九年级上册数学期中考试卷考点有哪些？

九年级上册数学期中考试模拟卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

注意事项：

1. 本试卷共三大题,26小题。
2. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,写在试卷、草稿纸上的答案无效。
4. 作图可使用2B铅笔或0.5mm黑色签字笔。

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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 方程 $x^2 - 4 = 0$ 的根是 A. $x = 2$ B. $x = -2$ C. $x_1 = 2, x_2 = -2$ D. $x = 4$

2. 下列方程中,是一元二次方程的是 A. $ax^2 + bx + c = 0$ B. $(x-1)(x+2) = x^2$ C. $x^2 - \frac{1}{x} = 1$ D. $x^2 - 3 = 0$

3. 用配方法解方程 $x^2 - 6x - 1 = 0$ 时，配方正确的是 A. $(x-3)^2 = 10$ B. $(x-3)^2 = 8$ C. $(x+3)^2 = 10$ D. $(x+3)^2 = 8$

4. 一元二次方程 $x^2 - 2x + 3 = 0$ 的根的情况是 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

   
   （图片来源网络，侵删）

5. 抛物线 $y = (x-2)^2 + 1$ 的顶点坐标是 A. $(2, 1)$ B. $(-2, 1)$ C. $(2, -1)$ D. $(-2, -1)$

6. 二次函数 $y = -x^2 + 4x - 5$ 的最大值是 A. 5 B. -5 C. 1 D. -1

7. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2 - 2x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 A. $k > -1$ B. $k < -1$ 且 $k \neq 0$ C. $k \geq -1$ 且 $k \neq 0$ D. $k > -1$ 且 $k \neq 0$

8. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象如图1所示，则下列结论中正确的是 (假设图1为开口向下，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点) A. $a > 0, b > 0, c > 0$ B. $a < 0, b > 0, c < 0$ C. $a < 0, b < 0, c > 0$ D. $a < 0, b > 0, c > 0$

   
   （图片来源网络，侵删）

9. 某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出5件，要使商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫应降价 $x$ 元，则可列方程为 A. $(44-x)(20+5x) = 2100$ B. $(44+x)(20-5x) = 2100$ C. $(44-x)(20-5x) = 2100$ D. $(44+x)(20+5x) = 2100$

10. 已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的部分图象如图2所示，若 $y > 0$，则 $x$ 的取值范围是 (假设图2为开口向上，对称轴为x=1，与x轴交于(-1,0)和(3,0)) A. $x < -1$ 或 $x > 3$ B. $-1 < x < 3$ C. $x < -2$ 或 $x > 4$ D. $-2 < x < 4$

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 方程 $(2x-1)^2 = 9$ 的根是 ____.

12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + k = 0$ 有一个根为0，则 $k$ 的值为 ____.

13. 将抛物线 $y = 2x^2$ 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ____.

14. 已知一元二次方程 $x^2 - mx + 2 = 0$ 的一个根是2，则另一个根是 ____，$m$ 的值是 ____.

15. 请写出一个开口向下,且对称轴为直线 $x = 2$ 的二次函数解析式：____.（答案不唯一）

16. 如图3,在宽为20m，长为30m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为 $441m^2$，则道路的宽度应为 ____m. (假设图3为一个大矩形，内部有一个十字形道路)

解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (8分) 解下列方程： (1) $x^2 - 4x + 1 = 0$ (用配方法) (2) $2x(x-3) = 3-x$

18. (8分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (m+1)x + m = 0$. (1) 求证：无论 $m$ 取何实数，该方程都有两个实数根； (2) 若方程的一个根为2，求 $m$ 的值及方程的另一个根。

19. (10分) 已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$. (1) 求该函数图象的顶点坐标和对称轴； (2) 求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (3) 画出该函数的大致图象； (4) 观察图象，写出当 $y < 0$ 时，$x$ 的取值范围。

20. (10分) 某水果商店购进一批苹果，进价是每千克10元，市场调查发现，售价定为每千克14元时，每天可售出100千克，售价每降低1元，每天可多售出20千克，若商店想每天销售这种苹果获利1440元，且让利于顾客，应将售价定为每千克多少元？

21. (10分) 如图4，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = -x^2 + 2x + 3$ 与x轴交于A, B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. (1) 求A, B, C三点的坐标； (2) 求该抛物线的顶点坐标； (3) 若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ABM的周长最小时，求点M的坐标。 (假设图4为坐标系，抛物线开口向下，与x轴交于负半轴和正半轴，与y轴交于正半轴)

22. (12分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根为 $x_1, x_2$. (1) 若 $x_1 + x_2 = 3$, $x_1 \cdot x_2 = -2$，求 $a:b:c$ 的值； (2) 求证：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$； (3) 利用(2)的结论，已知一元二次方程 $x^2 - 4x - 1 = 0$ 的两个根为 $x_1, x_2$，求 $x_1^2 + x_2^2$ 的值。

23. (14分) 如图5，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6cm$，$BC = 8cm$，点P从点A出发，沿A→B→C→D的路径以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿C→D→A的路径以1cm/s的速度移动，P, Q两点同时出发，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动。 (1) 求运动几秒时，PQ的长度第一次等于5cm？ (2) 在整个运动过程中，PQ的长度能否等于10cm？若能，求出运动的时间；若不能，请说明理由。 (假设图5为矩形ABCD，P从A出发，Q从C出发)

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参考答案及评分标准

选择题

1. C 2. D 3. A 4. D 5. A
2. D 7. D 8. B 9. A 10. A

填空题

11. $x_1 = 2, x_2 = -1$ (或写成 $x=2$ 或 $x=-1$)
12. 0
13. $y = 2(x+3)^2 - 2$
14. 1, 4
15. $y = -(x-2)^2$ (或 $y = -x^2+4x-4$ 等，符合开口向下且对称轴为x=2即可)
16. 2

解答题

17. (1) 解：$x^2 - 4x = -1$ $x^2 - 4x + 4 = -1 + 4$ $(x-2)^2 = 3$ $x-2 = \pm\sqrt{3}$ $x = 2 \pm \sqrt{3}$ $x_1 = 2 + \sqrt{3}, x_2 = 2 - \sqrt{3}$. (4分)

    (2) 解：$2x(x-3) = -(x-3)$ $2x(x-3) + (x-3) = 0$ $(x-3)(2x+1) = 0$ $x-3 = 0$ 或 $2x+1 = 0$ $x_1 = 3, x_2 = -\frac{1}{2}$. (4分)

18. (1) 证明：$\Delta = (m+1)^2 - 4 \times 1 \times m = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$. 因为无论 $m$ 取何实数，$(m-1)^2 \geq 0$ 恒成立， 所以该方程都有两个实数根。 (4分)

    (2) 解：将 $x=2$ 代入方程，得 $2^2 - (m+1) \times 2 + m = 0$， $4 - 2m - 2 + m = 0$， $2 - m = 0$， $m = 2$. (3分) 当 $m=2$ 时，方程为 $x^2 - 3x + 2 = 0$， 因式分解得 $(x-1)(x-2) = 0$， 所以另一个根是 $x=1$. (3分)

19. (1) 解：$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$. 顶点坐标为 $(1, -4)$，对称轴为直线 $x=1$. (3分)

    (2) 令 $y=0$，则 $x^2 - 2x - 3 = 0$，解得 $x_1 = -1, x_2 = 3$. 令 $x=0$，则 $y = -3$. 所以与x轴交点为 $(-1, 0)$ 和 $(3, 0)$，与y轴交点为 $(0, -3)$. (3分)

    (3) 图象略。（顶点(1,-4)，与坐标轴交点(-1,0), (3,0), (0,-3)，开口向上） (2分)

    (4) 观察图象可知，当 $y < 0$ 时，$x$ 的取值范围是 $-1 < x < 3$. (2分)

20. 解：设应将售价定为每千克 $(14-x)$ 元。 则每千克盈利为 $(14-x-10) = (4-x)$ 元， 每天可售出 $[100 + 20x]$ 千克。 根据题意，得 $(4-x)(100+20x) = 1440$. (3分) 化简得：$400 + 80x - 100x - 20x^2 = 1440$， $-20x^2 - 20x - 1040 = 0$， 两边除以-20，得 $x^2 + x + 52 = 0$. (2分) 判断根的判别式：$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 52 = 1 - 208 = -207 < 0$. (2分) 所以该方程没有实数解。 这意味着在售价定为每千克14元的基础上降价，无法达到每天获利1440元的目标。 (2分) 答：无法通过降价让利使商店每天获利1440元。 (1分)

21. (1) 令 $y=0$，则 $-x^2 + 2x + 3 = 0$，解得 $x_1 = -1, x_2 = 3$. 令 $x=0$，则 $y=3$. $A(-1, 0), B(3, 0), C(0, 3)$. (3分)

    (2) $y = -x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x-1)^2 + 1 + 3 = -(x-1)^2 + 4$. 顶点坐标为 $(1, 4)$. (3分)

    (3) 点A关于对称轴 $x=1$ 的对称点是 $A'(3, 0)$，即点B。 点B关于对称轴 $x=1$ 的对称点是 $A'(-1, 0)$，即点A。 当点M与点A或点B重合时，△ABM的周长最小。 点M的坐标为 $(-1, 0)$ 或 $(3, 0)$. (4分)

22. (1) 由根与系数的关系可知，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. $-\frac{b}{a} = 3$, $\frac{c}{a} = -2$. 可设 $a = k$, 则 $b = -3k$, $c = -2k$ ($k \neq 0$). $a:b:c = k : (-3k) : (-2k) = 1 : (-3) : (-2)$. (4分)

    (2) 证明：$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$. (3分)

    (3) 对于方程 $x^2 - 4x - 1 = 0$，有 $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -1$. 由(2)的结论，$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2 \times (-1) = 16 + 2 = 18$. (5分)

23. (1) 设运动 $t$ 秒时，PQ的长度第一次等于5cm。

    • 当 $0 < t \le 3$ 时，P在AB上，Q在CD上。 $AP = 2t$, $CQ = t$, $DQ = 8-t$. $P(2t, 0)$, $Q(6, 8-t)$. 由 $PQ = 5$ 得 $\sqrt{(6-2t)^2 + (8-t-0)^2} = 5$. $(6-2t)^2 + (8-t)^2 = 25$， $36 - 24t + 4t^2 + 64 - 16t + t^2 = 25$， $5t^2 - 40t + 75 = 0$， $t^2 - 8t + 15 = 0$， $(t-3)(t-5) = 0$. $t_1 = 3, t_2 = 5$ (舍去，因为 $t \le 3$). 当 $t=3$ 时，$P(6,0)$, $Q(6,5)$, $PQ=5$，符合题意。 (5分) 答：运动3秒时，PQ的长度第一次等于5cm。

    (2) 能。 (1分)

    • 当 $3 < t \le 7$ 时，P在BC上，Q在CD上。 $BP = 2t-6$, $PC = 14-2t$, $CQ = t$, $DQ = 8-t$. $P(6, 2t-6)$, $Q(6, 8-t)$. $PQ = |(2t-6) - (8-t)| = |3t-14|$. 令 $|3t-14| = 10$， $3t-14 = 10$ 或 $3t-14 = -10$， $t_1 = 8$ (舍去，因为 $t \le 7$), $t_2 = \frac{4}{3}$ (舍去，因为 $t > 3$). (3分)
    • 当 $7 < t \le 11$ 时，P在BC上，Q在DA上。 $P(6, 2t-6)$, $Q(t-8, 0)$. 由 $PQ = 10$ 得 $\sqrt{(t-8-6)^2 + (0-(2t-6))^2} = 10$. $(t-14)^2 + (6-2t)^2 = 100$， $t^2 - 28t + 196 + 36 - 24t + 4t^2 = 100$， $5t^2 - 52t + 132 = 0$， $\Delta = (-52)^2 - 4 \times 5 \times 132 = 2704 - 2640 = 64$. $t = \frac{52 \pm \sqrt{64}}{10} = \frac{52 \pm 8}{10}$. $t_1 = 6, t_2 = 4.4$. 因为 $7 < t \le 11$，$t_1, t_2$ 都舍去。 (3分)
    • 当 $11 < t \le 14$ 时，P在CD上，Q在DA上。 $PD = 2t-14$, $PC = 20-2t$, $DQ = 2t-14$, $QA = 22-2t$. $P(2t-14, 8)$, $Q(2t-14, 0)$. $PQ = |8-0| = 8 \ne 10$. (1分)
    • 当 $14 < t \le 22$ 时，P在DA上，Q在DA上。 $AP = 2t-28$, $PD = 36-2t$, $AQ = 2t-14$, $QD = 22-2t$. $P(0, 2t-28)$, $Q(0, 22-2t)$. $PQ = |(2t-28) - (22-2t)| = |4t-50|$. 令 $|4t-50| = 10$， $4t-50 = 10$ 或 $4t-50 = -10$， $t_1 = 15, t_2 = 10$ (舍去，因为 $t > 14$). 当 $t=15$ 时，$P(0,2)$, $Q(0,-8)$, $PQ=10$，符合题意。 (3分) 答：运动15秒时，PQ的长度能等于10cm。