七年级因式分解精华题怎么学？
校园之窗 2026年1月24日 22:50:47 99ANYc3cd6
第一部分：核心方法与技巧（必须吃透！）
因式分解就像一套“组合拳”，通常需要多种方法配合使用，记住这个核心思路：“一提二套三分组，最后检查要彻底”。
提公因式法（最基础，第一步必看！）
核心思想：找出多项式各项都含有的因式（公因式）,把它提到括号外面。
步骤：
- 找系数：各项系数的最大公约数。
- 找字母：各项都含有的相同字母,取最低次幂。
- 组合：公因式 = (系数最大公约数) × (相同字母的最低次幂)。
- 提取：用原多项式除以公因式,得到括号里的部分。
例题1：分解因式 3a²b - 6ab² + 9ab
- 解析：
- 系数：3, -6, 9 的最大公约数是 3。
- 字母：都含有
a和b。a的最低次幂是a¹，b的最低次幂是b¹。 - 公因式是 3ab。
- 提取：
3ab(a - 2b + 3)。
- 注意：
- 提取后,括号里的项数要和原来一样。
- 如果某一项提取后是1，1不能省略。
x³ - x² = x²(x - 1)，不是x²x - 1。 - 如果首项是负数，通常把负号也提出来，这样括号里的第一项就是正的，更美观。
-x² + 2x = -x(x - 2)。
公式法（核心武器，必须牢记！）
核心思想：把多项式变形为符合乘法公式的形式,然后套用公式进行分解。
必须掌握的公式：
- 平方差公式：
a² - b² = (a + b)(a - b)- 特征：两项，都是平方项，中间是“-”号。
- 例题2：分解因式
4x² - 9y²= (2x)² - (3y)²= (2x + 3y)(2x - 3y)
- 完全平方公式：
a² ± 2ab + b² = (a ± b)²- 特征：三项，其中两项是平方项，另一项是这两个数乘积的2倍（可以是+2ab或-2ab）。
- 例题3：分解因式
x² + 4x + 4= x² + 2 * x * 2 + 2²= (x + 2)²
- 例题4：分解因式
9y² - 12y + 4= (3y)² - 2 * 3y * 2 + 2²= (3y - 2)²
分组分解法（进阶技巧，考验观察力！）
核心思想：把一个四项或四项以上的多项式分成几组，分别对每组进行因式分解,然后再提取各组之间的公因式。
两种常见类型：
- 二二分组：适用于四项式。
- 技巧：分组后，两组要有相同的公因式。
- 例题5：分解因式
ax + ay + bx + by= (ax + ay) + (bx + by)(分组)= a(x + y) + b(x + y)(每组提公因式)= (x + y)(a + b)(提取公因式(x+y))
- 三一分组：适用于四项式。
- 技巧：把三项组合成一个完全平方式，剩下一项作为另一个平方项，然后用平方差公式。
- 例题6：分解因式
x² + 2xy + y² - z²= (x² + 2xy + y²) - z²(分组)= (x + y)² - z²(前三项用完全平方公式)= (x + y + z)(x + y - z)(用平方差公式)
第二部分：精华题型与专项突破
基础综合题（方法叠加）
通常需要先用提公因式法,再用公式法。
例题7：分解因式 3ax² - 12axy + 12ay²
- 解析：
- 先提公因式：观察发现，各项都有公因式
3a。= 3a(x² - 4xy + 4y²) - 再用公式法：括号里的
x² - 4xy + 4y²是一个完全平方式。= 3a(x - 2y)²
- 先提公因式：观察发现，各项都有公因式
- 口诀：“有公先提公，提完再查公式”。
多项式整体代入（思维拔高）
需要把一个多项式看作一个整体,用换元的思想来解决。
例题8：分解因式 (a+b)² - 4(a+b) + 4
- 解析：
- 设元：把
(a+b)看作一个整体，设m = a+b。 原式就变成了m² - 4m + 4。 - 套公式：这是一个完全平方式。
= (m - 2)² - 还原：把
m换回a+b。= (a + b - 2)²
- 设元：把
- 拓展：
x² - y² + 2y - 1可以变形为x² - (y² - 2y + 1) = x² - (y-1)²,再用平方差公式。
拆项与添项（技巧性最强）
比较难，需要通过拆或添项,创造使用公式或分组分解的条件。
例题9：分解因式 x² + 4x - 21
- 解析：
- 这个式子不能直接用公式，需要“拆项”。
- 我们需要找到两个数，它们的乘积是
-21，和是4，这两个数是7和-3。 - 我们把
4x拆成7x - 3x。= x² + 7x - 3x - 21 - 然后进行分组分解。
= (x² + 7x) + (-3x - 21)= x(x + 7) - 3(x + 7)= (x + 7)(x - 3)
- 例题10：分解因式
x⁴ + 4- 解析：这个式子看起来无法分解，可以“添项”。
- 我们可以添上
4x²，再减去4x²，值不变。= x⁴ + 4x² + 4 - 4x²= (x⁴ + 4x² + 4) - 4x²= (x² + 2)² - (2x)²(前两项是完全平方式)= (x² + 2 + 2x)(x² + 2 - 2x)(用平方差公式)= (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2)
第三部分：经典易错题警示
-
错误：因式分解不彻底。
- 例如：
4x⁴ - y⁴ = (2x² + y²)(2x² - y²)(×) - 正确：
4x⁴ - y⁴ = (2x² + y²)(2x + y)(2x - y)(√) - 警示：分解到括号里的式不能再分解为止。
- 例如：
-
错误：混淆运算顺序。
- 例如：
x² - (x - y)² = x² - x² - y² = -y²(×) - 正确：
x² - (x - y)² = [x + (x - y)][x - (x - y)] = (2x - y)(y)(√) - 警示：有括号时，先用乘法公式,再去括号。
- 例如：
-
错误：忘记提公因式。
- 例如：
2a(x-y) + 4b(y-x) = (x-y)(2a + 4b)(×) - 正确：
2a(x-y) + 4b(y-x) = 2a(x-y) - 4b(x-y) = (x-y)(2a - 4b) = 2(x-y)(a - 2b)(√) - 警示：永远把提公因式作为第一步，尤其是
(x-y)和(y-x)这种，可以变形为-(x-y)。
- 例如：
第四部分：实战演练（附答案与解析）
分解因式：
(1) -8m³n² + 4m²n³ - 2mn
(2) 25(a+b)² - 16(a-b)²
分解因式：
(1) x²y - 4y + 2x² - 8
(2) a² - 2ab + b² - c²
分解因式（整体思想）：
(x² + x)² - 14(x² + x) + 24
挑战题（拆项/添项）：
(1) x² + 5x + 6
(2) x⁴ + x² + 1
答案与解析
(1) 解析：公因式是 -2mn。
= -2mn(4m²n - 2mn² + 1)
(2) 解析：符合平方差公式，a=5(a+b), b=4(a-b)。
= [5(a+b) + 4(a-b)][5(a+b) - 4(a-b)]
= (5a+5b+4a-4b)(5a+5b-4a+4b)
= (9a + b)(a + 9b)
(1) 解析：先分组，前三项提公因式 y，后一项提取 -4。
= (x²y - 4y) + (2x² - 8)
= y(x² - 4) + 2(x² - 4)
= (x² - 4)(y + 2)
= (x + 2)(x - 2)(y + 2) (注意分解彻底)
(2) 解析：前三项是完全平方式，用三一分组。
= (a² - 2ab + b²) - c²
= (a - b)² - c²
= (a - b + c)(a - b - c)
解析：把 (x² + x) 看作一个整体 m。
= m² - 14m + 24
= (m - 12)(m - 2) (找两个数，积24，和-14，是-12和-2)
= (x² + x - 12)(x² + x - 2) (还原)
= (x+4)(x-3)(x+2)(x-1) (继续分解两个二次式)
(1) 解析：拆项，找两个数，积6，和5，是2和3。
= x² + 2x + 3x + 6
= (x² + 2x) + (3x + 6)
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)
(2) 解析：添上 x² 再减去 x²。
= x⁴ + 2x² + 1 - x²
= (x⁴ + 2x² + 1) - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + 1 + x)(x² + 1 - x)
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)
希望这份“精华题”能帮助你彻底掌握七年级因式分解！多练是王道，练多了，这些方法就会变成你的本能反应,加油！
