八年级下册数学应用题怎么解？

校园之窗 2026年1月24日 13:51:29 99ANYc3cd6 1 0

一次函数

一次函数是八年级下册的重点和难点,应用题通常与行程问题、利润问题、方案选择等问题结合。

核心知识点

一般形式: y = kx + b (k ≠ 0)
k 的意义: 表示 y 随 x 的变化率（速度、单价等），k > 0，y 随 x 增大而增大；k < 0，y 随 x 增大而减小。
b 的意义: 表示自变量 x = 0 时，函数 y 的值（初始值、固定费用等）。
图像: 一条直线，k 是斜率，b 是直线与 y 轴的交点坐标。

典型例题 1：行程问题（分段函数）

问题：甲、乙两地相距 360 公里，一辆汽车从甲地开往乙地，行驶 2 小时后，距离乙地还有 300 公里，该汽车行驶到离乙地 120 公里处时，发现油箱快没油了，立即在加油站加油，加油用时 0.5 小时，之后，汽车以原速继续行驶，最终到达乙地。

（图片来源网络，侵删）

(1) 求这辆汽车加油前的平均速度。 (2) 求汽车从甲地出发到乙地所用的总时间 y（小时）与行驶时间 x（小时）之间的函数关系式（写出 x 的取值范围）。 (3) 汽车从出发到乙地共用了多少时间？

解题思路：

第一问：求速度，用“路程 ÷ 时间”，已知行驶了 2 小时，路程是 360 - 300 = 60 公里。
第二问：这是分段函数，需要根据汽车的运动状态（行驶、加油、行驶）来分段描述。
- 第一段（加油前）: 从出发到加油，加油点离乙地 120 公里，意味着已经行驶了 360 - 120 = 240 公里，所需时间为 240 / 速度。
- 第二段（加油时）: 时间固定增加了 0.5 小时，路程不变。
- 第三段（加油后）: 从加油站到乙地，行驶 120 公里，所需时间为 120 / 速度。
第三问：将总路程 360 公里代入函数关系式，或者分段计算时间再相加。

解答过程： (1) 汽车加油前的平均速度为：(360 - 300) ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 (公里/小时)。

(2) 汽车的速度为 30 公里/小时。

（图片来源网络，侵删）

第一段（0 ≤ x < t₁）: 行驶到加油站。行驶路程为 30x 公里。加油时，行驶了 360 - 120 = 240 公里。所需时间 t₁ = 240 ÷ 30 = 8 (小时)。当 0 ≤ x < 8 时，y = x。
第二段（x = 8）: 加油。时间增加了 0.5 小时。当 x = 8 时，y = 8 + 0.5 = 8.5 (小时)。
第三段（8 < x ≤ t₂）: 从加油站到乙地。剩余路程为 120 公里，所需时间为 120 ÷ 30 = 4 (小时)。从出发到结束的总时间 t₂ = 8 + 0.5 + 4 = 12.5 (小时)。当 8 < x ≤ 12.5 时，y = x + 0.5。

综上,函数关系式为： y = { x, (0 ≤ x < 8) x + 0.5, (8 < x ≤ 12.5) }

(3) 汽车从出发到乙地共用了 12.5 小时。

典型例题 2：方案选择问题

问题：某文具店出售 A、B 两种型号的钢笔，A 型钢笔每支进价 12 元，售价 15 元；B 型钢笔每支进价 18 元，售价 25 元，该店计划用不超过 1200 元的资金购进这两种钢笔共 80 支，且 A 型钢笔的数量不少于 B 型钢笔数量的 2 倍。

(1) 有几种进货方案？请写出所有进货方案。 (2) 如果销售完这 80 支钢笔，如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？

（图片来源网络，侵删）

解题思路：

第一问：设未知数，列不等式组求解，设购进 A 型钢笔 x 支，则 B 型钢笔 (80 - x) 支。
- 资金限制: 12x + 18(80 - x) ≤ 1200
- 数量限制: x ≥ 2(80 - x)
- 隐含条件: x ≥ 0 且 80 - x ≥ 0 解这个不等式组，求出 x 的整数解的个数，即为方案数。
第二问：建立利润函数，利润 = (A 的售价 - A 的进价) × A 的数量 + (B 的售价 - B 的进价) × B 的数量。
- 利润 P = (15 - 12)x + (25 - 18)(80 - x) = 3x + 7(80 - x) = 560 - 4x。
- 分析利润函数 P = 560 - 4x，因为 -4 < 0，P 随 x 的增大而减小。
- 要使利润最大,需要 x 取最小值，根据第一问的解集，取 x 的最小值即可。

解答过程： (1) 设购进 A 型钢笔 x 支，则购进 B 型钢笔 (80 - x) 支。根据题意，得： { 12x + 18(80 - x) ≤ 1200 { x ≥ 2(80 - x) { x ≥ 0 { 80 - x ≥ 0

化简不等式组： { 12x + 1440 - 18x ≤ 1200 => -6x ≤ -240 => x ≥ 40 { x ≥ 160 - 2x => 3x ≥ 160 => x ≥ 160/3 ≈ 53.33 { x ≥ 0 { x ≤ 80

取两个限制更强的条件,得到 33 ≤ x ≤ 80。因为 x 为整数，x 的取值范围为 54, 55, 56, ..., 80。进货方案有 80 - 54 + 1 = 27 种。

(2) 设总利润为 P 元。 P = (15 - 12)x + (25 - 18)(80 - x) = 3x + 560 - 7x = 560 - 4x。因为 k = -4 < 0，P 随 x 的增大而减小。要使利润 P 最大，x 应取最小值。根据(1)可知，x 的最小整数值为 54。 80 - x = 80 - 54 = 26 (支)。最大利润 P = 560 - 4 × 54 = 560 - 216 = 344 (元)。

答：购进 A 型钢笔 54 支，B 型钢笔 26 支时，获得最大利润，最大利润是 344 元。

勾股定理

主要应用于几何图形中,求线段长度、面积，解决实际生活中的距离问题（如 ladder problem, navigation problem）。

核心知识点

: 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则 a² + b² = c²，c 为斜边。
逆定理: 如果一个三角形的三边满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。
应用: 构造直角三角形是解题的关键。

典型例题 3：几何图形应用

问题：如图，在长方形 ABCD 中，AB = 8 cm，BC = 6 cm，点 P 是边 AB 上一动点，连接 PC，求线段 PC 的最小值。

(解题思路)：要求最小值，通常想到“垂线段最短”。

观察图形,PC 是斜边为 PC 的直角三角形的斜边。
我们需要让 PC 变短，PC 的长度取决于点 P 的位置。
当 PC 垂直于 AB 时，PC 最短，PC BC 的长度。
更通用的方法（利用勾股定理）:
1. 设 AP = x cm，则 BP = (8 - x) cm。
2. 在 Rt△BPC 中，根据勾股定理，PC² = PB² + BC²。
3. PC² = (8 - x)² + 6² = (8 - x)² + 36。
4. 要使 PC 最小，就要使 PC² 最小。
5. (8 - x)² 是一个非负数，当 8 - x = 0，即 x = 8 时，(8 - x)² 最小，为 0。
6. PC² 的最小值为 0 + 36 = 36。
7. PC 的最小值为 √36 = 6 cm。

解答过程：设 AP = x cm，则 BP = (8 - x) cm。在 Rt△BPC 中， PC² = PB² + BC² PC² = (8 - x)² + 6² PC² = (8 - x)² + 36

因为 (8 - x)² ≥ 0，所以当 8 - x = 0，即 x = 8 时，PC² 取得最小值。 PC² 的最小值为 0 + 36 = 36。 PC 的最小值为 √36 = 6 cm。

答：线段 PC 的最小值是 6 cm。

平行四边形

利用平行四边形的性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）来证明线段、角的关系，或计算边长、周长、面积。

核心知识点

性质: 对边平行、对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。
判定: 两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分。

典型例题 4：性质与判定应用

问题：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 AE = CF，连接 BE、DF。求证：四边形 BFDE 是平行四边形。

(解题思路)：

要证明一个四边形是平行四边形,有五种方法，选择哪一种取决于已知条件。
已知条件：ABCD 是平行四边形，AE = CF。
分析：
1. 从 ABCD 是平行四边形，可以得到 AD ∥ BC，AD = BC。
2. 又因为 E 在 AD 上，F 在 BC 上，AE ∥ CF。
3. 已知 AE = CF。
4. 由此可以得到一组对边 AE 和 CF 平行且相等。
5. 根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形”，可以证明 AECF 是平行四边形。
6. 但题目要证的是 BFDE，这个思路不对。
重新思考：
1. 从 ABCD 是平行四边形，可以得到 AD = BC，AD ∥ BC。
2. 因为 E 在 AD 上，F 在 BC 上，ED = AD - AE，BF = BC - CF。
3. 已知 AE = CF，且 AD = BC，ED = BF。
4. 又因为 AD ∥ BC，ED ∥ BF。
5. 现在我们得到了四边形 BFDE 中，ED ∥ BF 且 ED = BF。
6. 根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形”，可以证明 BFDE 是平行四边形。

解答过程：证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC，AD = BC。 (平行四边形的对边平行且相等)

∵ 点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上， ∴ ED = AD - AE， BF = BC - CF。 ∵ AD = BC， AE = CF， ∴ ED = BF。又∵ AD ∥ BC， ∴ ED ∥ BF。

∴ 四边形 BFDE 中，ED ∥ BF 且 ED = BF。 ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形。 (一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形)

数据的分析

主要涉及平均数、中位数、众数的计算和选择，以及方差、标准差的意义（波动大小）。

核心知识点

平均数: 反映数据的“平均水平”，受极端值影响较大。
中位数: 将数据排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数），不受极端值影响。
众数: 数据中出现次数最多的数。
方差/标准差: 衡量一组数据的“波动”或“离散”程度，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。

典型例题 5：统计量的应用

问题：为了选拔一名同学参加全校投篮比赛，甲、乙两位同学进行了 6 次预选赛，他们的成绩（单位：个/分钟）如下表：

次数	1	2	3	4	5	6
甲	7	8	6	8	7	8
乙	7	7	7	8	8	9

(1) 分别计算甲、乙成绩的平均数和方差。 (2) 如果学校规定，平均数高者参加比赛，谁去？如果学校规定，既要看平均数，也要看发挥的稳定性（方差小者稳定），谁去？

解题思路：

第一问：严格按照公式计算。
- 平均数 = (所有数据之和) / 数据个数。
- 方差 = [(每个数据 - 平均数)²之和] / 数据个数。
第二问：
- 只看平均数：比较计算出的两个平均数，大的去。
- 看平均数和稳定性：先比较平均数，如果平均数相同，再比较方差（方差小的稳定），如果平均数不同，通常优先选择平均数高的，即使其方差稍大一些（除非题目有特殊要求）。

解答过程： (1) 计算甲的平均数 x̄_甲： x̄_甲 = (7 + 8 + 6 + 8 + 7 + 8) / 6 = 44 / 6 ≈ 7.33 (个/分钟)

计算甲的方差 S²_甲： S²_甲 = [(7-7.33)² + (8-7.33)² + (6-7.33)² + (8-7.33)² + (7-7.33)² + (8-7.33)²] / 6 = [(-0.33)² + (0.67)² + (-1.33)² + (0.67)² + (-0.33)² + (0.67)²] / 6 = [0.1089 + 0.4489 + 1.7689 + 0.4489 + 0.1089 + 0.4489] / 6 = 3.3334 / 6 ≈ 0.56

计算乙的平均数 x̄_乙： x̄_乙 = (7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9) / 6 = 46 / 6 ≈ 7.67 (个/分钟)

计算乙的方差 S²_乙： S²_乙 = [(7-7.67)² + (7-7.67)² + (7-7.67)² + (8-7.67)² + (8-7.67)² + (9-7.67)²] / 6 = [(-0.67)² + (-0.67)² + (-0.67)² + (0.33)² + (0.33)² + (1.33)²] / 6 = [0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 0.1089 + 0.1089 + 1.7689] / 6 = 3.3334 / 6 ≈ 0.56

(2) 分析：