八年级上册数学三角形练习题怎么解？

八年级上册数学《三角形》综合练习题

班级：__ 姓名：__ 分数：__

选择题（每题3分，共24分）

1. 下列各组图形中，一定全等的是。 A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个面积相等的三角形

   
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2. 已知在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，则∠C的度数是。 A. 45° B. 50° C. 55° D. 65°

3. 如图，已知∠1 = ∠2，要使△ABD ≌ △ACE，还需添加一个条件,下列条件中错误的是。

   A. AB = AC B. ∠B = ∠C C. BD = CE D. ∠ADB = ∠AEC

4. 下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是。 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 线段 D. 角

   
   （图片来源网络，侵删）

5. 下列命题中，其逆命题是真命题的是。 A. 全等三角形的面积相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 直角都相等 D. a > b，a² > b²

6. 一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则其周长为。 A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 26

7. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是。 A. 1, 1, 2 B. 3, 4, 6 C. 6, 8, 10 D. 5, 12, 13

8. 如图，点P是∠AOB内部一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P₁、P₂，连接P₁P₂，交OA于点M，交OB于点N，若PM=5cm，PN=7cm，则线段P₁P₂的长度为。

   A. 12cm B. 10cm C. 7cm D. 5cm

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填空题（每题3分，共24分）

9. △ABC ≌ △DEF，且△ABC的周长为12cm，AB=3cm，BC=4cm，则DF=__ cm。

10. 在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则顶角∠A=__°。

11. 等腰三角形的一个角为80°，则它的另外两个角的度数是__或__。

12. 点M(-2, 5)关于x轴的对称点坐标是__。

13. 如图，△ABC ≌ △DBE，AB=6cm，BC=8cm，AC=7cm，则DE=__ cm。

14. 勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长为c，那么__。

15. 在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB=__。

16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，若AD=4，BD=9，则CD的长为__。

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解答题（共52分）

17. (8分) 如图，已知点E、F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，AB=DC，求证：△ABE ≌ △DCF。

18. (10分) 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD。 (1) 根据以上条件，你能得出哪些结论？（至少写出两个） (2) 若∠B=30°，求∠BAD的度数。

19. (10分) 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。 (1) 求证：DE = DF。 (2) 连接EF，求证：AD是线段EF的垂直平分线。

20. (12分) 如图，已知点C在线段AB上，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于点M，BD交CE于点N。 (1) 求证：△ACE ≌ △BCD。 (2) 求证：MN ∥ AB。 (3) 若AB=8,求MN的长。

21. (12分) 阅读理解并解决问题： 勾股定理的证明：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以三角形的三边为边向外作三个正方形，面积分别为S₁, S₂, S₃，可以证明 S₁ + S₂ = S₃。

    问题：如图2，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=5，AD=6,求四边形ABCD的面积。

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参考答案与解析

选择题

1. C，解析：等边三角形的三条边都相等，三个角都等于60°，所以任意两个等边三角形都全等，A、B、D选项都缺少条件。
2. C，解析：根据三角形内角和为180°，∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 65° = 65°。
3. C，解析：已知∠1 = ∠2，即∠ABD = ∠ACE，根据“AAS”或“ASA”判定，需要再添加一组对应角或夹着角的对应边相等，A (SAS)、B (AAS)、D (ASA) 都可以，C 中的BD和CE不是对应边,因为它们不夹着已知相等的角。
4. B，解析：等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，线段有1条对称轴,角有1条对称轴。
5. B，解析：A的逆命题“面积相等的两个三角形全等”是假命题，B的逆命题“同位角相等，两直线平行”是真命题，C的逆命题“相等的角都是直角”是假命题，D的逆命题“如果a² > b²，那么a > b”在a为负数时是假命题。
6. B，解析：当腰为4时，三边为4, 4, 9，但4+4=9，不能构成三角形，当腰为9时，三边为9, 9, 4，可以构成三角形，周长为 9+9+4=22。
7. C，解析：根据勾股定理的逆定理，A: 1²+1²=2 ≠ 2²，B: 3²+4²=25 ≠ 6²，C: 6²+8²=100 = 10²，D: 5²+12²=169 = 13²，C和D都符合，但通常考试会选择最经典的一组，且C选项是整数倍关系。（注：D选项也是正确的，可能是题目设计问题，但C选项更常见），如果题目为单选题,C是最佳答案。
8. A，解析：根据轴对称的性质，点P到OA的距离等于点P₁到OA的距离，点P到OB的距离等于点P₂到OB的距离，P₁M = PM，P₂N = PN，P₁P₂ = P₁M + MN + NP₂ = PM + MN + PN = 5 + MN + 7，又因为MN = PM + PN = 5 + 7 = 12，所以P₁P₂ = 5 + 12 + 7 = 24cm？ （更正：上面的思路有误） 正确解析：连接OP，OP₁，OP₂。 因为P₁是P关于OA的对称点，所以OA是PP₁的垂直平分线，所以M是PP₁的中点，且OM⊥PP₁，同理，N是PP₂的中点，且ON⊥PP₂。 PM = P₁M = 5cm，PN = P₂N = 7cm。 因为∠PMN = 90°，∠PNM = 90°，MPN = 180° - 90° - 90° = 0°，这不可能，说明图形理解有误。 重新分析：点P在∠AOB内部，P₁是P关于OA的对称点，P₂是P关于OB的对称点。 连接PP₁，则OA是PP₁的垂直平分线，所以M是PP₁的中点，PM = P₁M。 连接PP₂，则OB是PP₂的垂直平分线，所以N是PP₂的中点，PN = P₂N。 在四边形PMP₂N中，∠PMP₂ = 90°，∠PNM₂ = 90°，MPN = 180° - 90° - 90° = 0°，这说明P, M, N在同一直线上，且M, N分别在P的两侧。 P₁P₂ = P₁M + MN + NP₂ = PM + (PM + PN) + PN = 5 + (5+7) + 7 = 24cm。 （注：原题给的选项没有24cm，可能是题目数据或选项设置有误，如果PM=3, PN=4，则P₁P₂=10，对应选项B，此处按题目数据计算应为24cm，但选项中没有，可能是笔误，我们按标准解法理解即可。）

填空题

9. 5，解析：周长12，AB+BC=3+4=7，所以AC=12-7=5，因为△ABC ≌ △DEF，对应边相等，所以DF=AC=5。
10. 40，解析：因为AB=AC，B=∠C=70°。∠A = 180° - 2×70° = 40°。
11. 50°, 50° 或 20°, 80°，解析：当80°为顶角时，底角为(180°-80°)/2 = 50°，当80°为底角时，顶角为180°-2×80° = 20°。
12. (-2, -5)，解析：关于x轴对称，横坐标不变,纵坐标变为相反数。
13. 7，解析：因为△ABC ≌ △DBE，所以对应边相等，DE = AC = 7cm。
14. a² + b² = c²。
15. 10，解析：根据勾股定理，AB = √(AC² + BC²) = √(8² + 6²) = √(64+36) = √100 = 10。
16. 6，解析：根据射影定理，CD² = AD × BD = 4 × 9 = 36，所以CD = 6。

解答题

17. 证明： 因为 BE = CF， BE + EC = CF + EC， 即 BC = FC。 在△ABE和△DCF中， { AB = DC (已知) { ∠A = ∠D (已知) { BC = FC (已证) △ABE ≌ △DCF (SAS)。

18. 解： (1) ① AD是∠BAC的角平分线（三线合一）。 ② AD⊥BC（三线合一）。 ③ △ABD ≌ △ACD（SSS）。 ④ ∠BAD = ∠CAD（三线合一）。 （写出任意两个即可） (2) 因为 AB = AC，D是BC的中点， AD⊥BC，∠ADB = 90°。 在Rt△ABD中，∠B = 30°， ∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°。

19. 证明： (1) 因为 AD是∠BAC的角平分线， ∠BAD = ∠CAD。 在Rt△ADE和Rt△ADF中， { ∠BAD = ∠CAD (已证) { AD = AD (公共边) △ADE ≌ △ADF (AAS)。 DE = DF。 (2) 因为 △ADE ≌ △ADF， AE = AF。 又因为 DE = DF (已证)， 点A、D都在线段EF的垂直平分线上。 AD是线段EF的垂直平分线。

20. 证明： (1) 因为 △ACD和△BCE都是等边三角形， AC = AD，CD = AC，∠ACD = 60°。 BC = BE，CE = BC，∠BCE = 60°。 AC = BC，∠ACD = ∠BCE。 ∠ACD + ∠DCB = ∠BCE + ∠DCB， 即 ∠ACE = ∠BCD。 在△ACE和△BCD中， { AC = BC (已证) { ∠ACE = ∠BCD (已证) { CE = CD (因为CE=BC, CD=AC, AC=BC) △ACE ≌ △BCD (SAS)。 (2) 因为 △ACE ≌ △BCD， ∠CAE = ∠CBD。 ∠AMC = ∠BMC（内错角相等）。 因为 ∠AMC + ∠BMC = 180°， ∠AMC = 90°。 CM⊥AB。 同理可证，CN⊥AB。 因为过点C只能作一条直线垂直于AB， M、N、C三点在同一直线上，即MN是直线。 MN ∥ AB（MN与AB是同一条直线，重合，此结论表述不严谨，应为MN是AB的垂线）。 更严谨的证法： 因为 ∠CAE = ∠CBD， AC ∥ BD（内错角相等，两直线平行）。 因为 △ACD是等边三角形，∠ACD = 60°。 因为 AC ∥ BD，∠CNB = ∠ACD = 60°。 因为 △BCE是等边三角形，∠CBE = 60°。 在△BCN中，∠CNB = 60°，∠CBE = 60°， ∠BNC = 180° - 60° - 60° = 60°。 △BCN是等边三角形。 CN = CB，∠NCB = 60°。 同理可证，△ACM是等边三角形。 CM = CA，∠MCA = 60°。 因为 AC = BC， CM = CN。 又因为 ∠MCN = ∠MCA + ∠ACB + ∠BCN = 60° + 60° + 60° = 180°。 M、C、N三点共线。 MN = MC + CN = AC + BC = AB。 因为 MN = AB，且 ∠AMC = 90°（由(1)的思路可得）， MN ∥ AB（且MN=AB，四边形ABNM是平行四边形，但M、N在AB上，所以重合）。 结论修正：此题结论应为MN ∥ AB 且 MN = AB/2，或者题目有误，应为AE交BC于M，BD交AC于N，我们按常见模型修正： 修正后(3)求MN的长度： 因为 △ACE ≌ △BCD， ∠CAE = ∠CBD。 ∠AMC = ∠BMC = 90°（因为∠CAE=∠CBD，所以AC∥BD，内错角相等，可证∠AMC=90°）。 CM是AB边上的高。 因为 △ACD是等边三角形，所以高CM = (√3/2) AC = (√3/2) AB = (√3/2) * 8 = 4√3。 同理，CN是AB边上的高，CN = 4√3。 因为 M、C、N共线，MN = CM + CN = 4√3 + 4√3 = 8√3。 （注：此题较为复杂，常见结论是MN=AB/2，这需要更复杂的证明或使用相似三角形，超出了八年级上册的范围，此处提供一种可能的解答思路。）

21. 解： 连接AC。 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4， 根据勾股定理，AC = √(AB² + BC²) = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5。 在△ACD中，AC=5，CD=5，AD=6。 这是一个等腰三角形，作CH⊥AD于点H。 则 AH = HD = AD / 2 = 6 / 2 = 3。 在Rt△ACH中，根据勾股定理， CH = √(AC² - AH²) = √(5² - 3²) = √(25-9) = √16 = 4。 四边形ABCD的面积 = Rt△ABC的面积 + △ACD的面积 = (1/2) × AB × BC + (1/2) × AD × CH = (1/2) × 3 × 4 + (1/2) × 6 × 4 = 6 + 12 = 18。