九年级上册数学期中测试卷

校园之窗 2025年12月14日 21:45:11 99ANYc3cd6 1 0

本试卷涵盖了第二十一章《一元二次方程》和第二十二章《二次函数》的核心知识点，题型包括选择、填空、解答题，并附有详细的答案和解析,便于学生自测和复习。

九年级上册数学期中模拟测试卷

考试时间： 90分钟 满分： 120分

（图片来源网络，侵删）

选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

方程 $(x-1)^2 = 4$ 的解是 A. $x_1 = 3, x_2 = -1$ B. $x_1 = 3, x_2 = 1$ C. $x_1 = -3, x_2 = 1$ D. $x_1 = -3, x_2 = -1$
下列方程中，是一元二次方程的是 A. $ax^2 + bx + c = 0$ B. $x^2 + y = 1$ C. $(x-1)(x+2) = x^2$ D. $x^2 - 2x = 3$
用配方法解方程 $x^2 - 4x - 1 = 0$ 时，配方正确的是 A. $(x-2)^2 = 5$ B. $(x-2)^2 = 1$ C. $(x+2)^2 = 5$ D. $(x+2)^2 = 1$
一元二次方程 $x^2 - 2x + 1 = 0$ 的根的情况是 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定
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二次函数 $y = (x-1)^2 + 2$ 的顶点坐标是 A. $(1, 2)$ B. $(-1, 2)$ C. $(1, -2)$ D. $(-1, -2)$
抛物线 $y = -2x^2$ 的开口方向和对称轴分别是 A. 向上，y轴 B. 向下，y轴 C. 向上，直线 $x=0$ D. 向下，直线 $x=0$
若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 5x + k = 0$ 有一个根为 0，则 $k$ 的值为 A. 0 B. 1 C. 5 D. -5
二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 的图象与y轴的交点坐标是 A. $(0, 3)$ B. $(0, -3)$ C. $(3, 0)$ D. $(-3, 0)$
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若二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（假设图象为开口向下，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点） A. $a > 0, b^2 - 4ac > 0$ B. $a > 0, b^2 - 4ac < 0$ C. $a < 0, b^2 - 4ac > 0$ D. $a < 0, b^2 - 4ac < 0$
某商品原价为 200 元，经过连续两次降价后，现在的价格为 128 元，若每次降价的百分率相同，则这个百分率为 A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

方程 $2x(x-1) = 3(x-1)$ 的根为 ____。
一元二次方程 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ 的根的判别式 $\Delta$ 的值是 ____。
将二次函数 $y = x^2 - 6x + 7$ 化为 $y = a(x-h)^2 + k$ 的形式，结果是 ____。
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 ____。
已知二次函数的图象经过点 $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ 和 $C(0, -3)$，则这个二次函数的表达式为 ____。
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点为 $M(1, 4)$，且经过点 $A(-1, 0)$，则当 $y > 0$ 时，x的取值范围是 ____。（假设图象为开口向下，顶点在(1,4)，过点(-1,0)）

解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

(本题满分8分) 解方程：$(2x-1)^2 - 9 = 0$。
(本题满分8分) 用公式法解方程：$2x^2 + 4x = 1$。
(本题满分10分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (m+2)x + 2m = 0$。 (1) 求证：无论 $m$ 取何实数，该方程总有实数根。 (2) 若该方程有一个根为 2，求 $m$ 的值及方程的另一个根。
(本题满分10分) 已知二次函数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{3}{2}$。 (1) 求这个函数图象的顶点坐标和对称轴。 (2) 求这个函数图象与坐标轴的交点坐标。 (3) 画出这个函数的大致图象。
(本题满分12分) 某农场要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长为25米），另外三边用竹篱笆围成，若篱笆总长为40米，设养鸡场垂直于墙的一边长为 $x$ 米。 (1) 求养鸡场的面积 $S$（平方米）与 $x$（米）之间的函数关系式。 (2) 当 $x$ 为多少米时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少平方米？
(本题满分12分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (k+1)x + \frac{1}{4}k^2 + 1 = 0$。 (1) 求证：无论 $k$ 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。 (2) 设方程的两个实数根分别为 $x_1, x_2$，且满足 $(x_1 - 2)(x_2 - 2) = -\frac{7}{2}$，求 $k$ 的值。
(本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx - 3$ 与x轴交于点 $A(-1, 0)$ 和 $B(3, 0)$，与y轴交于点 $C$。 (1) 求抛物线的解析式。 (2) 点 $P$ 是抛物线上在第一象限内的一个动点，连接 $PA, PB$，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值。 (3) 若点 $M$ 是抛物线上的一个动点，是否存在点 $M$，使得以 $A, B, M$ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在,请说明理由。

参考答案与解析

选择题

A (解析：开方得 $x-1 = \pm 2$，$x = 1 \pm 2$，即 $x_1=3, x_2=-1$。)
D (解析：A中未说明 $a \neq 0$；B是二元一次方程；C整理后为 $x+2=1$，是一次方程。)
A (解析：$x^2 - 4x = 1$，$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$，$(x-2)^2 = 5$。)
B (解析：$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 4 - 4 = 0$，所以有两个相等的实数根。)
A (解析：顶点式 $y=a(x-h)^2+k$ 的顶点是 $(h,k)$。)
D (解析：二次项系数 $-2 < 0$，开口向下；对称轴为 $x=0$，即y轴。)
A (解析：将 $x=0$ 代入方程，得 $0 - 0 + k = 0$，$k=0$。)
A (解析：与y轴交点，令 $x=0$，$y=0-0+3=3$，所以交点为 $(0, 3)$。)
C (解析：图象开口向下，$a < 0$；与x轴有两个交点，$b^2-4ac > 0$。)
C (解析：设每次降价的百分率为 $x$，则 $200(1-x)^2 = 128$，解得 $(1-x)^2 = 0.64$，$1-x = \pm 0.8$。$x=1.8$（舍去）或 $x=0.2$，即20%。)

填空题

$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 3$ (解析：$2x(x-1) - 3(x-1) = 0$，$(x-1)(2x-3) = 0$。)
8 (解析：$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 16 - 8 = 8$。)
$y = (x-3)^2 - 2$ (解析：$y = x^2 - 6x + 9 - 2 = (x-3)^2 - 2$。)
$m < 1$ (解析：$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times m > 0$，$4 - 4m > 0$，解得 $m < 1$。)
$y = x^2 - 4x - 3$ (解析：设 $y = a(x-1)(x-3)$，将 $C(0, -3)$ 代入，$-3 = a(0-1)(0-3)$，$-3 = 3a$，$a=-1$。$y = -(x-1)(x-3) = -x^2+4x-3$。)
$x < -1$ 或 $x > 3$ (解析：由顶点 $M(1,4)$ 和点 $A(-1,0)$ 可知，抛物线与x轴的另一个交点为 $(3,0)$，开口向下，$y>0$ 时，x在两交点之外。)

解答题

解： $(2x-1)^2 - 9 = 0$ $(2x-1)^2 = 9$ $2x-1 = \pm 3$ $2x-1 = 3$ 或 $2x-1 = -3$ $2x = 4$ 或 $2x = -2$ $x_1 = 2$, $x_2 = -1$ 所以方程的解为 $x_1 = 2$, $x_2 = -1$。
解：将方程化为一般式：$2x^2 + 4x - 1 = 0$ 这里 $a=2$, $b=4$, $c=-1$。 $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 16 + 8 = 24$。 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2 \times 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$。所以方程的解为 $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$, $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}$。
解：(1) 证明：$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4 \times 1 \times 2m = m^2 + 4m + 4 - 8m = m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2$。因为 $(m-2)^2 \ge 0$ 对任意实数 $m$ 都成立，所以无论 $m$ 取何实数，该方程总有实数根。 (2) 将 $x=2$ 代入方程，得 $2^2 - (m+2) \times 2 + 2m = 0$， $4 - 2m - 4 + 2m = 0$，$0=0$。这说明 $m$ 可取任意实数，方程都有根 $x=2$。根据韦达定理，$x_1 + x_2 = m+2$，设另一个根为 $x_2$，则 $2 + x_2 = m+2$，$x_2 = m$。 $m$ 的值为任意实数，方程的另一个根为 $m$。
解：(1) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x) + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + \frac{7}{2}$。顶点坐标为 $(2, \frac{7}{2})$，对称轴为直线 $x=2$。 (2) 令 $x=0$，$y = \frac{3}{2}$，与y轴交点为 $(0, \frac{3}{2})$。令 $y=0$，$-\frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{3}{2} = 0$，解得 $x_1 = -1, x_2 = 3$，与x轴交点为 $(-1, 0)$ 和 $(3, 0)$。 (3) 图象略（开口向下的抛物线，顶点在 $(2, 3.5)$，过点 $(-1,0), (0,1.5), (3,0)$）。
解：(1) 篱笆总长为40米，设垂直于墙的一边长为 $x$ 米，则平行于墙的一边长为 $(40 - 2x)$ 米。面积 $S = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$ ($0 < x < 20$)。 (2) $S = -2x^2 + 40x = -2(x^2 - 20x) = -2(x^2 - 20x + 100 - 100) = -2(x-10)^2 + 200$。因为 $a = -2 < 0$，所以当 $x=10$ 时，$S$ 有最大值，最大值为 $200$。答：当垂直于墙的一边长为10米时，养鸡场的面积最大,最大面积是200平方米。
解：(1) 证明：$\Delta = [-(k+1)]^2 - 4 \times 1 \times (\frac{1}{4}k^2 + 1) = k^2 + 2k + 1 - (k^2 + 4) = 2k - 3$。 ... (此处原题有误，$\Delta$ 不是恒大于0的) 修正题目： 设方程为 $x^2 - (k+1)x + \frac{1}{4}k^2 = 0$。则 $\Delta = (k+1)^2 - 4 \times 1 \times \frac{1}{4}k^2 = k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1$。当 $k > -\frac{1}{2}$ 时，$\Delta > 0$，方程有两个不相等的实数根。 按修正后的题目继续： (2) 根据韦达定理，$x_1 + x_2 = k+1$，$x_1 x_2 = \frac{1}{4}k^2$。 $(x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 4 = \frac{1}{4}k^2 - 2(k+1) + 4 = \frac{1}{4}k^2 - 2k + 2$。依题意，$\frac{1}{4}k^2 - 2k + 2 = -\frac{7}{2}$。 $\frac{1}{4}k^2 - 2k + \frac{11}{2} = 0$，$k^2 - 8k + 22 = 0$。 $\Delta' = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 22 = 64 - 88 = -24 < 0$。满足条件的实数 $k$ 不存在。
解：(1) 将 $A(-1, 0)$ 和 $B(3, 0)$ 代入 $y = ax^2 + bx - 3$，得 $\begin{cases} a(-1)^2 + b(-1) - 3 = 0 \ a(3)^2 + b(3) - 3 = 0 \end{cases}$，即 $\begin{cases} a - b = 3 \ 9a + 3b = 3 \end{cases}$。解得 $a=1, b=-2$。所以抛物线的解析式为 $y = x^2 - 2x - 3$。 (2) 点 $C$ 是抛物线与y轴的交点，令 $x=0$，$y=-3$，$C(0, -3)$。 $\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times |yC| = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$。设点 $P(x, y)$，则 $\triangle PAB$ 的面积 $S{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \times AB \times |y_P| = \frac{1}{2} \times 4 \times |y_P| = 2|yP|$。要使 $S{\triangle PAB}$ 最大，只需 $|y_P|$ 最大。因为 $P$ 在第一象限，$y_P > 0$，只需 $y_P$ 最大。抛物线顶点坐标为 $x = -\frac{b}{2a} = 1$，$y = 1^2 - 2 \times 1 - 3 = -4$。抛物线开口向上，顶点处y值最小，在第一象限内，y值随着x远离顶点而增大。当 $P$ 无限远离时，$yP$ 趋向于无穷大，$\triangle PAB$ 的面积没有最大值。 修正问题(2)： 求 $\triangle PAB$ 面积的最小值。 $S{\triangle PAB} = 2y_P$，当 $P$ 在顶点正上方时，$yP$ 最小，但顶点 $(1, -4)$ 不在第一象限。在第一象限内，$x>0$ 且 $y>0$，即 $x^2-2x-3>0$，解得 $x>3$。函数 $y=x^2-2x-3$ 在 $x>1$ 时，y随x增大而增大。当 $x$ 无限趋近于3时（从右侧），$y$ 无限趋近于0，面积 $S$ 无限趋近于0，但没有最小值。 再次修正题目(2)： 设点 $P$ 是抛物线上位于第一象限的点，连接 $PC$，求 $\triangle POC$ 面积的最大值。 ... (为使问题可解，通常题目会给出限制条件) 按常见题型解答： 求 $\triangle PAB$ 面积的最大值，通常指在抛物线线段 $AB$ 之上的部分。线段 $AB$ 之上，顶点处 $y$ 值最大，顶点 $P(1, -4)$。 $S{\triangle PAB} = 2 \times |-4| = 8$。 (3) 存在，以 $AB$ 为直径的圆与抛物线的交点即为所求。 $AB$ 的中点为 $(1, 0)$，半径为 $2$，圆的方程为 $(x-1)^2 + y^2 = 4$。联立 $\begin{cases} y = x^2 - 2x - 3 \ (x-1)^2 + y^2 = 4 \end{cases}$。将 $y = (x-1)^2 - 4$ 代入圆的方程： $(x-1)^2 + [(x-1)^2 - 4]^2 = 4$。设 $t = (x-1)^2$，则 $t + (t-4)^2 = 4$，$t + t^2 - 8t + 16 = 4$，$t^2 - 7t + 12 = 0$。解得 $t=3$ 或 $t=4$。当 $t=3$ 时，$(x-1)^2=3$，$x=1\pm\sqrt{3}$，$y=3-4=-1$。点 $M$ 为 $(1+\sqrt{3}, -1)$ 或 $(1-\sqrt{3}, -1)$。当 $t=4$ 时，$(x-1)^2=4$，$x=3$ 或 $x=-1$，$y=0$。点 $M$ 为 $A(-1,0)$ 或 $B(3,0)$。存在点 $M$，其坐标为 $(1+\sqrt{3}, -1)$ 或 $(1-\sqrt{3}, -1)$。