七年级下册几何压轴题怎么解？
校园之窗 2025年12月11日 22:54:20 99ANYc3cd6
核心知识点回顾
在做题前,务必熟练掌握以下核心知识点：
-
平行线的判定：
（图片来源网络，侵删）- 同位角相等,两直线平行。
- 内错角相等,两直线平行。
- 同旁内角互补,两直线平行。
-
平行线的性质：
- 两直线平行,同位角相等。
- 两直线平行,内错角相等。
- 两直线平行,同旁内角互补。
-
三角形内角和：
- 三角形的三个内角和等于 180°。
-
三角形外角性质：
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
-
重要推论：
（图片来源网络，侵删）- n边形内角和 = (n-2) × 180° (七年级下册通常只涉及三角形和四边形，四边形内角和为360°)。
例题精讲与思路剖析
角度计算与证明（利用平行线与三角形）
是压轴题中最常见的类型，通常给出一个复杂的图形,要求你通过推理求出某个角的度数或证明两个角的数量关系。
【经典例题1】
如图，已知直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC = 2∠BOC，OE 是 ∠AOD 的角平分线。
求证：OE ⊥ AB。
【解题思路】
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审题与目标：
- 已知：
AB与CD相交，∠AOC = 2∠BOC，OE平分∠AOD。 - 求证：
OE ⊥ AB。 - 目标转化：“
OE ⊥ AB” 的意思是证明∠AOE = 90°，我们的目标是计算出∠AOE的度数。
- 已知：
-
分析已知条件：
AB与CD相交，说明∠AOC和∠BOC是邻补角,这是一个关键关系。∠AOC = 2∠BOC，这是一个数量关系，我们可以利用邻补角关系和这个数量关系，先求出∠AOC和∠BOC的具体度数。OE是角平分线，意味着∠AOE = ∠DOE，这为我们计算∠AOE提供了路径。
-
分步解答：
-
第一步：求出基础角的大小。
- 因为
AB与CD相交于点O，∠AOC和∠BOC互为邻补角。 ∠AOC + ∠BOC = 180°。- 又因为
∠AOC = 2∠BOC，所以我们可以设∠BOC = x，则∠AOC = 2x。 - 代入上式得：
2x + x = 180°，解得x = 60°。 ∠BOC = 60°，∠AOC = 120°。- （由此可知，
∠AOD = ∠BOC = 60°，对顶角相等）。
- 因为
-
第二步：利用角平分线性质求解。
- 因为
OE是∠AOD的角平分线，∠AOE = ½ ∠AOD。 - 我们已经求出
∠AOD = 60°，∠AOE = ½ × 60° = 30°。
- 因为
-
第三步：得出结论。
- 我们发现
∠AOC = 120°，而∠AOE = 30°。 ∠COE = ∠AOC - ∠AOE = 120° - 30° = 90°。- 这说明
OE与OC互相垂直，因为OC是直线CD的一部分，而AB与CD相交，OE与AB也互相垂直。 -
OE ⊥ AB。
- 我们发现
-
这类题目的关键在于从复杂图形中找到最基础、最直接的角度关系（如邻补角、对顶角），然后利用已知条件（如倍数关系、角平分线）逐步求解。
动态几何与规律探索
通常涉及一个或多个点在图形上运动,要求你探索某个不变的数量关系或规律。
【经典例题2】
如图，在 △ABC 中，∠A = 40°，点 P 是边 BC 上的一个动点（点 P 与点 B、C 不重合），BP、CP 的延长线分别交 ∠ACB、∠ABC 的外角平分线于点 E、F。
问：∠EPF 的度数是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是,请说明理由。
【解题思路】
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审题与目标：
- 已知：
△ABC中∠A = 40°，CE是∠ACB的外角平分线，BF是∠ABC的外角平分线。P是BC上的动点。 - 求：
∠EPF是否为定值。 - 解题策略：对于动点问题，我们通常采用“特殊位置探路，一般位置证明”的策略，可以先假设
P在BC的中点或某个特定位置，计算出∠EPF的值，猜测它可能是一个定值,然后再对一般位置进行证明。
- 已知：
-
分析已知条件：
∠A = 40°是一个固定值。CE和BF是角平分线,这个性质在任何位置都成立。P是动点，但∠EPF的两个边PE和PF始终与角平分线CE、BF相关联。
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分步解答：
-
第一步：特殊位置探路（假设 P 在 BC 中点）。
- （此步可省略，但有助于我们建立信心和发现规律）通过测量或简单计算，可以猜测
∠EPF可能是70°。
- （此步可省略，但有助于我们建立信心和发现规律）通过测量或简单计算，可以猜测
-
第二步：一般位置证明。
- 目标： 用已知量
∠A来表示∠EPF。 - 观察图形：
∠EPF是△PEF的一个内角，也可以看作是△PCE和△PBF的外角，我们尝试利用三角形外角性质。 - 在
△PEC中，∠EPF是∠PEC的一个外角，∠EPF = ∠PEC + ∠PCE。 --- (1) - 在
△PBF中，∠EPF是∠PFB的一个外角，∠EPF = ∠PFB + ∠PBF。 --- (2) - 现在我们需要找到
∠PEC和∠PFB与其他角的关系。 ∠PEC是△ABE的一个外角，∠PEC = ∠A + ∠EBA。 --- (3)∠PFB是△ACF的一个外角，∠PFB = ∠A + ∠FCA。 --- (4)- 将 (3) 和 (4) 代入 (2)：
∠EPF = (∠A + ∠EBA) + (∠A + ∠FCA) = 2∠A + ∠EBA + ∠FCA。 - 利用角平分线性质：
BF是∠ABC的外角平分线，∠EBA = ½ (∠ABC + ∠ACB)(因为外角等于两不相邻内角之和)。CE是∠ACB的外角平分线，∠FCA = ½ (∠ABC + ∠ACB)。
∠EBA = ∠FCA。- 代入计算：
∠EPF = 2∠A + ½(∠ABC+∠ACB) + ½(∠ABC+∠ACB)∠EPF = 2∠A + (∠ABC + ∠ACB)。 - 利用三角形内角和：
在
△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A。 - 最终化简：
∠EPF = 2∠A + (180° - ∠A) = ∠A + 180°。- 等等，这里出现了问题！ 这个结果显然不对，因为
∠EPF不可能大于180°,说明我们在选择外角时出现了错误。
- 等等，这里出现了问题！ 这个结果显然不对，因为
- 目标： 用已知量
-
修正思路：
- 我们换一种方式，直接使用 (1) 式
∠EPF = ∠PEC + ∠PCE。 ∠PEC是△ABE的外角，∠PEC = ∠A + ∠EBA。∠PCE是∠ACB的外角的一半，即∠PCE = ½(∠A + ∠ABC)。∠EPF = (∠A + ∠EBA) + ½(∠A + ∠ABC)。- 因为
∠EBA是∠ABC的外角的一半，∠EBA = ½(∠BAC + ∠ACB) = ½(∠A + ∠ACB)。 - 代入：
∠EPF = ∠A + ½(∠A + ∠ACB) + ½(∠A + ∠ABC) = ∠A + ½∠A + ½∠ACB + ½∠A + ½∠ABC= (∠A + ½∠A + ½∠A) + ½(∠ABC + ∠ACB)= 2∠A + ½(180° - ∠A)= 2∠A + 90° - ½∠A= ½∠A + 90°- 代入
∠A = 40°，得∠EPF = ½ × 40° + 90° = 20° + 90° = 110°。 -
∠EPF的度数是定值，为110°。
- 我们换一种方式，直接使用 (1) 式
-
动态几何题的精髓在于“化动为静”，利用不变的几何性质（如角平分线、内角和、外角性质）来建立关系，最终发现变量之间的关系，从而找到定值，计算时要非常小心,避免角度关系的混淆。
压轴题解题技巧与策略
- 审题要慢，落笔要快： 仔细阅读题目，把所有已知条件（包括隐含条件，如对顶角、邻补角）和求解目标都明确标在图上。
- 数形结合： 图形是几何的灵魂，学会在图上标记角度、线段关系,有时需要自己画出更清晰的示意图。
- 转化思想： 这是解决几何问题的核心。
- 线段转化： 证明
a=b+c，可以转化为证明a-b=c或a-c=b。 - 角度转化： 证明
∠1=∠2，可以转化为证明∠1=∠3且∠2=∠3。
- 线段转化： 证明
- 辅助线： 七年级下册的辅助线相对简单，主要有：
- 连接两点： 构造三角形或使用全等（七年级下册较少）。
- 作平行线： 平移角或线段,利用平行线的性质来创造等角或互补角。
- 延长线段： 构造外角。
- 从结论倒推： 如果直接证不出来，可以看要证明的结论需要什么条件,然后努力去创造这些条件。
- 规范书写： 几何证明题的每一步都要有理有据，不能跳步，使用“∵... ∴...”的格式，并注明理由（如“对顶角相等”、“两直线平行，内错角相等”）。
希望这些例题和技巧能对你有所帮助！几何压轴题并不可怕，只要掌握了核心知识点和正确的思维方法，多加练习,你一定能攻克它们！
