2025七年级数学竞赛考什么重点？

校园之窗 2025年12月15日 13:14:48 99ANYc3cd6 1 0

综合性强：一道题可能涉及多个数学知识点。
技巧性强：需要巧妙的方法，如枚举、假设、数形结合、找规律等。
思维深度：考验学生分析问题、建立模型的能力。

下面我为您整理了 2025年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（七年级） 的一些典型题目及详细解析,这能很好地反映该级别竞赛的风格和难度。

2025年华罗庚金杯决赛七年级部分试题解析

第一题：数论与方程问题

** 一个两位数，它的十位数字比个位数字大3，如果把这个两位数的十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数，已知原数与新数的和是121,求原数。

（图片来源网络，侵删）

解析： 这是一道典型的数字问题,我们可以用代数方法来解决。

设未知数：设这个两位数的个位数字为 x。根据题意，十位数字比个位数字大3，所以十位数字为 x + 3。
表示原数和新数：
- 原数（十位数字是 x+3，个位数字是 x）可以表示为：10 × (x + 3) + x
- 新数（十位数字是 x，个位数字是 x+3）可以表示为：10 × x + (x + 3)
根据题意列方程：原数 + 新数 = 121 [10(x + 3) + x] + [10x + (x + 3)] = 121
（图片来源网络，侵删）
解方程：
- 展开方程： 10x + 30 + x + 10x + x + 3 = 121
- 合并同类项： (10x + x + 10x + x) + (30 + 3) = 121 22x + 33 = 121
- 移项： 22x = 121 - 33 22x = 88
- 求解 x： x = 88 / 22 x = 4
求出原数：
- 个位数字 x = 4
- 十位数字 x + 3 = 4 + 3 = 7
- 原数是 74。
验证：
- 原数是 74。
- 新数是 47。
- 74 + 47 = 121,符合题意。

答案： 原数是 74。

（图片来源网络，侵删）

第二题：应用题（鸡兔同笼模型）

** 笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚,问笼中各有几只鸡和兔？

解析： 这是经典的“鸡兔同笼”问题,可以用假设法或方程法解决。

假设法（算术方法）

假设全是鸡：假设35只全都是鸡，那么应该有脚：35 × 2 = 70 只。
找出差异：实际上有94只脚，比假设多了：94 - 70 = 24 只脚。
分析差异原因：为什么会多出24只脚？因为我们把一些兔子当成了鸡，每把一只兔子当成一只鸡，脚的数量就会少算 4 - 2 = 2 只。
计算兔的数量：多出来的24只脚，除以每只兔子少算的2只脚，就能得到兔子的数量： 24 ÷ 2 = 12 只。
计算鸡的数量：总头数是35，兔子有12只，所以鸡有：35 - 12 = 23 只。
验证：鸡23只，脚 23 × 2 = 46 只。兔12只，脚 12 × 4 = 48 只。总脚数 46 + 48 = 94 只,正确。

方程法（代数方法）

设未知数：设鸡有 x 只，兔有 y 只。
列方程组：
- 根据头的数量：x + y = 35
- 根据脚的数量：2x + 4y = 94
解方程组：
- 由第一个方程得 x = 35 - y。
- 将其代入第二个方程： 2(35 - y) + 4y = 94 70 - 2y + 4y = 94 2y = 94 - 70 2y = 24 y = 12
- 代入 x = 35 - y 得 x = 35 - 12 = 23。

答案： 笼中有 23只鸡 和 12只兔。

第三题：几何与计数问题

** 如图，一个正方形的边长为4厘米，以这个正方形的四个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内部画四条圆弧，求这四条圆弧所围成的阴影部分的面积。（π取3.14）

      +-----------+
      | \         / |
      |   \       /   |
      |     \   /     |
      |       S       |  (S为阴影区域)
      |     /   \     |
      |   /       \   |
      | /         \ |
      +-----------+

解析： 这道题需要巧妙地利用面积割补法来解决。

分析图形：阴影区域S是由四段圆弧围成的，直接计算它的面积比较困难,我们可以尝试用整体面积减去其他部分的面积。
计算正方形总面积：正方形的边长为4厘米，面积为： S_正方形 = 4 × 4 = 16 平方厘米。
观察空白区域：阴影区域S之外的空白部分，恰好是4个形状相同、大小相等的“花瓣”形区域，每个“花瓣”形区域可以看作是一个四分之一圆减去一个等腰直角三角形。
计算一个“花瓣”的面积：
- 四分之一圆的面积：以正方形的顶点为圆心，半径 r = 4 厘米，一个四分之一圆的面积为： S_1/4圆 = (1/4) × π × r² = (1/4) × 3.14 × 4² = (1/4) × 3.14 × 16 = 12.56 平方厘米。
- 等腰直角三角形的面积：这个三角形的两条直角边都是正方形的边长，即4厘米，其面积为： S_三角形 = (1/2) × 4 × 4 = 8 平方厘米。
- 一个“花瓣”的面积： S_花瓣 = S_1/4圆 - S_三角形 = 12.56 - 8 = 4.56 平方厘米。
计算所有空白区域的面积：正方形内有4个这样的“花瓣”区域，所以总空白面积为： S_空白 = 4 × S_花瓣 = 4 × 4.56 = 18.24 平方厘米。
计算阴影面积：阴影面积 = 正方形面积 - 空白区域面积 S_阴影 = S_正方形 - S_空白 = 16 - 18.24 = -2.24 平方厘米。

（这里出现负数，说明我们的思路有误！让我们重新审视。）

【修正思路】

我们发现，空白区域面积竟然比正方形总面积还大，这说明我们之前对“花瓣”区域的定义是错误的，让我们换一种更简单、更巧妙的方法。

【巧妙解法——面积割补】

重新审视图形：观察阴影区域S，它看起来像一个“四叶草”的中心，我们注意到,正方形的每条边都被两个圆弧覆盖了。
进行割补：
- 我们将阴影区域S沿着正方形的两条对角线切开,会得到4个完全相同的部分。
- 我们将这4个部分重新拼在一起，可以拼成一个完整的圆！
- 这个圆的半径是多少呢？观察图形，这个圆的半径恰好是正方形边长的一半，即 r = 4 / 2 = 2 厘米。
计算阴影面积：既然阴影区域S的面积等于一个半径为2厘米的圆的面积，那么我们直接计算这个圆的面积即可： S_阴影 = π × r² = 3.14 × 2² = 3.14 × 4 = 12.56 平方厘米。

答案： 阴影部分的面积是 56 平方厘米。

总结与备考建议

通过以上三道题,我们可以看到七年级数学竞赛的考察重点：

基础知识的灵活运用：如数字问题、方程、几何面积公式等,但绝不是死记硬背。
数学思想方法：
- 数形结合：将代数问题与几何图形联系起来（如第三题）。
- 转化与化归：将复杂问题转化为简单问题（如第三题的割补法，将不规则图形转化为规则图形）。
- 分类讨论：当问题有多种可能性时,需要分情况讨论。
- 假设与验证：像“鸡兔同笼”问题,通过假设和验证找到答案。
强大的逻辑推理能力：需要一步步严谨地推导,不能凭空想象。