八年级上册数学十一章重点难点解析？

第十一章 三角形 (核心知识点梳理)

本章主要围绕三角形的概念、性质、分类、三边关系、内角和、外角和以及多边形展开。

第一节 三角形的边

三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形的表示

• 用三个大写字母表示，△ABC
• 顶点是 A, B, C 的三角形，记作“△ABC”
• 读作“三角形ABC”

三角形的基本元素

• 边：组成三角形的三条线段，即 AB, BC, AC。
• 顶点：三角形两边相交的点，即 A, B, C。
• 角：三角形相邻两边组成的角，即 ∠A, ∠B, ∠C。

三角形三边关系 (重点)

• 关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。

  数学表达式：AB + BC > AC， AB + AC > BC， BC + AC > AB。

  
  （图片来源网络，侵删）
• 关系推论：三角形任意两边之差小于第三边。

  数学表达式：|AB - BC| < AC， |AB - AC| < BC， |BC - AC| < AB。

• 如何判断三条线段能否构成三角形： 只需要检查较小两条线段的和是否大于最长的那条线段即可。
  • 例：线段长为 3cm, 5cm, 8cm，能构成三角形吗？

    分析：3 + 5 = 8，不满足“大于”,所以不能构成三角形。

  • 例：线段长为 5cm, 6cm, 10cm，能构成三角形吗？

    分析：5 + 6 > 10,所以能构成三角形。

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第二节 三角形的高、中线与角平分线

这三种“线”是三角形中的重要概念，它们既是线段,也是直线或射线的一部分。

线段	定义	图形	性质/要点
高	从一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。		一个三角形有三条高。 锐角三角形的三条高都在三角形内部。 直角三角形的两条高是两条直角边，第三条高在三角形外部（从直角顶点向斜边作垂线）。 钝角三角形有两条高在三角形外部。
中线	连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。		一个三角形有三条中线。 三条中线都在三角形内部。 重要性质：三条中线交于一点，这个点叫做重心，重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。
角平分线	三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。		一个三角形有三条角平分线。 三条角平分线都在三角形内部。 重要性质：三条角平分线交于一点，这个点叫做内心，内心到三边的距离相等。

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第三节 三角形的内角和

三角形的内角和定理 三角形的三个内角的和等于 180°。

• 证明思路：通常作平行线，利用“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”来证明。

三角形的外角及其性质

• 外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

  一个三角形有六个外角，但每个顶点处取一个,通常说三个外角。

• 外角性质：
  1. 性质一（推论）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

     数学表达式：∠ACD = ∠A + ∠B

  2. 性质二（推论）：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

     数学表达式：∠ACD > ∠A， ∠ACD > ∠B

三角形按角分类

• 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
• 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
  • 记作：Rt△ABC
  • 两条直角边互为底和高。
• 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

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第四节 多边形的内角和

多边形的定义 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

正多边形 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。

• 正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形等。

多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。

• 从一个顶点出发的对角线条数：n - 3 条 (n为边数)。
• 多边形对角线的总条数：n(n-3)/2 条。

多边形的内角和定理 n边形的内角和等于 (n - 2) × 180°。

• 推导思路：从一个顶点出发，可以引出 (n-3) 条对角线，将多边形分成 (n-2) 个三角形，所以内角和为 (n-2) × 180°。

多边形的外角和定理 任意多边形的外角和都等于 360°。

• 注意：这个定理与多边形的边数无关。
• 推导思路：每个顶点处取一个外角，利用“平角为180°”和内角和公式 (n-2) × 180°，可以计算出外角和为 n × 180° - (n-2) × 180° = 360°。

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本章核心思想与方法

1. 数形结合思想：将抽象的边、角关系与具体的图形结合起来,这是几何学习的基本思想。
2. 转化思想：将未知问题（如多边形内角和）转化为已知问题（如三角形内角和）来解决。
3. 分类讨论思想：在研究三角形的高、外角等问题时，需要根据三角形的不同类型（锐角、直角、钝角）进行分类讨论。

常见易错点

1. 忽略“任意”：三边关系是“任意”两边之和大于第三边,不能只检查一组。
2. 混淆线段类型：高、中线、角平分线都是线段，不是直线或射线,画图时要特别注意垂足的位置。
3. 外角概念不清：外角是与内角相邻的那个角，不是随便一个角，使用外角性质时，一定要看清是与它“不相邻”的内角。
4. 多边形内角和公式记错：是 (n-2) × 180°，不是 n × 180° 或 (n-3) × 180°。

希望这份详细的梳理能帮助你更好地掌握第十一章的内容！学习几何一定要多动手画图,理解图形的性质和关系。