七年级下册数学平行线试题怎么解？

七年级下册数学《平行线》单元测试卷

班级：__ 姓名：__ 分数：__

选择题（每题3分，共24分）

1. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是 A. 角 B. 线段 C. 平行线 D. 射线

2. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定a // b的是

   A. ∠1 = ∠3 B. ∠2 = ∠4 C. ∠2 + ∠3 = 180° D. ∠1 + ∠4 = 180°

3. 如图，AB // CD，AC // BD，则图中与∠A相等的角（不包括∠A本身）有

   
   （图片来源网络，侵删）

   A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，1 = 40°，2 的度数是

   A. 40° B. 50° C. 60° D. 140°

5. 一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，则∠ABC的度数是 A. 45° B. 75° C. 105° D. 135°

   
   （图片来源网络，侵删）

6. 两条直线被第三条直线所截，则下列说法中，正确的是 A. 同位角相等 B. 内错角相等 C. 同旁内角互补 D. 以上都不对

7. 如图，已知AB // CD，EF // GH，则图中∠1与∠2的关系是

   A. ∠1 + ∠2 = 90° B. ∠1 + ∠2 = 180° C. ∠1 = ∠2 D. 无法确定

8. 对于同一平面内的三条直线a, b, c，给出下列五个论断： ① a // b ② b // c ③ a ⊥ b ④ a // c ⑤ a ⊥ c 以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个正确的命题，其中正确的个数是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

填空题（每题3分，共24分）

9. 如图，已知直线a，b被直线c所截，若∠1 = 120°，要使a // b，则∠2 = ___。

10. 如图，AB // CD，AD // BC，若∠A = 40°，则∠C = ___。

11. 如图，AB // CD，BC // DE，若∠B = 40°，则∠D = ___。

12. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线的位置关系是 ___。

13. 如图，已知AD // BC，要证AB // CD，需要添加的一个条件是 ___（只需写出一个）。

14. 如图，小明用一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B'处，若∠EFB = 65°，则∠AEB' = ___。

15. 如图，直线l₁ // l₂，∠1 = 35°，∠2 = 65°，则∠3 = ___。

16. 一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角为65°，则另一个角为 ___。

解答题（共52分）

17. (8分) 如图，已知∠1 = ∠2，∠B = ∠C，求证：AB // CD。

18. (10分) 如图，已知DE // BC，∠ADE = 50°，∠EFC = 80°，求∠B的度数。

19. (10分) 如图，已知AB // CD，分别探索下列四个图形中，∠A, ∠E, ∠C之间有什么关系？请你从图中任选一个加以证明。

20. (12分) 如图，已知AB // CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，求证：BE // CF。

21. (12分) 阅读理解： 问题：如图，已知AB // CD，求证：∠B + ∠BED + ∠D = 360°。 证明：过点E作EF // AB。 ∵ EF // AB (作图) ∴ ∠B + ∠BEF = 180° (两直线平行，同旁内角互补) ∵ EF // AB, AB // CD (已知) ∴ EF // CD (平行于同一条直线的两条直线互相平行) ∴ ∠FED + ∠D = 180° (两直线平行，同旁内角互补) ∴ ∠B + ∠BEF + ∠FED + ∠D = 180° + 180° = 360° 即 ∠B + ∠BED + ∠D = 360°。

    应用：如图，已知AB // CD，点E在AB和CD之间，点F在直线AB的上方，连接EF和BF，若∠ABF = 40°，∠FED = 120°，∠CDE = 110°，求∠F的度数。

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参考答案与解析

选择题

1. C，平行线是向两端无限延伸的,它不是轴对称图形。
2. D，A（同位角相等，两直线平行）、B（内错角相等，两直线平行）、C（同旁内角互补，两直线平行）都是正确的判定方法，D选项中，∠1和∠4没有固定的数量关系。
3. B，由AB // CD，可得∠A = ∠DBC（内错角相等）；由AC // BD，可得∠A = ∠CDB（内错角相等），所以与∠A相等的角有∠DBC和∠CDB,共2个。
4. B，因为直尺的边是直线，所以三角板的另一条直角边与直尺平行，根据“两直线平行，内错角相等”，∠2 = ∠3，又因为三角形内角和为180°，3 = 90° - ∠1 = 90° - 40° = 50°。∠2 = 50°。
5. B，画图分析，从A到B是北偏东60°，即从正北方向向东偏60°，从B到C是南偏西15°，即从正南方向向西偏15°，ABC = (90° - 60°) + 90° + 15° = 30° + 90° + 15° = 135°？ 不对，这样计算是错误的，正确方法：建立方位图，北偏东60°的方向与正北方向的夹角是60°，南偏西15°的方向与正南方向的夹角是15°，从北偏东60°转到正南方向，需要转90°+60°=150°，再从正南方向转到南偏西15°，需要转15°，所以总共转了150°+15°=165°，ABC = 180° - 165° = 15°？也不对，正确方法是：北偏东60°的方向与正南方向的夹角是 90° + (90° - 60°) = 120°，南偏西15°的方向与正南方向的夹角是15°，ABC = 120° - 15° = 105°。 C是正确答案。
6. D，同位角、内错角、同旁内角只有在两直线平行的前提下才具有相等或互补的关系,不能一概而论。
7. B，因为AB // CD，1 = ∠3（两直线平行，内错角相等），因为EF // GH，3 + ∠2 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），1 + ∠2 = 180°。
8. C，可以组成3个正确的命题：
   1. 以①和②为条件，④为结论：如果a // b，b // c，那么a // c。
   2. 以③和②为条件，⑤为结论：如果a ⊥ b，b // c，那么a ⊥ c。
   3. 以③和①为条件，⑤为结论：如果a ⊥ b，a // c，那么b ⊥ c。

填空题 9. 120°，要使a // b，需满足∠1和∠2是同位角且相等，或内错角且相等，或同旁内角且互补。∠1和∠2是同旁内角，1 + ∠2 = 180°。∠2 = 180° - 120° = 120°。 10. 40°，因为AD // BC，A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），因为AB // CD，B + ∠C = 180°，A = ∠C = 40°。 11. 40°，因为AB // CD，B = ∠BCD'（内错角相等，其中D'是CD的延长线上一点），因为BC // DE，BCD' = ∠D（两直线平行，内错角相等），D = ∠B = 40°。 12. 平行，这是平行线的一个判定方法。 13. ∠BAD = ∠BCD 或 ∠ABC = ∠ADC 或 ∠ABD = ∠BDC 等（只要能证明AB // CD的条件即可）。 14. 50°，因为折叠，EFB = ∠EFB' = 65°，在△B'EF中，∠AEB' = ∠EFB' = 65°（因为AD // EF，内错角相等）。 15. 80°，过点P作一条平行于l₁和l₂的直线，3 = ∠1 + ∠2 = 35° + 65° = 80°。 16. 65°或115°，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，这两个角相等或互补，所以另一个角可能是65°，也可能是180° - 65° = 115°。

解答题

17. 证明： ∵ ∠1 = ∠2 (已知) ∴ AC // BD (内错角相等，两直线平行) ∴ ∠C = ∠DAC (两直线平行，内错角相等) 又 ∵ ∠B = ∠C (已知) ∴ ∠B = ∠DAC (等量代换) ∴ AB // CD (同位角相等，两直线平行) 得证。

18. 解： ∵ DE // BC (已知) ∴ ∠ADE = ∠B (两直线平行，内错角相等) ∵ ∠ADE = 50° (已知) ∴ ∠B = 50°。 ∵ DE // BC (已知) ∴ ∠FED = ∠EFC (两直线平行，内错角相等) ∵ ∠EFC = 80° (已知) ∴ ∠FED = 80°。 在△EFC中，∠CEF = 180° - ∠FED - ∠EFC = 180° - 80° - 80° = 20°。 ∵ DE // BC (已知) ∴ ∠CEF = ∠C (两直线平行，内错角相等) ∴ ∠C = 20°。 答：∠B的度数为50°。

19. 解： 关系都是：∠A + ∠E + ∠C = 360°。 证明（以第一个图形为例）： 过点E作EF // AB。 ∵ EF // AB (作图) ∴ ∠A + ∠AEF = 180° (两直线平行，同旁内角互补) ∵ EF // AB, AB // CD (已知) ∴ EF // CD (平行于同一条直线的两条直线互相平行) ∴ ∠FEC + ∠C = 180° (两直线平行，同旁内角互补) ∴ ∠A + ∠AEF + ∠FEC + ∠C = 180° + 180° = 360° 即 ∠A + ∠AEC + ∠C = 360°。 （其他图形同理可证）

20. 证明： ∵ AB // CD (已知) ∴ ∠ABC + ∠BCD = 180° (两直线平行，同旁内角互补) ∵ BE平分∠ABC, CF平分∠BCD (已知) ∴ ∠1 = ½∠ABC, ∠2 = ½∠BCD (角平分线的定义) ∴ ∠1 + ∠2 = ½(∠ABC + ∠BCD) = ½ × 180° = 90° 即 ∠EBC + ∠BCF = 90° 在△BEC中，∠BEC = 180° - (∠EBC + ∠BCF) = 180° - 90° = 90°。 又 ∵ ∠EBC + ∠FBC = ∠ABC ∠BCF + ∠BCF' = ∠BCD (其中F'是CF反向延长线上一点) 这个思路有点复杂，换一种： ∵ ∠1 + ∠2 = 90° ∴ ∠1 + ∠FBC + ∠BCF + ∠2 = 90° + (∠FBC + ∠BCF) 这个思路也不好，回到最开始的等式： ∠1 + ∠2 = 90° 我们需要证明的是 BE // CF，即证明∠EBC = ∠BCF（内错角）。 由∠1 + ∠2 = 90° 和 ∠EBC = ∠1, ∠BCF = ∠2，得到 ∠EBC + ∠BCF = 90°。 这并不能直接证明它们相等，看来需要转换思路。 正确证明： ∵ AB // CD (已知) ∴ ∠ABC + ∠BCD = 180° (两直线平行，同旁内角互补) ∵ BE平分∠ABC (已知) ∴ ∠ABE = ∠EBC = ½∠ABC ∵ CF平分∠BCD (已知) ∴ ∠BCF = ∠FCD = ½∠BCD ∴ ∠EBC + ∠BCF = ½∠ABC + ½∠BCD = ½(∠ABC + ∠BCD) = ½ × 180° = 90° ∴ ∠EBC = 90° - ∠BCF 在△BEC中，∠BEC = 180° - ∠EBC - ∠ECB = 180° - (90° - ∠BCF) - ∠BCF = 180° - 90° + ∠BCF - ∠BCF = 90° 这个证明过程太复杂了，说明我的思路有误。 重新证明： 我们的目标是证明 ∠EBC = ∠BCF。 ∵ AB // CD (已知) ∴ ∠ABC + ∠BCD = 180° (1) ∵ BE是∠ABC的平分线 (已知) ∴ 2∠EBC = ∠ABC (2) ∵ CF是∠BCD的平分线 (已知) ∴ 2∠BCF = ∠BCD (3) 将(2)和(3)代入(1)，得： 2∠EBC + 2∠BCF = 180° ∴ 2(∠EBC + ∠BCF) = 180° ∴ ∠EBC + ∠BCF = 90° 这还是回到了原点，看来需要用另一种方法。 使用“同位角相等”来证明： 我们需要构造一个同位角。 延长BE和CF交于点O。 ∵ ∠EBC + ∠BCF = 90° (已证) ∴ 在△BOC中，∠BOC = 180° - (∠EBC + ∠BCF) = 180° - 90° = 90°。 这并没有帮助。 最终的正确证明思路： 我们要证明 BE // CF，可以证明 ∠EBC = ∠BCF。 ∵ AB // CD ∴ ∠ABC + ∠BCD = 180° ∵ BE平分∠ABC, CF平分∠BCD ∴ ∠ABE = ∠EBC, ∠BCF = ∠FCD ∴ ∠EBC + ∠BCF = ½∠ABC + ½∠BCD = ½(∠ABC+∠BCD) = ½ × 180° = 90° 这个等式是关键，但它不是我们想要的。 让我们换个角度，证明 ∠ABE = ∠FCD。 ∵ AB // CD (已知) ∴ ∠ABE = ∠BEC' (内错角，其中EC'是CE的延长线) 这个思路也不对。 啊，想错了！ 要证明 BE // CF，可以证明 内错角相等，即 ∠EBC = ∠BCF。 我们已经证明了 ∠EBC + ∠BCF = 90°。 这意味着什么？这意味着在BC上，两个角加起来是90度，但这并不能说明它们相等。 我是不是题目看错了？再读一遍题：“BE平分∠ABC，CF平分∠BCD”，求证“BE // CF”。 画图，AB // CD，BE从B出发，CF从C出发，它们要平行，方向必须一致。 假设∠ABC = 100°，∠BCD = 80°。 ∠EBC = 50°， ∠BCF = 40°。 50° ≠ 40°，BE 不平行于 CF。 这说明题目可能有问题，或者我的理解有误。 重新审题！ 题目是“CF平分∠BCD”。∠BCD是哪个角？如果AB//CD，BC是截线，BCD和∠ABC是同旁内角，CF是从C点出发的射线，如果CF平分的是∠BCD，那么BE和CF的方向可能相反。 让我们假设 ∠ABC = 100°, ∠BCD = 80°。 ∠EBC = 50°。 ∠BCF = 40°。 ∠EBC 和 ∠BCF 不是内错角。 我们看 同位角。∠EBC 和 ∠DCF 是同位角。 ∠DCF = ∠BCF = 40°。 ∠EBC = 50°。 50° ≠ 40°。 看来我最初的判断是对的，这个命题是错的。 或者是题目描述有歧义。 等等！ 可能是CF平分的是∠BCD的外角？ 如果CF平分∠BCD的外角，设∠BCD=80°，则其外角为100°，∠BCF=50°。 ∠EBC=50°, ∠BCF=50°，内错角相等，BE//CF。 题目中的“CF平分∠BCD”很可能指的是“CF平分与∠BCD相邻的外角”。 按照这个理解来证明： 证明： 延长DC至点E，则∠BCD与∠BCE互为邻补角。 ∵ AB // CD (已知) ∴ ∠ABC + ∠BCE = 180° (两直线平行，同旁内角互补) ∵ ∠ABC + ∠BCD = 180° (邻补角定义) ∴ ∠ABC = ∠BCE (等量代换) ∵ CF平分∠BCE (根据对题目的修正理解) ∴ ∠BCF = ½∠BCE ∵ BE平分∠ABC (已知) ∴ ∠EBC = ½∠ABC ∴ ∠EBC = ∠BCF (等量代换) 又 ∵ ∠EBC 和 ∠BCF 是内错角 ∴ BE // CF (内错角相等，两直线平行) 得证。 原题目的表述“CF平分∠BCD”存在歧义，如果理解为平分内角，则命题不成立，应理解为“CF平分∠BCD的外角”才能成立。

21. 解： 过点E作EG // AB。 ∵ EG // AB (作图) ∴ ∠ABF = ∠FEG (两直线平行，内错角相等) ∵ ∠ABF = 40° (已知) ∴ ∠FEG = 40°。 ∵ AB // CD (已知) ∴ EG // CD (平行于同一条直线的两条直线互相平行) ∴ ∠FED + ∠DEG = 180° (两直线平行，同旁内角互补) ∵ ∠FED = 120° (已知) ∴ ∠DEG = 180° - 120° = 60°。 在△FEG中，∠F = 180° - ∠FEG - ∠DEG = 180° - 40° - 60° = 80°。 答：∠F的度数为80°。