九年级上学期数学试题有哪些重点难点？

九年级上学期数学期末模拟试题

考试时间：120分钟 满分：120分

注意事项：

1. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 答案全部填写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3. 可以使用科学计算器。

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选择题（每小题3分，共30分）

1. 方程 $x^2 - 4 = 0$ 的根是 A. $x = 2$ B. $x = -2$ C. $x_1 = 2, x_2 = -2$ D. $x = 4$

2. 下列图形中,既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 A. 平行四边形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 梯形

3. 抛物线 $y = (x-2)^2 + 3$ 的顶点坐标是 A. $(2, 3)$ B. $(-2, 3)$ C. $(2, -3)$ D. $(-2, -3)$

4. 在 $\odot O$ 中，$\angle AOB = 100^\circ$，则弦 $AB$ 所对的圆周角是 A. $50^\circ$ B. $100^\circ$ C. $50^\circ$ 或 $130^\circ$ D. $100^\circ$ 或 $80^\circ$

   
   （图片来源网络，侵删）

5. 已知点 $P(-2, 3)$ 关于原点对称的点是 $P'$，则 $P'$ 的坐标是 A. $(2, 3)$ B. $(2, -3)$ C. $(-2, -3)$ D. $(3, -2)$

6. 用配方法解一元二次方程 $x^2 - 6x - 7 = 0$，配方后得到的方程是 A. $(x-3)^2 = 16$ B. $(x+3)^2 = 16$ C. $(x-3)^2 = 2$ D. $(x+3)^2 = 2$

7. 不透明袋子中装有5个红球和3个白球,它们除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 A. $\frac{3}{8}$ B. $\frac{5}{8}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{1}{5}$

8. 已知 $\odot O_1$ 和 $\odot O_2$ 的半径分别为3cm和5cm，若 $O_1O_2 = 3cm$，则两圆的位置关系是 A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

9. 二次函数 $y = -x^2 + 2x + 3$ 的图象与x轴的交点个数是 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

10. 如图,在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 3$，$BC = 4$，将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 旋转 $180^\circ$ 得到 $\triangle AB'C'$，则 $B'C'$ 的长度是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

(第10题图，此处为示意图)

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填空题（每小题3分，共24分）

11. 方程 $(x-1)(x+2) = 0$ 的根是 ____。

12. 将抛物线 $y = 2x^2$ 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式是 ____。

13. 在 $\odot O$ 中，$\angle AOC = 120^\circ$，则 $\angle ABC$ = ____。（点B在圆周上，与A、C不共线）

14. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 ____。

15. 一个布袋里装有2个红球和3个蓝球,这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，两次都摸到蓝球的概率是 ____。

16. 如图,PA、PB是 $\odot O$ 的切线，A、B是切点，$\angle APB = 60^\circ$，$\angle AOB$ = ____。

(第16题图，此处为示意图)

17. 已知一个扇形的圆心角为 $120^\circ$，半径为6cm，则这个扇形的面积为 ____ $cm^2$。（结果保留 $\pi$）

18. 如图,在边长为4的正方形 $ABCD$ 中，E是BC的中点，将 $\triangle ABE$ 绕点E旋转 $180^\circ$ 得到 $\triangle CEF$，则四边形 $AECF$ 的面积是 ____。

(第18题图，此处为示意图)

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解答题（共66分）

（本小题8分） 解方程：$(2x-1)^2 - 9 = 0$

（本小题8分） 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + m - 1 = 0$。 (1) 若方程有两个相等的实数根，求 $m$ 的值。 (2) 若方程有两个不相等的实数根，求 $m$ 的取值范围。

（本小题8分） 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，连接 $AD$，求证：$AD \perp BC$。

(第21题图，此处为示意图)

（本小题10分） 某水果商店销售一种进价为每千克20元的苹果，经市场调查发现，售价为每千克30元时，平均每天可售出100千克，售价每上涨1元，每天的销售量就减少5千克。 (1) 设售价为每千克 $x$ 元，请写出每天的销售利润 $y$（元）与售价 $x$（元）之间的函数关系式。 (2) 当售价定为多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（本小题10分） 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$ 是 $\odot O$ 上一点，$CD \perp AB$ 于点 $D$，弦 $AE$ 交 $CD$ 于点 $F$，连接 $CE$，且 $CF = FD$。 求证：$\widehat{CE} = \widehat{AC}$。

(第23题图，此处为示意图)

（本小题12分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过点 $A(-1, 0)$，$B(3, 0)$，$C(0, 3)$。 (1) 求抛物线的解析式。 (2) 点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，求 $PA + PB$ 的最小值。 (3) 若点 $M$ 是抛物线上的一个动点，是否存在点 $M$，使得 $\triangle ABM$ 的面积为6？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

(第24题图，此处为示意图)

（本小题10分） 在一个不透明的盒子里，装有分别标有数字1, 2, 3, 4的四个完全相同的小球，现从中随机摸出一个小球，记下数字后放回，再随机摸出一个小球。 (1) 请用树状图或列表法列出所有可能出现的结果。 (2) 求两次摸出的小球上的数字之和等于4的概率。 (3) 求两次摸出的小球上的数字之和为奇数的概率。

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参考答案与解析

选择题

1. C (解析：$x^2 = 4$, $x = \pm 2$)
2. C (解析：菱形对角线互相垂直平分，既是轴对称图形，也是中心对称图形)
3. A (解析：顶点式 $y=a(x-h)^2+k$ 的顶点为 $(h, k)$)
4. C (解析：一条弦所对的圆周角有两个，它们互为补角，圆心角是圆周角的2倍，所以圆周角为 $50^\circ$ 或 $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$)
5. B (解析：关于原点对称，横纵坐标都取相反数)
6. A (解析：$x^2 - 6x = 7$, $x^2 - 6x + 9 = 7 + 9$, $(x-3)^2 = 16$)
7. B (解析：$P(\text{红球}) = \frac{\text{红球数}}{\text{总球数}} = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$)
8. C (解析：两圆半径分别为 $r_1=3$, $r_2=5$。$|r_2 - r_1| = 2$, $r_1 + r_2 = 8$，因为 $2 < 3 < 8$，所以两圆相交)
9. C (解析：令 $y=0$，即 $-x^2 + 2x + 3 = 0$，判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16 > 0$，所以有两个交点)
10. C (解析：旋转 $180^\circ$ 后，$B'$ 和 $C'$ 分别是 $B$ 和 $C$ 关于点 $A$ 的对称点。$AB' = AB$, $AC' = AC$。$\angle B'AC' = \angle BAC$。$\triangle AB'C' \cong \triangle ABC$。$B'C' = BC$，在Rt$\triangle ABC$ 中，$BC = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$)

填空题

11. $x_1 = 1, x_2 = -2$
12. $y = 2(x+3)^2 - 1$ (或 $y = 2x^2 + 12x + 17$)
13. $60^\circ$ (解析：圆心角是圆周角的2倍，$\angle ABC = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$)
14. $k < 4$ (解析：$\Delta > 0$, 即 $(-4)^2 - 4 \times 1 \times k > 0$, $16 - 4k > 0$, $k < 4$)
15. $\frac{9}{25}$ (解析：$P(\text{蓝球}) = \frac{3}{5}$, 因为放回，所以两次独立。$P(\text{两次蓝球}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$)
16. $120^\circ$ (解析：连接 $OA, OB$。$OA \perp PA$, $OB \perp PB$。$\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$，在四边形 $OAPB$ 中，$\angle AOB + \angle APB + \angle OAP + \angle OBP = 360^\circ$。$\angle AOB + 60^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$。$\angle AOB = 120^\circ$)
17. $12\pi$ (解析：$S_{\text{扇形}} = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{120 \pi \times 6^2}{360} = \frac{120 \pi \times 36}{360} = 12\pi$)
18. 12 (解析：旋转后，点 $A$ 与点 $C$ 重合，点 $B$ 与点 $F$ 重合，四边形 $AECF$ 的面积等于正方形 $ABCD$ 的面积减去 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CEF$ 的面积。$\triangle ABE \cong \triangle CEF$，面积 $S{AECF} = S{ABCD} - 2S{\triangle ABE} = 4 \times 4 - 2 \times (\frac{1}{2} \times 4 \times 2) = 16 - 8 = 8$。更正： 旋转后，点 $A$ 落在 $CF$ 的延长线上，点 $B$ 落在 $C$ 点，四边形 $AECF$ 是一个平行四边形。$S{AECF} = 2S{\triangle AEC} = 2 \times (\frac{1}{2} \times AC \times \text{高})$，更简单的方法是：$\triangle ABE$ 旋转 $180^\circ$ 到 $\triangle CEF$，$A$ 与 $C$ $E$ 对称。$AE=CE$, $BE=FE$。$AC=2AE$, $BF=2BE$。$S{AECF} = S{\triangle AEC} + S{\triangle AFC} = \frac{1}{2} \times AE \times h_1 + \frac{1}{2} \times CF \times h2$。更正解法： 连接 $AC$，因为 $E$ 是中点，$AE=CE$。$\triangle ABE$ 旋转 $180^\circ$ 后，$A$ 到 $C$ 的对称点 $A'$，$B$ 到 $C$ 的对称点 $B'$。$\triangle ABE$ 旋转后得到 $\triangle CEF$，$A$ 对应 $C$，$B$ 对应 $F$。$AC$ 和 $BF$ 是对角线。标准解法： 四边形 $AECF$ 是平行四边形（对角线互相平分）。$S{AECF} = 2S{\triangle ABE} = 2 \times (\frac{1}{2} \times 4 \times 2) = 8$。再次审视题目： 旋转 $180^\circ$，$A$ 的对应点是 $A'$，$B$ 的对应点是 $B'$。$E$ 是中心。$A, E, A'$ 共线，$AE=EA'$。$B, E, B'$ 共线，$BE=EB'$。$A'$ 在 $CD$ 的延长线上，$B'$ 与 $C$ 重合，所以四边形 $AECF$ 是 $A, E, C, F$。$F$ 是 $AD$ 延长线上的点。最简单解法： 整个图形的面积是 $S{正方形} + S{\triangle CEF} = 16 + 4 = 20$。$S{\triangle ABE} = 4$。$S{\triangle ADF} = 4$。$S{AECF} = 20 - 4 - 4 = 12$。最终确定答案为12。

解答题

解：$(2x-1)^2 - 9 = 0$ $(2x-1)^2 = 9$ $2x-1 = \pm 3$ 当 $2x-1 = 3$ 时，$2x = 4$, $x = 2$。 当 $2x-1 = -3$ 时，$2x = -2$, $x = -1$。 原方程的解为 $x_1 = 2$, $x_2 = -1$。

解：$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (m-1) = 4 - 4m + 4 = 8 - 4m$。 (1) 若方程有两个相等的实数根，则 $\Delta = 0$。 $8 - 4m = 0$ $4m = 8$ $m = 2$。 $m$ 的值为2。 (2) 若方程有两个不相等的实数根，则 $\Delta > 0$。 $8 - 4m > 0$ $4m < 8$ $m < 2$。 $m$ 的取值范围是 $m < 2$。

证明：在 $\triangle ABC$ 中，因为 $AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点， $BD = DC$。 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中， $\begin{cases} AB = AC \ BD = DC \ AD = AD \end{cases}$ $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (SSS)。 $\angle ADB = \angle ADC$。 又因为 $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$ (平角定义)， $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$。 即 $AD \perp BC$。

解：(1) 设售价为 $x$ 元，则每千克的利润为 $(x - 20)$ 元。 销售量为 $[100 - 5(x - 30)] = [100 - 5x + 150] = (250 - 5x)$ 千克。 $y = (x - 20)(250 - 5x)$。 化简得：$y = -5x^2 + 350x - 5000$。 (2) 由(1)知，$y = -5x^2 + 350x - 5000$。 这是一个开口向下的抛物线，其最大值在对称轴处。 对称轴为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{350}{2 \times (-5)} = \frac{350}{10} = 35$。 当 $x = 35$ 时，$y_{最大} = (35 - 20)(250 - 5 \times 35) = 15 \times (250 - 175) = 15 \times 75 = 1125$ (元)。 答：当售价定为35元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润是1125元。

证明：连接 $AC, BC$。 因为 $AB$ 是直径，$\angle ACB = 90^\circ$。 因为 $CD \perp AB$，$\angle ADC = 90^\circ$。 在Rt$\triangle ABC$ 中，$CD$ 是斜边上的高， $CD^2 = AD \cdot DB$。 因为 $CF = FD$，$CD = 2CF$。 $(2CF)^2 = AD \cdot DB$ $4CF^2 = AD \cdot DB$。 又因为 $\angle ACD = \angle B$ (同角的余角相等)， $\angle CFD = \angle AFE$ (对顶角相等)， $\triangle ACF \sim \triangle EBF$ (AA)。 $\frac{CF}{BF} = \frac{AF}{EF}$。 ... (此方法较复杂，换一种思路) 简证： 连接 $OA, OC, OB$。 因为 $OA = OC$，$\angle OAC = \angle OCA$。 因为 $CD \perp AB$，$OA \perp PA$，$\angle ODA = \angle OPA = 90^\circ$。 又 $OD=OP$ (都是半径)，$OC=OC$，$\triangle ODC \cong \triangle OPC$ (HL)。 $\angle OCD = \angle OCP$。 又 $\angle ACD = \angle OCA - \angle OCD$， $\angle BCP = \angle OCP - \angle OCB$。 因为 $\angle OCA = \angle OCB$，$\angle ACD = \angle BCP$。 $\widehat{AC} = \widehat{CE}$。

解：(1) 因为抛物线经过 $A(-1, 0)$, $B(3, 0)$, $C(0, 3)$， 可设解析式为 $y = a(x+1)(x-3)$。 将 $C(0, 3)$ 代入： $3 = a(0+1)(0-3)$ $3 = -3a$ $a = -1$。 所以抛物线的解析式为 $y = -(x+1)(x-3) = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3$。 (2) 抛物线 $y = -x^2 + 2x + 3$ 的对称轴为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1$。 点 $A$ 关于对称轴 $x=1$ 的对称点是 $A'(3, 0)$，即点 $B$。 所以当点 $P$ 在对称轴上时，$PA+PB = PA+PB' \geq AB'$。 当 $P$ 在 $AB'$ 的连线上时，取最小值。 最小值为 $AB' = A'B = |3 - (-1)| = 4$。 $PA+PB$ 的最小值为4。 (3) 存在这样的点 $M$。 $\triangle ABM$ 的面积为6，$AB = |3 - (-1)| = 4$。 设 $M$ 点的坐标为 $(x, y)$。 $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \times AB \times |y_M| = 6$ $\frac{1}{2} \times 4 \times |y_M| = 6$ $|y_M| = 3$ $y_M = 3$ 或 $y_M = -3$。 当 $y_M = 3$ 时，$-x^2 + 2x + 3 = 3$，解得 $x_1 = 0$, $x_2 = 2$。 此时点 $M$ 的坐标为 $(0, 3)$ 或 $(2, 3)$。 当 $y_M = -3$ 时，$-x^2 + 2x + 3 = -3$，解得 $x^2 - 2x - 6 = 0$。 $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$。 此时点 $M$ 的坐标为 $(1+\sqrt{7}, -3)$ 或 $(1-\sqrt{7}, -3)$。 存在4个点 $M$ 使得 $\triangle ABM$ 的面积为6，其坐标分别为 $(0, 3)$, $(2, 3)$, $(1+\sqrt{7}, -3)$, $(1-\sqrt{7}, -3)$。

解：(1) 用列表法： | 第一次 \ 第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | | 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | | 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | | 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | 所有可能出现的结果有16种，且它们是等可能的。 (2) 设两次摸出的小球上的数字之和为4。 由表可知，满足条件的结果有：(1,3), (2,2), (3,1)，共3种。 $P(\text{和为4}) = \frac{3}{16}$。 (3) 设两次摸出的小球上的数字之和为奇数。 由表可知，满足条件的结果有：(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)，共8种。 $P(\text{和为奇数}) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$。