七年级下册数学期末试题考点有哪些？

七年级下册数学期末考试模拟试题

（考试时间：120分钟 满分：120分）

选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 在平面直角坐标系中,点P(-2, 3)所在的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 下列计算正确的是 A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$ B. $(a^2)^3 = a^5$ C. $a^6 \div a^2 = a^3$ D. $(2a)^3 = 8a^3$

3. 下列调查中,适合采用普查方式的是 A. 调查全国中小学生每天的平均睡眠时间 B. 调查某批次灯泡的使用寿命 C. 调查你所在班级同学的视力情况 D. 调查市场上某种饮料的含糖量

4. 下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的是 A. $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$ B. $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ C. $a^2b - ab^2 = ab(a - b)$ D. $x^2 - 4x + 4 = x(x-4) + 4$

   
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5. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球,这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球，摸到红球的概率是 A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{2}{5}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{3}{2}$

6. 已知二元一次方程组 $\begin{cases} x + y = 5 \ x - y = 1 \end{cases}$ 的解是 $\begin{cases} x = a \ y = b \end{cases}$，则代数式 $a^2 - b^2$ 的值是 A. 1 B. 5 C. 9 D. 25

7. 下列命题中,是真命题的是 A. 互补的两个角一定相等 B. 同位角相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 有且只有一条直线与已知直线垂直

8. 将多项式 $mx^2 - m$ 因式分解，正确的结果是 A. $m(x^2 - 1)$ B. $m(x-1)(x+1)$ C. $(mx-1)(mx+1)$ D. $m(x-1)^2$

   
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9. 如图,直线 $l_1 \parallel l_2$，$\angle 1 = 50^\circ$，则 $\angle 2$ 的度数为

   A. $40^\circ$ B. $50^\circ$ C. $130^\circ$ D. $140^\circ$

10. 小明解关于 $x, y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases} 2x + y = 7 \ ax - by = 1 \end{cases}$ 时，正确地解得 $\begin{cases} x = 2 \ y = 3 \end{cases}$，由于看错了方程组中的第二个方程，他解得的错误结果是 $\begin{cases} x = 3 \ y = 5 \end{cases}$，则 $a, b$ 的值分别为 A. $a=1, b=2$ B. $a=2, b=1$ C. $a=3, b=2$ D. $a=2, b=3$

11. 若 $x^2 + kx + 9$ 是一个完全平方式，则常数 $k$ 的值是 A. 3 B. 6 C. $\pm 3$ D. $\pm 6$

12. 某商店将一件商品按成本价提高50%后标价，又以8折出售，结果每件仍获利20元，设这件商品的成本价为 $x$ 元，则根据题意可列方程为 A. $0.8(1+50\%)x = x - 20$ B. $0.8(1+50\%)x = x + 20$ C. $1.5x \cdot 0.8 = x - 20$ D. $1.5x \cdot 0.8 = x + 20$

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13. 在数轴上,点A表示的数是-3，点B与点A的距离是5，则点B表示的数是 __。

14. 计算：$(\pi - 2025)^0 + (-2)^{-2} = \underline{\quad\quad}$。

15. 已知 $x=2$ 是关于 $x$ 的方程 $3x-2a=7$ 的解，则 $a$ 的值是 __。

16. 如图,直线 $AB \parallel CD$，$\angle B = 40^\circ$，$\angle D = 25^\circ$，则 $\angle E$ 的度数为 __。

17. 一个布袋里装有2个红球和3个白球,这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 __。

18. 观察下列等式： $1^3 + 2^3 = 9 = 3^2$ $1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = 6^2$ $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = 10^2$ ... 根据你发现的规律，$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 8^3 = \underline{\quad\quad}$。

解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. （本题满分8分）计算： $(1) \quad (2a^2b)^3 \div (-8ab^2)$ $(2) \quad (x+2y)^2 - (x-2y)(x+2y)$

20. （本题满分8分）解方程组： $(1) \quad \begin{cases} 3x - y = 7 \ 5x + 2y = 8 \end{cases}$ $(2) \quad \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \ 2x + y = 17 \end{cases}$

21. （本题满分10分）先化简，再求值：$(a+2b)^2 - (a+2b)(a-2b)$，$a=1, b=-2$。

22. （本题满分10分）如图，已知 $\angle 1 = \angle 2$，$\angle B = \angle C$，求证：$AD \parallel BE$。

23. （本题满分10分）为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，某市计划种植一批树，由甲队单独完成需要10天，由乙队单独完成需要15天。 (1) 若两队合作，需要多少天才能完成？ (2) 若甲队先单独工作3天，然后剩下的工作由两队合作，还需要多少天才能完成？

24. （本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A(-2, 3)$，$B(-4, -1)$，$C(1, -2)$。 (1) 请在图中画出 $\triangle ABC$。 (2) 画出 $\triangle ABC$ $y$ 轴对称的 $\triangle A'B'C'$，并写出点 $A'$，$B'$，$C'$ 的坐标。 (3) 求 $\triangle ABC$ 的面积。

25. （本题满分10分）某校为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了部分学生，对他们平均每天课外阅读的时间（单位：分钟）进行了统计，并绘制成如下不完整的统计图表。

请根据提供的信息,解答下列问题： (1) 本次调查共抽取了多少名学生？ (2) 补全频数分布直方图。 (3) 如果该校共有2000名学生，请估计该校平均每天课外阅读时间在“30~60分钟”的学生大约有多少名？ (4) 如果要从这组数据中随机抽取一名学生，请估计该学生平均每天课外阅读时间在“60分钟以上”的概率。

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参考答案与解析

选择题

1. B (解析：横坐标为负，纵坐标为正，在第二象限。)
2. D (解析：A选项应为 $a^5$；B选项应为 $a^6$；C选项应为 $a^4$。)
3. C (解析：调查范围小，个体数量少，适合普查。)
4. C (解析：A是整式乘法，B和D都不是几个整式的积的形式。)
5. C (解析：$P(\text{红球}) = \frac{\text{红球数}}{\text{总球数}} = \frac{3}{5}$。)
6. B (解析：解方程组得 $x=3, y=2$，$a=3, b=2$。$a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5$。)
7. C (解析：A错误，如30°和150°互补但不等；B错误，需两直线平行；D错误，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。)
8. B (解析：$mx^2 - m = m(x^2 - 1) = m(x-1)(x+1)$。)
9. C (解析：由 $l_1 \parallel l_2$，得 $\angle 1 = \angle 3$（内错角相等）。$\angle 2$ 与 $\angle 3$ 是邻补角，$\angle 2 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$。)
10. A (解析：将正确解 $x=2, y=3$ 代入第一个方程 $2x+y=7$ 成立，代入第二个方程 $ax-by=1$，得 $2a-3b=1$，将错误解 $x=3, y=5$ 代入他看错的第二个方程（设为 $a'x-b'y=c'$），得 $3a'-5b'=c'$，由于他只看错了系数，常数项可能没变，也可能变了，更简单的方法是：他将 $x=2, y=3$ 代入他看错的方程，也应该成立，$3a'-5b'=2a-3b$，由于系数看错，最可能的是 $a'=a, b'=b$。$3a-5b=2a-3b$，解得 $a=2b$，代入 $2a-3b=1$，得 $4b-3b=1$，$b=1$，$a=2$。)
11. D (解析：$x^2 + kx + 9 = (x \pm 3)^2 = x^2 \pm 6x + 9$，$k = \pm 6$。)
12. D (解析：标价为 $x(1+50\%)$，售价为 $0.8 \times 1.5x$，成本为 $x$，利润为售价减去成本，即 $0.8 \times 1.5x - x = 20$。)

填空题 13. 2 或 -8 (解析：设点B的坐标为 $x$，则 $|x - (-3)| = 5$，即 $|x+3|=5$，$x+3=5$ 或 $x+3=-5$，解得 $x=2$ 或 $x=-8$。) 14. 1$\frac{1}{4}$ (解析：$(\pi - 2025)^0 = 1$，$(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$，所以原式 $= 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$。) 15. -1/2 (解析：将 $x=2$ 代入方程，$3(2) - 2a = 7$，$6 - 2a = 7$，$-2a = 1$，$a = -\frac{1}{2}$。) 16. 65° (解析：过点E作 $EF \parallel AB$，则 $EF \parallel CD$。$\angle B = \angle BEF$，$\angle FED = \angle D$。$\angle B + \angle D = \angle BEF + \angle FED = \angle BED$，即 $\angle E = 40^\circ + 25^\circ = 65^\circ$。) 17. 4/25 (解析：每次摸到红球的概率都是 $\frac{2}{5}$，因为有放回，所以两次独立。$P(\text{两次红}) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$。) 18. 1296 (解析：规律是 $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = (1+2+\dots+n)^2$。$1+2+\dots+8 = \frac{8(8+1)}{2} = 36$，所以原式 $= 36^2 = 1296$。)

解答题 19. (1) 解：$(2a^2b)^3 \div (-8ab^2)$ $= (8a^6b^3) \div (-8ab^2)$ $= -a^{6-1}b^{3-2}$ $= -a^5b$

(2) 解：$(x+2y)^2 - (x-2y)(x+2y)$
$= (x^2 + 4xy + 4y^2) - (x^2 - (2y)^2)$
$= x^2 + 4xy + 4y^2 - (x^2 - 4y^2)$
$= x^2 + 4xy + 4y^2 - x^2 + 4y^2$
$= 4xy + 8y^2$

20. (1) 解：$\begin{cases} 3x - y = 7 \quad (1) \ 5x + 2y = 8 \quad (2) \end{cases}$ 由(1)得，$y = 3x - 7$。 将 $y = 3x - 7$ 代入(2)： $5x + 2(3x - 7) = 8$ $5x + 6x - 14 = 8$ $11x = 22$ $x = 2$ 将 $x=2$ 代入 $y = 3x - 7$： $y = 3(2) - 7 = -1$ 所以方程组的解是 $\begin{cases} x = 2 \ y = -1 \end{cases}$。

    (2) 解：$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \quad (1) \ 2x + y = 17 \quad (2) \end{cases}$ 由(1) $\times 6$ 得，$3x - 2y = 6$ (3)。 由(2)得，$y = 17 - 2x$。 将 $y = 17 - 2x$ 代入(3)： $3x - 2(17 - 2x) = 6$ $3x - 34 + 4x = 6$ $7x = 40$ $x = \frac{40}{7}$ 将 $x = \frac{40}{7}$ 代入 $y = 17 - 2x$： $y = 17 - 2(\frac{40}{7}) = 17 - \frac{80}{7} = \frac{119}{7} - \frac{80}{7} = \frac{39}{7}$ 所以方程组的解是 $\begin{cases} x = \frac{40}{7} \ y = \frac{39}{7} \end{cases}$。

21. 解：$(a+2b)^2 - (a+2b)(a-2b)$ $= (a^2 + 4ab + 4b^2) - (a^2 - (2b)^2)$ $= a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2 + 4b^2$ $= 4ab + 8b^2$ 当 $a=1, b=-2$ 时， 原式 $= 4(1)(-2) + 8(-2)^2$ $= -8 + 8 \times 4$ $= -8 + 32$ $= 24$

22. 证明：$\because \angle 1 = \angle 2$ (已知) $\therefore AC \parallel DE$ (内错角相等，两直线平行) $\therefore \angle C = \angle DCE$ (两直线平行，内错角相等) 又 $\because \angle B = \angle C$ (已知) $\therefore \angle B = \angle DCE$ (等量代换) $\therefore AD \parallel BE$ (同位角相等，两直线平行)

23. 解：(1) 设甲队的工作效率为 $\frac{1}{10}$，乙队的工作效率为 $\frac{1}{15}$。 设两队合作需要 $x$ 天完成。 根据题意，得 $(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x = 1$。 解得：$\frac{5}{30}x = 1$，$\frac{1}{6}x = 1$，$x = 6$。 答：两队合作需要6天才能完成。

    (2) 甲队先单独工作3天，完成的工作量为 $3 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$。 剩余的工作量为 $1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$。 设两队合作还需要 $y$ 天完成。 根据题意，得 $(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})y = \frac{7}{10}$。 解得：$\frac{1}{6}y = \frac{7}{10}$，$y = \frac{7}{10} \times 6 = \frac{42}{10} = 4.2$。 答：还需要4.2天才能完成。

24. 解：(1) (作图略) (2) $\triangle A'B'C'$ 如图中所示。 点关于 $y$ 轴对称，横坐标相反，纵坐标不变。 $A(-2, 3)$ 的对称点为 $A'(2, 3)$。 $B(-4, -1)$ 的对称点为 $B'(4, -1)$。 $C(1, -2)$ 的对称点为 $C'(-1, -2)$。

    (3) 用割补法求面积。 $S{\triangle ABC} = S{\text{梯形 } ADBF} - S{\triangle ABD} - S{\triangle BFC} - S{\triangle AFC}$ ($D(-2, -1), F(1, -1)$) $S{\text{梯形 } ADBF} = \frac{1}{2} (AD + BF) \times DF = \frac{1}{2} (|3-(-1)| + |-1-(-1)|) \times |1-(-2)| = \frac{1}{2} (4 + 0) \times 3 = 6$ $S{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times BD = \frac{1}{2} \times 4 \times |-2-(-4)| = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ $S{\triangle BFC} = \frac{1}{2} \times FC \times BF = \frac{1}{2} \times |1-(-4)| \times 0 = 0$ $S_{\triangle AFC} = \frac{1}{2} \times AF \times FC = \frac{1}{2} \times |3-(-2)| \times |1-(-4)| = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5$ 这种方法计算复杂，易错。 换一种方法：以BC为底。 $BC = \sqrt{(-4-1)^2 + (-1-(-2))^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$，计算高更复杂。 使用坐标公式法： $S = \frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)|$ $S = \frac{1}{2} |-2(-1-(-2)) + (-4)(-2-3) + 1(3-(-1))|$ $= \frac{1}{2} |-2(1) + (-4)(-5) + 1(4)|$ $= \frac{1}{2} |-2 + 20 + 4|$ $= \frac{1}{2} \times 22$ $= 11$ 答：$\triangle ABC$ 的面积为11。

25. 解：(1) 阅读时间“0~30分钟”的人数为20人，占总体的20%。 所以总人数为 $20 \div 20\% = 100$（名）。 答：本次调查共抽取了100名学生。

    (2) “30~60分钟”的人数为 $100 \times 40\% = 40$（人）。 “60分钟以上”的人数为 $100 - 20 - 40 - 10 = 30$（人）。 补全直方图：（在“30~60分钟”的条形上画高到40，在“60分钟以上”的条形上画高到30）。

    (3) 估计该校平均每天课外阅读时间在“30~60分钟”的学生大约有 $2000 \times 40\% = 800$（名）。

    (4) 样本中“60分钟以上”的学生所占频率为 $30 \div 100 = 30\%$。 所以估计该学生平均每天课外阅读时间在“60分钟以上”的概率是0.3。