A(4, 0)，$a(4)^2 + b(4) + c = 0$，即 $16a + 4b + 2 = 0$，化简得 $8a + 2b + 1 = 0$。又 $b = -2a$，代入得 $8a + 2(-2a) + 1 = 0$，解得 $4a + 1 = 0$，$a = -\frac{1}{4}$。 $b = -2a = -2 \times (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$。所以解析式为 $y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x + 2$。令y=0，求与x轴交点：$-\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x + 2 = 0$，解得 $x_1 = 4, x_2 = -2$。所以点C的坐标为(-2, 0)。

(3) 解：点A(4, 0)，点B(0, 2)。点A关于对称轴x=1的对称点为A'(-2, 0)。连接A'B，与对称轴x=1的交点即为点P。直线A'B经过点A'(-2, 0)和B(0, 2)。其斜率k = $\frac{2-0}{0-(-2)} = 1$。解析式为 $y = x + 2$。当x=1时，y=1+2=3。所以点P的坐标为(1, 3)。