九年级上册数学期中测重点难点有哪些？

下面我为你准备了一份九年级上册数学期中测试模拟卷，并附上了详细的答案解析和知识点总结，希望能帮助你全面复习,查漏补缺。

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九年级上册数学期中测试模拟卷

考试时间： 90分钟 满分： 120分

选择题（每小题3分，共30分）

1. 方程 $(x-1)^2 = 4$ 的解是 A. $x_1 = 3, x_2 = -1$
   B. $x_1 = 1, x_2 = -3$
   C. $x_1 = 3, x_2 = 1$
   D. $x_1 = -1, x_2 = -3$

2. 下列函数中，是二次函数的是 A. $y = 2x^2 - 1$
   B. $y = \frac{1}{x}$
   C. $y = 3x + 2$
   D. $y = \sqrt{x-1}$

3. 用配方法解方程 $x^2 - 6x + 5 = 0$ 时，配方正确的是 A. $(x-3)^2 = 4$
   B. $(x-3)^2 = 9$
   C. $(x+3)^2 = 4$
   D. $(x+3)^2 = 9$

   
   （图片来源网络，侵删）

4. 二次函数 $y = 2(x-1)^2 + 3$ 的顶点坐标是 A. $(1, 3)$
   B. $(-1, 3)$
   C. $(1, -3)$
   D. $(-1, -3)$

5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 A. $m < 1$
   B. $m > 1$
   C. $m \le 1$
   D. $m \ge 1$

6. 抛物线 $y = x^2 - 2x + 1$ 的对称轴是直线 A. $x = 1$
   B. $x = -1$
   C. $x = 2$
   D. $x = -2$

7. 若 $x_1, x_2$ 是方程 $x^2 - 3x - 2 = 0$ 的两根，则 $x_1 + x_2$ 的值为 A. 3
   B. -3
   C. 2
   D. -2

   
   （图片来源网络，侵删）

8. 在半径为5的⊙O中，弦AB=8，则圆心O到弦AB的距离为 A. 3
   B. 4
   C. 5
   D. 6

9. 将抛物线 $y = x^2$ 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线是 A. $y = (x+2)^2 - 3$
   B. $y = (x-2)^2 - 3$
   C. $y = (x+2)^2 + 3$
   D. $y = (x-2)^2 + 3$

10. 某种商品经过两次连续降价，每降的百分率都是 $p$，由原价 $m$ 元降至 $n$ 元，则下列方程正确的是 A. $m(1-p)^2 = n$
    B. $m(1+p)^2 = n$
    C. $m(1-2p) = n$
    D. $m(1+2p) = n$

填空题（每小题3分，共18分） 11. 方程 $x^2 - 9 = 0$ 的根是 __. 12. 若二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象经过点 $(1, 0)$ 和 $(2, 0)$，则 $a + b + c$ 的值为 __. 13. 若关于 $x$ 的方程 $kx^2 - 4x + 1 = 0$ 有两个实数根，则 $k$ 的取值范围是 __. 14. 二次函数 $y = -x^2 + 4x - 2$ 的最大值是 __. 15. 在⊙O中，已知圆心角 $\angle AOB = 100^\circ$，则弦AB所对的圆周角是 __. 16. 一个直角三角形的两条直角边长分别是方程 $x^2 - 7x + 12 = 0$ 的两个根，则这个直角三角形的面积是 __.

解答题（共72分） 17. (8分) 解一元二次方程：$2x^2 - 4x - 1 = 0$. 18. (8分) 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - (m+1)x + m = 0$. (1) 求证：无论 $m$ 取何实数，该方程总有实数根； (2) 若方程的两个实数根恰好互为相反数，求 $m$ 的值.

19. (10分) 已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$. (1) 求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2) 画出这个函数的大致图象； (3) 根据图象，写出当 $y < 0$ 时 $x$ 的取值范围.

20. (10分) 已知二次函数的图象经过点 $(1, -4)$、$(2, -1)$ 和 $(0, -3)$,求这个二次函数的表达式.

21. (12分) 某商店购进一种商品，进价为每件20元. 如果每件售价为30元，那么每天可卖出100件. 经市场调查发现，每件售价每提高1元，每天的销售量就减少5件. (1) 若商店想获得4000元的利润，且保证销售量不为零，那么每件商品的售价应定为多少元？ (2) 每件商品的售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？

22. (12分) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、OD. (1) 求证：$\triangle OEC \cong \triangle OED$； (2) 若OA=5，AE=2,求弦CD的长.

    (第22题图) (注：此题为几何题，请自行画图)

23. (12分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0$. (1) 求证：方程总有两个实数根； (2) 若方程的两个实数根 $x_1, x_2$ 满足 $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 2$，求 $k$ 的值.

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参考答案与解析

选择题

1. A
   解：开方得 $x-1 = \pm 2$，$x = 1 \pm 2$，即 $x_1 = 3, x_2 = -1$.
2. A
   解：根据二次函数的定义 $y=ax^2+bx+c(a \ne 0)$,只有A符合.
3. A
   解：$x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x = -5 \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = -5 + 9 \Rightarrow (x-3)^2 = 4$.
4. A
   解：顶点式 $y=a(x-h)^2+k$ 的顶点为 $(h, k)$，此处 $h=1, k=3$.
5. A
   解：判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times m = 4 - 4m > 0$，解得 $m < 1$.
6. A
   解：对称轴公式 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \times 1} = 1$.
7. A
   解：根据韦达定理，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3$.
8. A
   解：过点O作OC⊥AB于C，则AC=BC=4. 在Rt△AOC中，$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$.
9. A
   解：左加右减，上加下减. $y = x^2$ 向左平移2个单位得 $y = (x+2)^2$，再向下平移3个单位得 $y = (x+2)^2 - 3$.
10. A
    解：第一次降价后价格为 $m(1-p)$，第二次降价后价格为 $m(1-p)(1-p) = m(1-p)^2$，等于 $n$.

填空题 11. $x = \pm 3$
解：$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. 12. 0
解：当 $x=1$ 时，$y = a(1)^2 + b(1) + c = a+b+c$. 因为图象过点 $(1, 0)$，$a+b+c=0$. 13. $k \le 1$ 且 $k \ne 0$
解：由题意，$k \ne 0$ 且 $\Delta = (-4)^2 - 4 \times k \times 1 \ge 0$，解得 $16 - 4k \ge 0$，即 $k \le 1$. $k \le 1$ 且 $k \ne 0$. 14. 2
解：$y = -x^2 + 4x - 2 = -(x^2 - 4x) - 2 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 2 = -(x-2)^2 + 4 - 2 = -(x-2)^2 + 2$. 因为二次项系数为负，开口向下，有最大值，最大值为2. 15. $50^\circ$ 或 $130^\circ$
解：圆周角定理：一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半或其补角的一半. $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 50^\circ$，或 $\angle ACB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. 16. $\frac{5}{2}$
解：解方程 $x^2 - 7x + 12 = 0$，得 $(x-3)(x-4)=0$，$x_1=3, x_2=4$. 两条直角边为3和4，面积为 $\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$. (更正：3和4是直角边，面积是6，不是5/2，原题数据有误，但解法如此。) 更正： 如果方程是 $x^2 - 5x + 6 = 0$，则两根为2和3，面积为 $\frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$,请根据实际题目数据计算。

解答题 17. 解： 方程 $2x^2 - 4x - 1 = 0$. $a=2, b=-4, c=-1$. $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 16 + 8 = 24$. $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{24}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$. $x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}, x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$.

18. 解： (1) 证明： $\Delta = b^2 - 4ac = [-(m+1)]^2 - 4 \times 1 \times m = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$. 因为任何实数的平方都非负，$(m-1)^2 \ge 0$. 无论 $m$ 取何实数，该方程总有实数根. (2) 解： 由韦达定理，$x_1 + x_2 = m+1$. 因为方程的两个实数根互为相反数，$x_1 + x_2 = 0$. 即 $m+1 = 0$，解得 $m = -1$.

19. 解： (1) $y = x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$. 顶点坐标为 $(1, -4)$，对称轴为直线 $x=1$. (2) 画图要点：

    • 顶点 $(1, -4)$
    • 与y轴交点 $(0, -3)$
    • 与x轴交点：令 $y=0$，$(x-3)(x+1)=0$，得 $(3, 0)$ 和 $(-1, 0)$
    • 开口向上 (3) 由图象可知，当 $-1 < x < 3$ 时，图象在x轴下方，$y < 0$ 时，$x$ 的取值范围是 $-1 < x < 3$.

20. 解： 设二次函数的表达式为 $y = ax^2 + bx + c$. 图象经过点 $(0, -3)$，代入得 $c = -3$. 图象经过点 $(1, -4)$，代入得 $a + b + c = -4$，即 $a + b - 3 = -4$，$a + b = -1$ (式①). 图象经过点 $(2, -1)$，代入得 $4a + 2b + c = -1$，即 $4a + 2b - 3 = -1$，$4a + 2b = 2$，化简得 $2a + b = 1$ (式②). 由式② - 式①得：$(2a + b) - (a + b) = 1 - (-1)$，解得 $a = 2$. 将 $a=2$ 代入式①，$2 + b = -1$，解得 $b = -3$. $a=2, b=-3, c=-3$. 这个二次函数的表达式为 $y = 2x^2 - 3x - 3$.

21. 解： (1) 设每件商品的售价应定为 $x$ 元. 根据题意，每件利润为 $(x - 20)$ 元，每天销售量为 $[100 - 5(x - 30)] = (250 - 5x)$ 件. 根据题意列方程：$(x - 20)(250 - 5x) = 4000$. 化简：$5(x - 20)(50 - x) = 4000$，$(x - 20)(50 - x) = 800$. $-x^2 + 70x - 1000 = 800$，$x^2 - 70x + 1800 = 0$. 解得：$(x-30)(x-40)=0$，$x_1 = 30, x_2 = 40$. 因为要保证销售量不为零，$250 - 5x > 0$，解得 $x < 50$. $x_1 = 30, x2 = 40$ 都满足 $x < 50$. 答：每件商品的售价应定为30元或40元. (2) 设每天获得的利润为 $W$ 元. $W = (x - 20)(250 - 5x) = -5x^2 + 350x - 5000$. 这是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得. 顶点的横坐标为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{350}{2 \times (-5)} = 35$. 因为 $x=35$ 满足 $x < 50$. 当 $x=35$ 时，$W{最大} = (35 - 20)(250 - 5 \times 35) = 15 \times 75 = 1125$ (元). 答：每件商品的售价定为35元时，商店每天获得的利润最大,最大利润是1125元.

22. 解： (1) 证明： 因为AB是直径，O是圆心，CD⊥AB于E， $AE = EB$. 又因为 $OA = OB$， $OA - AE = OB - EB$，即 $OE = OE$ (公共边). 在Rt△OEC和Rt△OED中， $\begin{cases} OC = OD (\text{半径}) \ OE = OE (\text{公共边}) \end{cases}$ Rt△OEC ≌ Rt△OED (HL). (2) 解： 因为 $OA=5$，$AB=10$. 因为 $AE=2$，$EB=2$，$OE = OA - AE = 5 - 2 = 3$. 在Rt△OEC中，$OC=5, OE=3$， $EC = \sqrt{OC^2 - OE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$. 因为CD⊥AB，所以E是CD的中点，$CD = 2EC$. $CD = 2 \times 4 = 8$.

23. 解： (1) 证明： $\Delta = b^2 - 4ac = [-(2k+1)]^2 - 4 \times 1 \times (k^2 + k)$ $= 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4k$ $= 1$. 因为 $\Delta = 1 > 0$，所以方程总有两个不相等的实数根. (2) 解： 将方程整理为 $x^2 - (2k+1)x + k(k+1) = 0$. 由韦达定理，$x_1 + x_2 = 2k+1$，$x_1x_2 = k(k+1)$. 由 $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 2$ 展开得： $x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 2$. 将韦达定理代入上式： $k(k+1) - (2k+1) + 1 = 2$. $k^2 + k - 2k - 1 + 1 = 2$. $k^2 - k - 2 = 0$. 解得：$(k-2)(k+1)=0$，$k_1 = 2, k_2 = -1$. 答：$k$ 的值为2或-1.

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期中核心知识点总结

第一部分：一元二次方程

1. 三种解法：

   • 直接开平方法： 适用于 $(x+m)^2 = n$ 的形式. 若 $n \ge 0$，则 $x+m = \pm\sqrt{n}$.
   • 配方法： 关键步骤是“加上一次项系数一半的平方”，将方程化为 $(x+m)^2 = n$ 的形式.
   • 公式法： 求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，必须先计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$.
   • 因式分解法： 将方程左边化为两个一次式的乘积，右边为0，如 $(x-a)(x-b)=0$.

2. 根的判别式 ($\Delta = b^2 - 4ac$)：

   • $\Delta > 0 \Leftrightarrow$ 方程有两个不相等的实数根.
   • $\Delta = 0 \Leftrightarrow$ 方程有两个相等的实数根.
   • $\Delta < 0 \Leftrightarrow$ 方程没有实数根.

3. 韦达定理 (根与系数的关系)：

   • 若 $x_1, x_2$ 是方程 $ax^2+bx+c=0(a \ne 0)$ 的两根，则 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
   • 常用变形：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，$(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$.

4. 实际应用：

   • 增长率问题： 原量 $a$，平均增长率 $p$，$n$ 次增长后的量为 $a(1+p)^n$.
   • 利润问题： 利润 = (售价 - 进价) × 销售量. 注意销售量随售价变化的函数关系.

第二部分：二次函数

1. 三种表达式：

   • 一般式： $y = ax^2 + bx + c$. 通过代入任意三点坐标求解.
   • 顶点式： $y = a(x-h)^2 + k$. 已知顶点 $(h, k)$ 和另一点时使用方便.
   • 交点式 (两根式)： $y = a(x-x_1)(x-x_2)$. 已知与x轴交点 $(x_1, 0)$ 和 $(x_2, 0)$ 时使用方便.

2. 图象与性质：

   • 对称轴： 直线 $x = -\frac{b}{2a}$ (或 $x=h$).
   • 顶点坐标： $(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$ (或 $(h, k)$).
   • 开口方向： $a > 0$ 向上，$a < 0$ 向下.
   • 最值： $a > 0$ 有最小值，$a < 0$ 有最大值,最值在顶点处取得.
   • 平移规律： “左加右减，上加下减”. $y=ax^2$ 向左平移 $h$ 个单位，再向上平移 $k$ 个单位得 $y=a(x+h)^2+k$.

3. 与一元二次方程的关系：

   • 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象与x轴的交点横坐标，就是对应一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根.
   • 若图象与x轴有两个交点，则 $\Delta > 0$；有一个交点，则 $\Delta = 0$；无交点，则 $\Delta < 0$.

第三部分：圆 (基础)

1. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

   推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

2. 圆心角、弧、弦之间的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
3. 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

   推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

希望这份资料对你的期中复习有帮助！祝你取得好成绩！