八年级三角形全等试题怎么解？

八年级数学《三角形全等》单元测试卷

班级： __ 姓名： __ 分数： __

选择题（每题3分，共24分）

1. 下列图形中,一定全等的是 A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个面积相等的三角形 D. 两个能够完全重合的三角形

2. 如图,已知∠1 = ∠2，要使△ABC ≌ △ADE，还需添加一个条件，下列条件中不正确的是

A. AB = AD
B. AC = AE
C. BC = DE
D. ∠B = ∠D

3. 下列说法错误的是 A. 全等三角形的对应边相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等

4. 如图,点E、F在BC上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠D，下面结论中不正确的是

A. △ABE ≌ △DCF
B. AF = DE
C. AF ∥ DE
D. ∠AFE = ∠DEF

5. 在△ABC和△A'B'C'中，AB = A'B'，AC = A'C'，要判定△ABC ≌ △A'B'C'，还需要添加的条件是 A. ∠B = ∠B' B. ∠A = ∠A' C. BC = B'C' D. 以上都可以

6. 如图,将△ABC沿BC边所在的直线平移得到△DEF，下列结论中错误的是

A. AB ∥ DE
B. ∠B = ∠E
C. AB = DE
D. AC = DF

如图,在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB于点D，AC = 4，BC = 3，则CD的长为

A. 2.4
B. 12
C. 5
D. 2.5

如图,AD是△ABC的角平分线，DE ⊥ AB于点E，DF ⊥ AC于点F，下列结论不一定成立的是

A. DE = DF
B. AE = AF
C. AD垂直平分EF
D. ∠ADE = ∠ADF

填空题（每题3分，共24分）

9. 已知△ABC ≌ △DEF，且△ABC的周长为12cm，AB = 3cm，BC = 5cm，则EF = ____ cm。

10. 如图,AC = BD，要证明△ABC ≌ △BAD，可以添加的一个条件是 ____。（只需填写一个）

11. 在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，∠B = ∠E，再添加一个条件 ____ 或 ____，就可以证明△ABC ≌ △DEF。（只需填写一种情况）

12. 如图,在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB = 5，AC = 9，则AD的取值范围是 ____。

13. 如图,点B、F、C、E在同一条直线上，FB = CE，AB ∥ ED，要添加一个条件 ____，就可以证明△ABC ≌ △DEF。（只需填写一个）

14. 如图,∠E = ∠F = 90°，∠B = ∠C，AB = CD，则AE = ____。（用含CF的式子表示）

15. 如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，若AC = 5，BC = 12，则AD = ____。

16. 如图,在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是BC边上的中线，过点C作CE ⊥ AD，垂足为E，交AB于点F，则线段AF与FB的数量关系是 ____。

解答题（共52分）

(8分) 如图，已知点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，∠A = ∠D，AE = DF，求证：EC = FB。

(10分) 如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE ⊥ AB于E，DF ⊥ AC于F，求证： (1) AE = AF； (2) AD垂直平分EF。

(10分) 如图，在四边形ABCD中，AB = AD，CB = CD，E是AC上任意一点，求证：∠AEB = ∠AED。

(12分) 如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，D是BC边的中点，过点D作DE ⊥ AB于E，过点B作BF ∥ AC，交DE的延长线于F。 (1) 求证：△BDF ≌ △ACD； (2) 若BC = 10，求线段EF的长度。

(12分) 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，直线MN经过点C，且AM ⊥ MN于M，BN ⊥ MN于N。 (1) 求证：△AMC ≌ △CNB； (2) 当直线MN绕点C旋转到图②的位置时（AM ⊥ MN，BN ⊥ MN），其余条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

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参考答案与解析

选择题

1. D (解析：全等图形的定义是能够完全重合的图形。)
2. C (解析：已知∠1=∠2，即∠BAC=∠DAE，A选项用SAS；B选项用SAS；D选项用ASA，而C选项BC=DE，是SSA，不能作为判定全等的依据。)
3. C (解析：面积相等只能说明两个三角形形状或大小可能不同，不能保证全等。)
4. D (解析：由BE=CF可得BF=DE，结合AB=DC，∠B=∠D，可证△ABF ≌ △DCE(SAS)，从而得到AF=DE，∠AFB=∠DEC，所以AF ∥ DE，但∠AFE和∠DEF是内错角，由AF ∥ DE只能推出∠AFE=∠DEF，不能推出∠AFE=∠DEF。)
5. D (解析：A选项用SAS；B选项用SAS；C选项用SSS，所以任意一个都可以。)
6. B (解析：平变换不改变图形的形状和大小，所以对应角相等，对应边相等，对应边平行。∠B和∠E是平移前后的对应角，应该相等。)
7. A (解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB = 5，由面积法，S△ABC = 1/2 AC BC = 1/2 AB CD，1/2 4 3 = 1/2 5 CD，解得CD = 12/5 = 2.4。)
8. C (解析：由角平分线性质定理得DE=DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，斜边AD公用，DE=DF，所以Rt△ADE ≌ Rt△ADF(HL)，从而得到AE=AF，∠ADE=∠ADF，因为AE=AF，D是顶点，所以AD是EF的垂直平分线，但题目说“不一定成立”，因为“垂直平分”需要两个条件：垂直和平分，我们已经证明了AD平分EF（AE=AF），但还需要证明AD⊥EF，这需要额外的条件，A是直角，AD垂直平分EF”在一般情况下不一定成立。)

填空题 9. 4 (解析：周长AB+BC+AC = 12，所以AC = 4，因为△ABC ≌ △DEF，所以对应边相等，根据对应关系，EF = AC = 4。) 10. ∠CAB = ∠BDA 或 AC = BD (解析：已知AB=BA（公共边），AB=CD，AC=BD，若添加∠CAB=∠BDA，则用SAS；若添加AC=BD，则用SSS。) 11. BC = EF 或 ∠C = ∠F (解析：已知AB=DE，∠B=∠E，若添加BC=EF，则用SAS；若添加∠C=∠F，则用ASA。) 12. 2 < AD < 7 (解析：根据三角形三边关系，在△ABD中，|AB-AD| < BD < AB+AD，因为AD是中线，所以BD = DC = BC/2，在△ABC中，|AC-AB| < BC < AC+AB，即 |9-5| < BC < 9+5，4 < BC < 14，2 < BD < 7，代入不等式得 |5-AD| < BD < 5+AD，因为BD>2，所以AD < BD+5 < 7+5=12，因为BD<7，所以AD > BD-5 > 2-5=-3，这没有给出明确范围，正确做法是：在△ABD中，AB+BD > AD；在△ADC中，AC+DC > AD，因为BD=DC，AD < AB+BD，AD < AC+BD，又因为 |AB-AC| < BC，即 |5-9| < 2BD，4 < 2BD，BD > 2，AD < AC+BD = 9+BD。 AD < AB+BD = 5+BD，这依然不够，正确思路是利用中线公式或构造辅助线，构造辅助线：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，易证△ADC ≌ △EDB(SAS)，所以BE=AC=9，在△ABE中，根据三边关系，AB+BE > AE，即 5+9 > 2AD，AD < 7，AB+AE > BE，即 5+2AD > 9，AD > 2，2 < AD < 7。) 13. ∠B = ∠E 或 AC = DF (解析：已知FB=CE，所以BC=EF，AB ∥ ED，可得∠B = ∠E（内错角），若添加∠B=∠E，则用SAS；若添加AC=DF，则用SSS。) 14. CF (解析：在△ABE和△CDF中，∠A = ∠C = 45°，∠AEB = ∠CFD = 90°，AB = CD，ABE ≌ △CDF(AAS)，因此BE = CF，因为∠B = 45°，BEF是等腰直角三角形，EF = BE，所以EF = CF。) 15. 13 (解析：旋转不改变图形的形状和大小，ABC ≌ △DEC，所以AC=DE=5，∠ACB=∠DEC=90°，因为∠ACD+∠DCE = 90°，∠DCE+∠BCE = 90°，ACD = ∠BCE，又因为AC=BC，CD=CE，ACD ≌ △BCE(SAS)，所以AD=BE，在Rt△BCE中，BC=12，CE=CD=AC=5，由勾股定理得BE = √(BC² - CE²) = √(12² - 5²) = √(144-25) = √119，所以AD=√119。) 16. AF = 2FB (解析：此题较难，设AC=BC=1，则AD=1/2，设∠CAD=α，则∠BAD=45°-α，在Rt△ADC中，tan(α) = CD/AD = 1/(1/2) = 2，在Rt△AEC中，tan(α) = CE/AE = 2，所以CE=2AE，易证△AEC ≌ �CFD(AAS)，所以AE=CF，CE=DF，所以DF=2CF，设CF=x，则DF=2x，所以CD=3x=1，x=1/3，所以CF=1/3，DF=2/3，在Rt△BDF中，tan(∠BFD) = BD/DF = (1/2)/(2/3) = 3/4，在Rt△BFC中，tan(∠BFC) = BC/CF = 1/(1/3) = 3，设∠BFD=β，∠BFC=γ，tan(γ-β) = (tanγ - tanβ) / (1 + tanγtanβ) = (3 - 3/4) / (1 + 3 * 3/4) = (9/4) / (13/4) = 9/13，这个方法复杂，更简单的方法是：连接CD，则CD⊥AB，CD=AD，ADC是等腰直角三角形，设AC=2，则AD=CD=√2，易证△AEC ≌ △CFD(AAS)，所以AE=CF，CE=DF，设AE=x，则CF=x，CE=DF=√2-x，在Rt△BDF中，BD=1，DF=√2-x，BF=BD+DF=1+√2-x，在Rt△BFC中，BC=2，CF=x，BF=√(BC²-CF²)=√(4-x²)，1+√2-x = √(4-x²)，平方后解方程得 x = 2-√2，所以AE = 2-√2，CF = 2-√2，BF = √(4-(2-√2)²) = √(4-(4-4√2+2)) = √(2√2-2)，这个计算很复杂，换一种思路：设AC=BC=1，AD=1/2，设AE=x，由△AEC ≌ △CFD得AE=CF=x，CE=DF，CE=AC-AE=1-x，所以DF=1-x，在Rt△BDF中，BF=BD+DF=1/2+(1-x)=3/2-x，在Rt△BFC中，BF=√(BC²-CF²)=√(1-x²)，3/2-x = √(1-x²)，平方得 (3/2-x)² = 1-x²， 9/4 - 3x + x² = 1 - x²， 2x² - 3x + 5/4 = 0，解得 x = 1/2 或 x = 5/4（舍去），所以AE=1/2，CF=1/2，BF=√(1-(1/2)²)=√3/2，所以AF=AB-BF=√2-√3/2，FB=√3/2，这个结果不对，看来我的辅助线假设有问题，重新审题，AC=BC，是等腰直角三角形，AD是中线，CD=AD=BC/2，设BC=2，则CD=AD=1，AC=√2，由△AEC ≌ △CFD(AAS)得AE=CF，CE=DF，设AE=x，则CF=x，CE=DF=√2-x，在Rt△BDF中，BD=1，DF=√2-x，BF=BD+DF=1+√2-x，在Rt△BFC中，BC=2，CF=x，BF=√(4-x²)，1+√2-x = √(4-x²)，平方得 1 + 2√2 + 2 - 2x - 2√2x + x² = 4 - x²。 2x² - (2+2√2)x + (3+2√2-4) = 0。 2x² - 2(1+√2)x + (-1+2√2) = 0。 x² - (1+√2)x + (-1/2+√2) = 0，解这个二次方程：Δ = (1+√2)² - 4(√2-1/2) = 1+2√2+2 - 4√2 + 2 = 5 - 2√2。 x = [1+√2 ± √(5-2√2)] / 2，这个结果非常复杂，显然不是初中题目应该有的答案，看来我的理解有误，题目说“AD是BC边上的中线”，在等腰直角三角形中，中线和高线重合，所以AD⊥BC，设AC=BC=1，则AB=√2，AD=CD=1/2，设∠CAD=α，tan(α)=CD/AD=1。=45°，这不可能，因为∠CAB=45°，所以AD是角平分线和高线，设∠CAD=22.5°，tan(22.5°)=√2-1，在Rt△ADC中，tan(22.5°)=CD/AD=1/2 / 1/2 = 1，矛盾，我重新读题：“在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = BC”，这是等腰直角三角形。“AD是BC边上的中线”，BC是斜边，设AC=BC=1，则AB=√2，AD是斜边上的中线，所以AD=BD=CD=AB/2=√2/2，现在计算：tan(∠CAD) = CD/AC = (√2/2) / 1 = √2/2，tan(∠ACD) = AD/CD = (√2/2) / (√2/2) = 1，易证△AEC ≌ △CFD(AAS)，所以AE=CF，CE=DF，设AE=x，则CF=x，CE=DF=AC-AE=1-x，在Rt△BDF中，BD=√2/2，DF=1-x，BF=BD+DF=√2/2+1-x，在Rt△BFC中，BC=1，CF=x，BF=√(1-x²)。√2/2+1-x = √(1-x²)，平方得 (√2/2+1)² - 2(√2/2+1)x + x² = 1 - x²。 (1/2 + √2 + 1) - (√2+2)x + x² = 1 - x²。 (3/2 + √2) - (√2+2)x + x² = 1 - x²。 2x² - (√2+2)x + (1/2 + √2) = 0，这个方程依然复杂，看来题目可能有图，或者我的思路有根本性错误，换一种思路：设AC=BC=1，则AD=√2/2，设∠CAD=α，tan(α)=CD/AD= (√2/2)/(√2/2)=1。=45°，这不可能，因为∠CAB=45°，我发现了，在等腰直角三角形中，斜边上的中线也是角平分线，CAD=∠BAD=22.5°，tan(22.5°)=√2-1，在Rt△AEC中，tan(α)=tan(22.5°)=CE/AE=√2-1，设AE=x，则CE=(√2-1)x，由△AEC ≌ △CFD得CF=AE=x，DF=CE=(√2-1)x，在Rt△BDF中，BD=√2/2，DF=(√2-1)x，BF=BD+DF=√2/2+(√2-1)x，在Rt△BFC中，BC=1，CF=x，BF=√(1-x²)。√2/2+(√2-1)x = √(1-x²)，平方得 1/2 + √2(√2-1)x + (√2-1)²x² = 1-x²。 1/2 + (2-√2)x + (3-2√2)x² = 1-x²。 (4-2√2)x² + (2-√2)x - 1/2 = 0。 2(2-√2)x² + (2-√2)x - 1/2 = 0。 令 k=2-√2，则 2k x² + k x - 1/2 = 0。 4k x² + 2k x - 1 = 0。 x = [-2k ± √(4k² + 16k)] / 8k = [-2k ± 2√(k²+4k)] / 8k = [-k ± √(k²+4k)] / 4k，计算k²+4k = (2-√2)² + 4(2-√2) = 4-4√2+2+8-4√2 = 14-8√2。√(14-8√2) = √(8-8√2+6) = √((2√2-√2)²) 等等，14-8√2 = (a-b√2)² = a²+2b²-2ab√2，a²+2b²=14, 2ab=8，ab=4，a=4/b，代入得 16/b²+2b²=14，16+2b⁴=14b²，2b⁴-14b²+16=0，b⁴-7b²+8=0，解得b²=(7±√(49-32))/2=(7±√17)/2，不是整数，看来这个方法行不通，重新审视题目，或许AF=2FB是结论，我们需要证明它，设AC=BC=1，则AD=√2/2，设∠CAD=α，tan(α)=CD/AD=1，=45°，这不可能，我一定是哪里弄错了，哦！题目是“AD是BC边上的中线”，而AC=BC，所以BC是直角边！我把它当成斜边了，设AC=BC=1，则AB=√2，D是BC的中点，所以BD=DC=1/2，AD=√(AC²-CD²)=√(1-(1/2)²)=√3/2，现在计算：tan(∠CAD)=CD/AC=(1/2)/1=1/2，tan(∠ACD)=AD/CD=(√3/2)/(1/2)=√3，易证△AEC ≌ △CFD(AAS)，所以AE=CF，CE=DF，设AE=x，则CF=x，CE=DF=AC-AE=1-x，在Rt△BDF中，BD=1/2，DF=1-x，BF=BD+DF=1/2+1-x=3/2-x，在Rt△BFC中，BC=1，CF=x，BF=√(1-x²)，3/2-x = √(1-x²)，平方得 (3/2-x)² = 1-x²。 9/4 - 3x + x² = 1 - x²。 2x² - 3x + 5/4 = 0。 8x² - 12x + 5 = 0。 Δ = 144 - 160 = -16，无解，这说明我的假设AE=x有问题，因为E在AD上，所以AE < AD = √3/2，设CE=x，由△AEC ≌ △CFD得CE=DF=x，AE=CF，在Rt△AEC中，AE=√(AC²-CE²)=√(1-x²)，所以CF=√(1-x²)，在Rt△BDF中，BD=1/2，DF=x，BF=√(BD²+DF²)=√(1/4+x²)，在Rt△BFC中，BC=1，CF=√(1-x²)，BF=√(BC²-CF²)=√(1-(1-x²))=√x²=x。√(1/4+x²) = x，平方得 1/4+x² = x²。 1/4=0，矛盾，这说明我的辅助线理解有误，CE=DF是正确的，但AE=CF是错误的，应该是∠CAE=∠DCF, ∠AEC=∠CFD, AC=CD，所以是AAS，所以AE=CF, CE=DF，这个结论是对的，问题出在计算上，我们换个思路，用坐标系，设C(0,0), A(1,0), B(0,1)，D是BC中点，所以D(0, 1/2)，AD的直线方程是 y = -1/2x + 1/2，CE ⊥ AD，所以CE的斜率是2，CE的直线方程是 y = 2x，求E的坐标：联立 y = -1/2x + 1/2 和 y = 2x。 2x = -1/2x + 1/2。 5/2x = 1/2。 x = 1/5。 y = 2/5，所以E(1/5, 2/5)，AB的直线方程是 y = -x+1，求F的坐标：联立 y = 2x 和 y = -x+1。 2x = -x+1。 3x=1。 x=1/3。 y=2/3，所以F(1/3, 2/3)，AF的长度 = √((1-1/3)²+(0-2/3)²) = √((2/3)²+(-2/3)²) = √(8/9) = 2√2/3，FB的长度 = √((1/3-0)²+(2/3-1)²) = √((1/3)²+(-1/3)²) = √(2/9) = √2/3，AF = 2FB。) 更正： 经过重新思考和计算，发现之前的坐标系法是正确的，结论应为 AF = 2FB，之前的代数法计算错误是因为对BF的表达式理解有误，在Rt△BDF中，BF是斜边，BF=√(BD²+DF²)，而不是BD+DF，坐标系法更直观可靠。

解答题 17. 证明： 在△AEC和△DFB中， ∵ A, B, C, D在同一直线上，∠A = ∠D，AE = DF。 又 ∵ AB = CD， ∴ AB + BC = CD + BC，即 AC = DB。 ∴ △AEC ≌ △DFB (SAS)。 ∴ EC = FB (全等三角形的对应边相等)。

18. 证明： (1) ∵ AD是角平分线， ∴ ∠BAD = ∠CAD。 又 ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴ ∠AED = ∠AFD = 90°。 在△AED和△AFD中， ∠BAD = ∠CAD，AD = AD (公共边)，∠AED = ∠AFD。 ∴ △AED ≌ △AFD (AAS)。 ∴ AE = AF (全等三角形的对应边相等)。

    (2) ∵ △AED ≌ △AFD (已证)， ∴ ED = FD (全等三角形的对应边相等)。 在△AED和△AFD中， AE = AF (已证)，ED = FD (已证)，AD = AD (公共边)。 ∴ △AED ≌ △AFD (SSS)。 ∴ ∠ADE = ∠ADF (全等三角形的对应角相等)。 又 ∵ ∠AED = ∠AFD = 90°， ∴ ∠EDF = 180° - ∠AED - ∠AFD = 180°。 这说明E, D, F三点共线，且ED=FD。 ∴ AD垂直平分EF。

19. 证明： 在△ABC和△ADC中， ∵ AB = AD，CB = CD，AC = AC (公共边)， ∴ △ABC ≌ △ADC (SSS)。 ∴ ∠BAC = ∠DAC (全等三角形的对应角相等)。 即 AC是∠BAD的角平分线。 在△AEB和△AED中， ∠BAE = ∠DAE (已证)，AE = AE (公共边)，AB = AD (已知)。 ∴ △AEB ≌ △AED (SAS)。 ∴ ∠AEB = ∠AED (全等三角形的对应角相等)。

20. 证明： (1) ∵ ∠BAC = 90°，AB = AC， ∴ ∠B = ∠ACB = 45°。 ∵ DE ⊥ AB， ∴ ∠BED = 90°。 ∴ ∠EDB = 180° - ∠B - ∠BED = 180° - 45° - 90° = 45°。 ∴ ∠EDB = ∠ACB。 又 ∵ D是BC的中点， ∴ BD = CD。 在△BDF和△ACD中， ∠EDB = ∠ACB (已证)，BD = CD (已知)，∠FBD = ∠CAD (因为BF ∥ AC，FBD = ∠BAC = 90°，而∠CAD = 90° - ∠ACD = 90° - 45° = 45°，这个思路不对，重新找角关系。) 重新证明(1)： ∵ AB = AC，D是BC中点， ∴ AD ⊥ BC，且∠BAD = ∠CAD = 45°。 ∵ DE ⊥ AB， ∴ ∠ADE = 90° - ∠BAD = 90° - 45° = 45°。 ∴ ∠ADE = ∠ACD = 45°。 在△ADF和△CDE中， ∠ADF = ∠CDE (对顶角相等)，AD = CD (等腰三角形三线合一)，∠ADF = ∠CDE (已证)。 不对，应该是△ADF和△CDE。 正确证明(1)： ∵ AB = AC，D是BC中点， ∴ AD ⊥ BC，且BD = CD。 ∴ ∠ADB = 90°。 ∵ DE ⊥ AB， ∴ ∠AED = 90°。 ∴ ∠ADE = 90° - ∠BAD。 ∵ AD ⊥ BC， ∴ ∠BAD = 90° - ∠B。 ∴ ∠ADE = 90° - (90° - ∠B) = ∠B。 在△BDF和△ACD中， ∠B = ∠ACD (等边对等角)，BD = CD (已知)，∠BDF = ∠ADC (因为BF ∥ AC，BDF = ∠ADC，内错角相等)。 ∴ △BDF ≌ △ACD (ASA)。

    (2) 由(1)知△BDF ≌ △ACD， ∴ DF = CD。 ∵ D是BC中点，BC = 10， ∴ BD = CD = 5。 ∴ DF = 5。 ∵ BF ∥ AC，DE ⊥ AB， ∴ ∠FED = ∠BAC = 90°。 ∵ ∠B = 45°， ∴ △BEF是等腰直角三角形。 ∴ EF = BF。 在Rt△BDF中，BD = 5，∠B = 45°， ∴ BF = BD cos(45°) = 5 (√2/2) = 5√2/2。 ∴ EF = 5√2/2。

21. 证明： (1) ∵ AM ⊥ MN