七年级上册数学有理数乘法怎么算？

校园之窗 2025年12月8日 20:27:08 99ANYc3cd6 1 0

核心法则：有理数乘法法则
一个特例：倒数
运算律：乘法的“好朋友”
综合运算：先乘除，后加减
典型例题与解析
常见误区与总结

核心法则：有理数乘法法则

这是本章的基石，必须牢记，有理数相乘，结果的符号由两数符号决定，结果的绝对值由两数绝对值相乘得到。

法则口诀： 同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数与0相乘，都得0。

（图片来源网络，侵删）

具体可以分为四种情况：

情况	示例	法则解释	结果
正 × 正	`(+5) × (+3)`	同号得正，绝对值相乘 `5×3=15`	`+15`
负 × 负	`(-5) × (-3)`	同号得正，绝对值相乘 `5×3=15`	`+15`
正 × 负	`(+5) × (-3)`	异号得负，绝对值相乘 `5×3=15`	`-15`
负 × 正	`(-5) × (+3)`	异号得负，绝对值相乘 `5×3=15`	`-15`
与0相乘	`5 × 0` 或 `(-5) × 0`	任何数与0相乘都得0	`0`

【理解与记忆】

为什么负负得正？ 这是最难理解的一点，我们可以从生活中的例子来理解。
- 例子1（温度）： 如果温度每天下降 -2℃（即上升2℃），那么3天后的温度变化是多少？计算：(-2) × 3 = -6（即下降了6℃），反过来看，如果温度每天上升 +2℃，那么3天前呢？3天前的温度比现在低，所以应该是 2 × (-3) = -6，再进一步，如果温度每天下降 -2℃（即上升2℃），那么3天前呢？3天前的温度比现在低，但现在每天是上升的，所以3天前应该是更低的温度，用 -2 表示每天的下降，-3 表示3天前，计算 (-2) × (-3) = +6，即3天前温度比现在低6℃,这个结果符合逻辑。
- 例子2（债务）： 欠5元，记作 -5，如果欠了3个人，总共欠了 (-5) × 3 = -15 元，反过来，如果别人欠我5元，记作 +5，如果3个人都欠我钱，我总共多了 5 × 3 = 15 元，如果我不欠别人钱，别人也不欠我钱，记作 0。(-5) 个人欠我 (-3) 元，这是什么意思？可以理解为“债务的抵消”或“方向的逆转”，结果变成了我拥有 15 元，即 (-5) × (-3) = 15。
- 数学规定： 为了保持数学体系的和谐与统一（比如分配律 a(b+c)=ab+ac 能够成立）,我们必须规定负负得正。

一个特例：倒数

定义： 如果两个数的乘积是1，那么我们称这两个数互为倒数。 a 的倒数是 1/a (a ≠ 0)。

要点：

（图片来源网络，侵删）

0没有倒数,因为任何数与0相乘都不可能等于1。
求倒数的方法：
- 分数： 直接将分子分母颠倒位置。-3/4 的倒数是 -4/3。
- 整数： 可以看作分母是1的分数。-5 的倒数是 -1/5。
- 小数： 先化成分数再求倒数。2 的倒数是 5。
倒数与符号： 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数,符号不变。

运算律：乘法的“好朋友”

在有理数运算中，我们小学学过的运算律依然适用,这让计算变得简便。

(1) 交换律

文字描述： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 公式： a × b = b × a 示例： (-5) × 6 = 6 × (-5) = -30

(2) 结合律

文字描述： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 公式： (a × b) × c = a × (b × c) 示例： (-1/2) × (-4) × 10 = [(-1/2) × (-4)] × 10 （先算前两个） = (2) × 10 = 20 = (-1/2) × [(-4) × 10] （先算后两个） = (-1/2) × (-40) = 20

(3) 分配律

文字描述： 一个数与两个数的和（或差）相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加（或相减）。 公式： a × (b + c) = a × b + a × c 示例： (-8) × (-3.5 + 1/2) = (-8) × (-3.5) + (-8) × (1/2) （利用分配律拆开） = 28 + (-4) = 24 （注意：分配律在有理数运算中非常强大，是简化计算的利器！）

（图片来源网络，侵删）

综合运算：先乘除，后加减

当一个算式里包含加、减、乘、除等多种运算时，要遵循以下运算顺序：

先算乘方（七年级下学期会学到，这里暂不考虑）。
再算乘除，乘除是同级运算，要从左到右依次计算。
最后算加减，加减是同级运算，要从左到右依次计算。
有括号，先算括号里面的，括号的顺序是：先小括号，再中括号 [ ]，最后大括号。

示例： 计算 (-10) + 5 × (-2) - (-8) ÷ 4 步骤：

先算乘除：
- 5 × (-2) = -10
- (-8) ÷ 4 = -2
将算式替换为结果：原式 = (-10) + (-10) - (-2)
再算加减（从左到右）：
- (-10) + (-10) = -20
- -20 - (-2) = -20 + 2 = -18
最终结果： -18

典型例题与解析

例1：计算 (-2) × (-3) × (-4)

解析： 这是一道连续乘法题。
- 先算前两个：(-2) × (-3) = 6 (同号得正)
- 再用结果乘以第三个：6 × (-4) = -24 (异号得负)
- 答案： -24

例2：计算 (-12) × (1/3 - 1/4 + 1/6)

解析： 括号内是分数加减，直接通分计算比较麻烦，观察发现，-12 是 3, 4, 6 的公倍数，利用分配律可以极大简化计算。
- 原式 = (-12) × (1/3) + (-12) × (-1/4) + (-12) × (1/6)
- = -4 + 3 + (-2)
- = -1 - 2
- = -3
- 答案： -3

例3：计算 (-5) × 0 × (-2025)

解析： 根据法则，任何数与0相乘都得0。
- 答案： 0

常见误区与总结

符号决定错误
- 错误示例： (-2) × 3 = 6 (误认为负正得正)
- 正确做法： 记住口诀“同号得正，异号得负”，负和正是异号,结果应为负。
- 正确答案： (-2) × 3 = -6
忽略运算顺序
- 错误示例： 2 + 3 × (-4) = 5 × (-4) = -20 (先算了加法)
- 正确做法： 先算乘除，后算加减。
- 正确答案： 2 + 3 × (-4) = 2 + (-12) = -10
分配律使用错误
- 错误示例： a × (b + c) = a × b + c (漏掉了乘 c)
- 正确做法： 分配律是分配到每一项,不能漏掉。
- 正确答案： a × (b + c) = a × b + a × c
混淆倒数与相反数
- 相反数： 和为0的两个数互为相反数。a 的相反数是 -a。
- 倒数： 积为1的两个数互为倒数。a 的倒数是 1/a (a≠0)。
- 示例： 3 的相反数是 -3，3 的倒数是 1/3。-3 的相反数是 3，-3 的倒数是 -1/3。