九年级期末数学测试题重点难点解析？

校园之窗 2026年1月14日 20:48:53 99ANYc3cd6 1 0

这份试题涵盖了人教版九年级上册的核心知识点，包括一元二次方程、二次函数、圆、投影与视图等，题型全面，难度适中，既有基础题，也有综合应用题和压轴题,旨在帮助学生全面复习和检验学习成果。

九年级数学上册期末测试题

考试时间： 120分钟 满分： 120分

注意事项：

本试卷共三大题,23小题。
答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
答案全部填写在答题卡上,写在试卷上无效。
做题时，请仔细审题，认真答卷,保持卷面整洁。

选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

方程 $(x-1)^2 = 4$ 的根是 A. $x_1 = 3, x_2 = -1$ B. $x_1 = 3, x_2 = 1$ C. $x_1 = -3, x_2 = 1$ D. $x_1 = -3, x_2 = -1$
下列函数中，是二次函数的是 A. $y = 2x-1$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = 3x^2 + 1$ D. $y = (x+1)^2$
抛物线 $y = (x-2)^2 + 3$ 的顶点坐标是 A. $(2, 3)$ B. $(-2, 3)$ C. $(2, -3)$ D. $(-2, -3)$
在半径为5的⊙O中，弦AB的长为8，则圆心O到弦AB的距离为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，则点P与⊙O的位置关系是 A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O内 C. 点P在⊙O外 D. 无法确定
一个不透明的袋子里装有5个红球和3个白球，它们除颜色外其他完全相同，随机摸出一个球，摸到红球的概率是 A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{3}{5}$ C. $\frac{5}{8}$ D. $\frac{1}{2}$
用配方法解一元二次方程 $x^2 - 4x - 1 = 0$ 时，配方正确的是 A. $(x-2)^2 = 5$ B. $(x-2)^2 = 3$ C. $(x+2)^2 = 5$ D. $(x+2)^2 = 3$
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 等腰梯形
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠AOC = 50°，则∠B的度数为

A. 25°
B. 40°
C. 50°
D. 65°

如图，△ABC在灯光P的照射下，在墙上形成影子△A'B'C'，已知AB = 2m，A'B' = 6m，PP' = 3m，则灯泡P到地面的距离PC为

A. 3m
B. 4.5m
C. 6m
D. 9m

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

方程 $x^2 - 3x = 0$ 的解是 ____。
二次函数 $y = x^2 - 6x + 5$ 的顶点坐标是 ____。
在⊙O中，已知圆心角∠AOB = 100°，那么圆周角∠ACB的度数是 ____。
已知圆锥的底面半径为3，高为4，则这个圆锥的母线长为 ____。
若关于x的一元二次方程 $x^2 - 2x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ____。
如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若∠P = 60°，PA = 8，则⊙O的半径为 ____。

解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（本题8分）解方程：$2x^2 - 4x - 1 = 0$。
（本题8分）先化简，再求值：$(\frac{a}{a-2} - \frac{4}{a^2-4a+4}) \div \frac{a^2-2a}{a-2}$，$a = \sqrt{2} + 1$。
（本题10分）已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$。 (1) 求该函数图象的顶点坐标和对称轴。 (2) 求该函数图象与x轴的交点坐标。 (3) 画出这个函数的大致图象。
（本题10分）某商店购进一批单价为20元的商品，如果以每件30元出售，那么每天可卖出100件，根据销售经验，售价每提高1元，销售量就减少5件，设售价为x元，每天的利润为y元。 (1) 求y与x之间的函数关系式。 (2) 当售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
（本题12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC、BC。 (1) 求证：$\triangle{ACB}$ 是直角三角形。 (2) 若AB = 10，CD = 8,求线段AE的长。

（本题12分）如图，在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E。 (1) 求证：∠ADB = 90°。 (2) 若BD = 3，BC = 6，求⊙O的半径。

（本题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过点A(-1, 0)，B(3, 0)，C(0, 3)。 (1) 求抛物线的解析式。 (2) 点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得以点A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由。

参考答案与解析

选择题

A (解析：开方得 $x-1 = \pm 2$，$x = 1 \pm 2$。)
C (解析：形如 $y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 的函数是二次函数。)
A (解析：顶点式 $y=a(x-h)^2+k$ 的顶点是 $(h, k)$。)
A (解析：连接OA，利用垂径定理和勾股定理，$d = \sqrt{5^2 - (\frac{8}{2})^2} = 3$。)
C (解析：点P到圆心距离 > 半径，点在圆外。)
C (解析：$P(\text{红球}) = \frac{\text{红球数}}{\text{总球数}} = \frac{5}{8}$。)
A (解析：$x^2 - 4x = 1$，$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$，$(x-2)^2 = 5$。)
C (解析：菱形对角线互相垂直平分，既是轴对称图形又是中心对称图形。)
A (解析：直径所对的圆周角是直角，ACB=90°，根据圆心角与圆周角的关系，∠B = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2} \times 50° = 25°$。)
B (解析：△PAB∽△PA'B'。$\frac{PP'}{PC} = \frac{AB}{A'B'}$，即 $\frac{3}{PC-3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$，解得 $PC-3 = 9$，$PC = 12$，灯泡到地面的距离是 $PP' + PC' = 3 + 9 = 12$？不对，应该是 $\frac{PP'}{PC} = \frac{AB}{A'B'}$，设灯泡P到地面的距离为h，则 $\frac{3}{h} = \frac{2}{6}$，解得 $h = 9$，这个图示可能有歧义，通常指灯泡到物体的距离，重新理解：$\frac{灯高-影高}{灯高} = \frac{物高}{影高}$，即 $\frac{h-3}{h} = \frac{2}{6}$，解得 $h = 4.5$，这个更合理，所以选B。)

填空题

$x_1 = 0, x_2 = 3$ (解析：因式分解 $x(x-3) = 0$。)
$(3, -4)$ (解析：顶点坐标公式 $(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$ 或配方法。)
$50°$ 或 $130°$ (解析：同弧所对的圆周角相等，或互补，点C可能在优弧上，也可能在劣弧上。)
5 (解析：圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。)
$k < 1$ (解析：判别式 $\Delta > 0$，即 $(-2)^2 - 4 \times 1 \times k > 0$，解得 $k < 1$。)
$4\sqrt{3}$ (解析：连接OA、OB，PA、PB是切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB。∠AOB = 180° - ∠P = 120°。△OAP≌△OBP，APO = 30°，在Rt△OAP中，$OA = PA \cdot \tan(\angle APO) = 8 \cdot \tan(30°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$，哦，计算错了，应该是 $OA = PA \cdot \sin(\angle APO) = 8 \cdot \sin(30°) = 4$，或者用 $\tan(\angle APO) = \frac{OA}{PA}$，$\tan(30°) = \frac{OA}{8}$，$OA = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$，这里我搞混了，应该是 $OA = PA \cdot \tan(\angle APO)$ 吗？不对，$\tan(\angle APO) = \frac{OA}{PA}$，$OA = PA \cdot \tan(\angle APO) = 8 \cdot \tan(30°) = \frac{8\sqrt{3}}{3}$，这个结果有点复杂，再检查，在Rt△OAP中，$\angle APO = 30°$，斜边是OP。$OA = OP \cdot \sin(30°)$，$PA = OP \cdot \cos(30°)$。$OA = PA \cdot \tan(30°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$，这个答案是对的。)

解答题

解： $a = 2, b = -4, c = -1$ $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 16 + 8 = 24$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$ 所以方程的解是 $x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}, x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$。
解：原式 $= (\frac{a}{a-2} - \frac{4}{(a-2)^2}) \div \frac{a(a-2)}{a-2}$ $= (\frac{a(a-2)}{(a-2)^2} - \frac{4}{(a-2)^2}) \div \frac{a(a-2)}{a-2}$ $= \frac{a^2 - 2a - 4}{(a-2)^2} \div \frac{a(a-2)}{a-2}$ $= \frac{a^2 - 2a - 4}{(a-2)^2} \times \frac{a-2}{a(a-2)}$ $= \frac{a^2 - 2a - 4}{a(a-2)}$ 当 $a = \sqrt{2} + 1$ 时，原式 $= \frac{(\sqrt{2}+1)^2 - 2(\sqrt{2}+1) - 4}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1-2)}$ $= \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{2} - 2 - 4}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$ $= \frac{-3}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$ $= \frac{-3}{2-1} = -3$
解： (1) $y = x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$ 顶点坐标为 $(1, -4)$，对称轴是直线 $x = 1$。 (2) 令 $y = 0$，则 $x^2 - 2x - 3 = 0$。 $(x-3)(x+1) = 0$ $x_1 = 3, x_2 = -1$ 所以与x轴的交点坐标为 $(-1, 0)$ 和 $(3, 0)$。 (3) 图象略（开口向上的抛物线，顶点在(1,-4)，经过(-1,0)和(3,0)）。
解： (1) 销售量为 $(100 - 5(x-30)) = (250 - 5x)$ 件。利润 $y = (x-20)(250-5x) = -5x^2 + 350x - 5000$。 (2) $y = -5(x^2 - 70x) - 5000 = -5(x^2 - 70x + 1225 - 1225) - 5000$ $= -5(x-35)^2 + 6125 - 5000 = -5(x-35)^2 + 1125$ 因为 $a = -5 < 0$，所以当 $x = 35$ 时，y有最大值。最大利润为 $y = 1125$ 元。答：当售价定为35元时，每天的利润最大,最大利润是1125元。
解： (1) 证明： 因为AB是直径，$\angle ACB = 90°$。 $\triangle ACB$ 是直角三角形。 (2) 连接OC。因为CD⊥AB，E为垂足，根据垂径定理，AE = BE。因为AB = 10，$AE = \frac{1}{2}AB = 5$。在Rt△OCE中，$OC = \frac{1}{2}AB = 5$，$CE = \frac{1}{2}CD = 4$。 $OE = \sqrt{OC^2 - CE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。因为AE = 5，OE = 3，$AE = 5$。 (注：第(2)问问的是AE，AE就是半径，直接等于5，计算OE是多余的，如果问题是求CE，那才需要OE，题目问AE，直接由垂径定理得AE=BE=5。)
解： (1) 证明： 连接AD。因为AB是直径，$\angle ADB = 90°$。 (2) 因为 $\angle ADB = 90°$，AD⊥BC。又因为 AB = AC，AD是BC的垂直平分线。 $CD = BD = 3$。在Rt△ABD中，$BD = 3$，$AB^2 = AD^2 + BD^2$。 $AD^2 = AB^2 - BD^2$。在Rt△ADC中，$CD = 3$，$AC^2 = AD^2 + CD^2$。因为 $AB = AC$，$AD^2 + BD^2 = AD^2 + CD^2$，这恒成立，说明需要别的方法。由(1)知AD⊥BC，且BD=DC=3。在Rt△ABD中，设半径为r，则 $AB = 2r$。 $AD^2 = AB^2 - BD^2 = (2r)^2 - 3^2 = 4r^2 - 9$。在Rt△ADC中，$AC = AB = 2r$，$CD = 3$。 $AD^2 = AC^2 - CD^2 = (2r)^2 - 3^2 = 4r^2 - 9$。这又回到了原点，换一种思路：相似。 $\triangle ABD \sim \triangle CAD$。 $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AD}$。因为 $AB = AC$，$\frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AD}$，即 $AD^2 = BD \cdot CD$。 $AD^2 = 3 \times 3 = 9$，$AD = 3$。在Rt△ABD中，$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 3^2 + 3^2 = 18$。 $AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。 O的半径为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
解： (1) 因为抛物线经过点A(-1, 0)，B(3, 0)，C(0, 3)。设解析式为 $y = a(x+1)(x-3)$。将C(0, 3)代入：$3 = a(0+1)(0-3) = -3a$。解得 $a = -1$。所以解析式为 $y = -(x+1)(x-3) = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3$。 (2) 抛物线的对称轴是直线 $x = \frac{-1+3}{2} = 1$。设点P的坐标为 $(1, m)$。情况一：$PA = PB$，因为A、B关于x=1对称，所以对称轴上任意一点P都满足PA=PB，所以所有P都符合。情况二：$PA = AB$。 $AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (0-0)^2} = 4$。 $\sqrt{(1 - (-1))^2 + (m - 0)^2} = 4$。 $\sqrt{4 + m^2} = 4$。 $4 + m^2 = 16$。 $m^2 = 12$。 $m = \pm 2\sqrt{3}$。此时P的坐标为 $(1, 2\sqrt{3})$ 或 $(1, -2\sqrt{3})$。情况三：$PB = AB$。 $\sqrt{(1 - 3)^2 + (m - 0)^2} = 4$。 $\sqrt{4 + m^2} = 4$。同理，$m = \pm 2\sqrt{3}$。此时P的坐标为 $(1, 2\sqrt{3})$ 或 $(1, -2\sqrt{3})$。情况四：$PA = PB$ 的情况已经包含。综上，存在这样的点P，其坐标为 $(1, 2\sqrt{3})$，$(1, -2\sqrt{3})$，以及对称轴上所有使PA=PB的点（即整条直线x=1），但题目问的是“点P”，通常指具体的点，更严谨的答案是：存在这样的点P，P的坐标为 $(1, 2\sqrt{3})$ 或 $(1, -2\sqrt{3})$。 (注：当P在对称轴上时，PA=PB恒成立，ABP是等腰三角形（PA=PB），当P不在A、B时，它总是等腰三角形，所以题目可能意指PA=PB=AB这种特殊情况，如果理解为“存在点P使得△ABP是等腰三角形”，那么答案是整个对称轴，如果理解为“存在点P使得△ABP是等腰三角形且PA≠PB”，那么答案是$(1, \pm 2\sqrt{3})$，这里按通常的考试要求，理解为寻找特殊的P点。)