八年级上册数学计算题及答案
校园之窗 2025年12月7日 06:15:34 99ANYc3cd6
第一部分：实数运算
实数运算是八年级上册的基础，重点在于掌握平方根、立方根、零指数幂和负整数指数幂的运算规则。
典型例题 1：平方根与立方根混合运算
计算：√16 + ∛(-27) - (1/2)⁻¹
答案： 0
解析：
- 计算平方根：
√16 = 4(因为 4² = 16) - 计算立方根：
∛(-27) = -3(因为 (-3)³ = -27) - 计算负指数幂：
(1/2)⁻¹ = 2/1 = 2(一个数的负指数次方等于它的倒数的正指数次方) - 代入计算：
4 + (-3) - 2 = 4 - 3 - 2 = -1
典型例题 2：分母有理化
计算：(√3 + 1) / (√3 - 1)
答案： 2 + √3
解析：
分母有理化是指将分母中的根号去掉，方法是利用平方差公式 (a+b)(a-b) = a² - b²。
- 找到有理化因式：分母是
(√3 - 1)，它的有理化因式是(√3 + 1)。 - 分子分母同时乘以有理化因式：
[(√3 + 1) / (√3 - 1)] * [(√3 + 1) / (√3 + 1)] - 计算分子：
(√3 + 1)² = (√3)² + 2 * √3 * 1 + 1² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3 - 计算分母：
(√3)² - (1)² = 3 - 1 = 2 - 化简分数：
(4 + 2√3) / 2 = 4/2 + (2√3)/2 = 2 + √3
第二部分：整式乘除与因式分解
这部分是代数运算的核心,要求熟练掌握乘法公式和因式分解的各种方法。
典型例题 3：整式混合运算
计算：(2x - y)(3x + y) - (x + y)(x - y)
答案： 5x² - 2xy - 2y²
解析：
- 使用多项式乘法法则展开：
(2x - y)(3x + y) = 2x * 3x + 2x * y - y * 3x - y * y = 6x² + 2xy - 3xy - y² = 6x² - xy - y²(x + y)(x - y)是平方差公式，结果为x² - y²
- 将展开后的式子代入原式：
(6x² - xy - y²) - (x² - y²) - 去括号：
6x² - xy - y² - x² + y² - 合并同类项：
x²项：6x² - x² = 5x²xy项：-xyy²项：-y² + y² = 0
- 最终结果：
5x² - 2xy - 2y²
典型例题 4：综合因式分解
分解因式：3ax² - 6axy + 3ay²
答案： 3a(x - y)²
解析： 因式分解的步骤通常是“先提公因式，再用公式”。
- 找公因式：
- 系数：3, -6, 3 的最大公约数是 3。
- 字母部分：都含有
a。 - 所以公因式是
3a。
- 提取公因式：
3a(x² - 2xy + y²) - 观察括号内是否可以用公式：
x² - 2xy + y²是一个完全平方式，符合(a - b)² = a² - 2ab + b²的形式，a=x,b=y。 - 使用公式分解：
x² - 2xy + y² = (x - y)² - 写出最终结果：
3a(x - y)²
第三部分：分式运算
分式运算的关键是“通分”和“约分”,其运算规则与分数类似。
典型例题 5：分式的四则混合运算
计算：(a² - 4) / (a² - 4a + 4) ÷ (a + 2) / (a - 2)
答案： 1
解析： 分式乘除运算，通常先把分子分母因式分解,再进行约分。
- 将分子分母因式分解：
a² - 4是平方差公式：(a + 2)(a - 2)a² - 4a + 4是完全平方式：(a - 2)²
- 将原式替换为因式分解后的形式：
[(a + 2)(a - 2) / (a - 2)²] ÷ [(a + 2) / (a - 2)] - 将除法转换为乘法（乘以倒数）：
[(a + 2)(a - 2) / (a - 2)²] * [(a - 2) / (a + 2)] - 约分：
(a + 2)可以约掉。- 分子中的
(a - 2)和分母中的一个(a - 2)可以约掉。 - 剩下：
1 / (a - 2) * 1 / 1
- 计算结果：
1
第四部分：二次根式
二次根式的运算核心是化简和分母有理化。
典型例题 6：二次根式的化简与计算
计算：√12 + √(1/3) - 2√(27/3)
答案： -√3
解析：
- 将每个根号内的数化成最简形式：
√12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3√(1/3) = √1 / √3 = 1/√3，这里分母有根号，需要有理化：(1/√3) * (√3/√3) = √3 / 3√(27/3) = √9 = 3。2√(27/3) = 2 * 3 = 6
- 将化简后的式子代入原式：
2√3 + (√3 / 3) - 6 - 合并同类二次根式：
为了合并
2√3和√3 / 3，需要将2√3转换为分母为 3 的形式：2√3 = 6√3 / 36√3 / 3 + √3 / 3 = (6√3 + √3) / 3 = 7√3 / 3 - 写出最终结果：
(7√3 / 3) - 6
注意：上面的计算结果是 (7√3 / 3) - 6，这通常已经是最简形式，如果题目要求写成单一分数形式，可以通分：
(7√3 - 18) / 3,请根据题目具体要求作答。
第五部分：勾股定理及其逆定理
这部分计算通常结合几何图形，利用勾股定理 a² + b² = c² 来求解边长。
典型例题 7：利用勾股定理求长度
如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，求 AB 的长度。
A
*
/|
/ |
/ |
/ |
*----*
B C答案： 10
解析：
- 确认已知条件：
- △ABC 是直角三角形，直角在 C 点。
- 两条直角边
a = BC = 8，b = AC = 6。 - 斜边
c = AB是要求解的。
- 应用勾股定理：
AB² = AC² + BC² - 代入数值计算：
AB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 - 开平方求 AB：
AB = √100 = 10
希望这些例题和解析对你有帮助！在做计算题时,一定要做到：
- 概念清晰：牢记每个公式、法则的适用条件。
- 步骤规范：不要跳步，尤其是去括号、移项、合并同类项时容易出错。
- 细心检查：计算完成后，养成检查的好习惯，看看符号、数字、公式应用是否正确。
祝你学习进步！
