七年级下册数学检测题难度如何？

这份试卷涵盖了本学期核心知识点，包括相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组以及不等式与不等式组，题型多样，难度适中,适合作为单元测试或期末复习自测使用。

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七年级下册数学综合检测题

（考试时间：90分钟 满分：100分）

班级：__ 姓名：__ 分数：__

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选择题（每题3分，共24分）

1. 下列图形中，由∠1 = ∠2，能得到 AB ∥ CD 的是（ ）

   A.
   B.
   C.
   D.

2. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. ±3 C. -3 D. 81

   
   （图片来源网络，侵删）

3. 点P(-3, 5)关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. (3, 5) B. (-3, -5) C. (3, -5) D. (5, -3)

4. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. $\begin{cases} x + y = 5 \ xy = 6 \end{cases}$ B. $\begin{cases} x = 2 \ y + z = 4 \end{cases}$ C. $\begin{cases} x + y = 1 \ \frac{1}{x} + y = 2 \end{cases}$ D. $\begin{cases} 2x - y = 3 \ x + 2y = 5 \end{cases}$

5. 不等式 2x - 1 < 5 的最大整数解是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 若 $\begin{cases} x = 2 \ y = 1 \end{cases}$ 是方程组 $\begin{cases} ax + by = 7 \ bx + ay = 5 \end{cases}$ 的解，则 a 和 b 的值分别为（ ） A. a=2, b=1 B. a=1, b=2 C. a=2, b=3 D. a=3, b=2

   
   （图片来源网络，侵删）

7. 在平面直角坐标系中，点A(-2, 3)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 某校组织活动，共有100人参加，其中男生比女生多8人，设女生有x人，男生有y人，则列出的方程组是（ ） A. $\begin{cases} x + y = 100 \ y - x = 8 \end{cases}$ B. $\begin{cases} x + y = 100 \ x - y = 8 \end{cases}$ C. $\begin{cases} x - y = 100 \ y - x = 8 \end{cases}$ D. $\begin{cases} x + y = 8 \ y - x = 100 \end{cases}$

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填空题（每题3分，共24分）

9. 计算：$\sqrt{16} + \sqrt{(-4)^2} = \underline{\quad\quad}$。
10. 一个正数的两个平方根是3a-2和5-a，则这个数是 \underline{\quad\quad}。
11. 如图，直线a、b被直线c所截，若∠1 = 55°，∠2 = 125°，则a ∥ b，理由是 \underline{\quad\quad}。（填“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”）
12. 点M(4, -5)到x轴的距离是 \underline{\quad\quad}，到y轴的距离是 \underline{\quad\quad}。
13. 写出一个解为 $\begin{cases} x = 1 \ y = 2 \end{cases}$ 的二元一次方程：\underline{\quad\quad}。（答案不唯一）
14. 不等式组 $\begin{cases} x > 1 \ x < 3 \end{cases}$ 的解集是 \underline{\quad\quad}。
15. 若点P(a, a-2)在x轴上，则a的值为 \underline{\quad\quad}。
16. 某种商品进价是40元，标价是60元，为了促销，商店决定打折销售，但要保证利润不低于10%，那么最多可以打 \underline{\quad\quad} 折。（利润 = (售价 - 进价) / 进价）

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解答题（共52分）

(6分) 计算： $2\sqrt{12} - \sqrt{48} + \sqrt{3}$

(6分) 解方程组： $\begin{cases} 2x + y = 5 \ 3x - 2y = 4 \end{cases}$

(6分) 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。 $\begin{cases} 2x - 1 > x + 1 \ \frac{1}{2}x \leq 3 \end{cases}$

(8分) 如图，已知AD ∥ BC，∠B = 50°，∠BAD = ∠BAC，求∠C的度数。

（请在此处想象一个图形：AD和BC是两条平行线，AB是截线，点C在BC上，点D在AD上，AC是另一条线段，连接A和C。）

(8分) 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1, 4)，B(3, 1)，C(4, 3)。 (1) 画出△ABC。 (2) 画出△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁，并写出A₁, B₁, C₁的坐标。 (3) 求△ABC的面积。

(10分) 应用题。 某校组织学生去动物园参观，如果单独租用30座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用40座客车，则可少租1辆，且空出10个座位，问该校参加这次活动的学生有多少人？需要租用30座客车多少辆？

(8分) 探究与发现。 观察下列等式： $1^3 + 2^3 = 9 = 3^2 = (1+2)^2$ $1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$ $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = 10^2 = (1+2+3+4)^2$ ... (1) 请你根据以上规律，写出第五个等式。 (2) 猜想 $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3$ 的结果是什么？（用含有n的式子表示）

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参考答案及评分标准

选择题（每题3分，共24分）

1. B
2. A
3. A
4. D
5. C
6. C
7. B
8. A

填空题（每题3分，共24分）

9. 8
10. 25
11. 同旁内角互补，两直线平行
12. 5, 4
13. 答案不唯一，如：x + y = 3 或 2x - y = 0 等。
14. 1 < x < 3
15. 2
16. 5 （或85折）

解答题（共52分）

(6分) 解：$2\sqrt{12} - \sqrt{48} + \sqrt{3}$ $= 2 \times 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + \sqrt{3}$ $= 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + \sqrt{3}$ $= \sqrt{3}$

(6分) 解：$\begin{cases} 2x + y = 5 \quad (1) \ 3x - 2y = 4 \quad (2) \end{cases}$ 由(1)得，y = 5 - 2x。 将y = 5 - 2x代入(2)得： $3x - 2(5 - 2x) = 4$ $3x - 10 + 4x = 4$ $7x = 14$ $x = 2$ 将x = 2代入y = 5 - 2x得： $y = 5 - 2 \times 2 = 1$ 所以方程组的解是 $\begin{cases} x = 2 \ y = 1 \end{cases}$

(6分) 解：解不等式 2x - 1 > x + 1，得 x > 2。 解不等式 $\frac{1}{2}x \leq 3$，得 x ≤ 6。 不等式组的解集是 2 < x ≤ 6。 在数轴上表示为：

      --|-----|-----|-----|-----|--
          2     3     4     5     6
              <--[====]-->

（注意：2处是空心圆,6处是实心圆）

(8分) 解：因为 AD ∥ BC，∠BAD + ∠B = 180°。 又因为 ∠B = 50°，∠BAD = 180° - 50° = 130°。 因为 ∠BAD = ∠BAC，∠BAC = 130°。 因为 AD ∥ BC，∠C = ∠BAC = 130°。 （或利用“两直线平行，内错角相等”，由AD∥BC得∠C=∠DAC，再由∠BAD=∠BAC得出∠C=∠BAC=130°）

(8分) (1) 画图正确 (2分) (2) 画图正确 (2分) A₁(-1, 4), B₁(-3, 1), C₁(-4, 3) (2分) (3) S△ABC = 4×(4-1) - $\frac{1}{2}$×1×(4-1) - $\frac{1}{2}$×3×(4-1) - $\frac{1}{2}$×4×(1-3) = 12 - 1.5 - 4.5 + 6 = 12 或使用割补法：S△ABC = S矩形 - S△ABD - S△BEC - S△AFC = (4-1)×(4-1) - $\frac{1}{2}$×(4-1)×(4-1) - $\frac{1}{2}$×(4-3)×(4-1) - $\frac{1}{2}$×(3-1)×(4-3) = 9 - 4.5 - 1.5 - 1 = 2 (此法计算有误，请使用第一种方法或以下方法) 正确方法：使用坐标公式 S = $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ = $\frac{1}{2} |1(1-3) + 3(3-4) + 4(4-1)|$ = $\frac{1}{2} |1 \times (-2) + 3 \times (-1) + 4 \times 3|$ = $\frac{1}{2} |-2 - 3 + 12|$ = $\frac{1}{2} \times 7 = 3.5$ (此法也计算有误，请重新检查) 最稳妥的割补法： 以A(1,4), B(3,1), C(4,3)三点画图，可知面积为3.5。 或者使用底AB，高计算： AB = $\sqrt{(3-1)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ 计算点C到直线AB的距离较复杂。 最简单的方法是使用“鞋带公式”： S = $\frac{1}{2} |(1 \times 1 + 3 \times 3 + 4 \times 4) - (4 \times 3 + 1 \times 4 + 3 \times 1)|$ = $\frac{1}{2} |(1 + 9 + 16) - (12 + 4 + 3)|$ = $\frac{1}{2} |26 - 19|$ = $\frac{1}{2} \times 7 = 3.5$ △ABC的面积是3.5。 （注：此题计算容易出错,学生能使用一种正确方法得出结果即可）

(10分) 解：设需要租用30座客车x辆。 根据题意，学生人数为30x人。 租用40座客车需要 (x-1)辆，且空出10个座位，所以学生人数也可以表示为 40(x-1) - 10。 根据题意可列方程： $30x = 40(x - 1) - 10$ $30x = 40x - 40 - 10$ $30x = 40x - 50$ $-10x = -50$ $x = 5$ 学生人数为：$30 \times 5 = 150$ (人) 答：该校参加这次活动的学生有150人,需要租用30座客车5辆。

(8分) (1) 第五个等式是： $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 225 = 15^2 = (1+2+3+4+5)^2$ (4分) (2) 猜想：$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1+2+3+...+n)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ (4分)

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