八年级上册数学实数学题

第一章：实数 知识点概览

第一部分：平方根与立方根

这是学习实数的基础,一定要分清概念。

概念	定义	表示方法	性质与特点	举例
算术平方根	如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x² = a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。	√a (a ≥ 0)	被开方数 a 必须是非负数 (a ≥ 0)。 2. 算术平方根的结果也是非负数 (√a ≥ 0)。 3. √a² = |a|	√9 = 3 (因为 3²=9，且 3>0) √0 = 0
平方根	如果一个数 x 的平方等于 a，即 x² = a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。	±√a (a ≥ 0)	被开方数 a 必须是非负数 (a ≥ 0)。 2. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 3. 0的平方根是0本身。 4. 负数没有平方根。	±√9 = ±3 (因为 3²=9 且 (-3)²=9) 16的平方根是 ±4
立方根	如果一个数 x 的立方等于 a，即 x³ = a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。	³√a	被开方数 a 可以是任何实数 (正数、负数、0)。 2. 正数的立方根是正数。 3. 负数的立方根是负数。 4. 0的立方根是0。 5. 立方根有且只有一个。	³√8 = 2 (因为 2³=8) ³√(-27) = -3 (因为 (-3)³=-27)

核心区别：

• 平方根：针对非负数，结果有两个（0除外，只有一个）。
• 立方根：针对所有实数，结果只有一个。

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第二部分：实数

在学了平方根后，我们发现有些数（如 √2, √3）无法表示为分数 p/q 的形式，于是我们引入了无理数,从而构成了实数。

1. 无理数

   • 定义：无限不循环小数叫做无理数。
   • 常见类型：
     • 开方开不尽的数：如 √2, √3, √7, ³√2, 等。
     • 特定意义的常数：如 圆周率 。
     • 有特定构造的无限不循环小数。

2. 实数

   • 定义：有理数和无理数统称为实数。
   • 实数分类：

                 实数
                /     \
      有理数          无理数
     /     \        /     \
     整数    分数   (如√2, π)
     /   \
     正整数  0  负整数
     (自然数)

3. 实数与数轴

   
   （图片来源网络，侵删）
   • 核心结论：数轴上的点与实数一一对应，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。
   • 绝对值的几何意义：一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离,绝对值总是非负的。

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典型例题与解题技巧

平方根与立方根的概念辨析

例1：判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 4的平方根是2。 (2) -9的平方根是-3。 (3) 27的立方根是±3。 (4) √(-4)² = -4 (5) √16 的算术平方根是4。

【解析与答案】 (1) 错误，4的平方根是 ±2，算术平方根才是2。 (2) 错误，负数没有平方根。 (3) 错误，27的立方根是 ³√27 = 3，立方根只有一个。 (4) 错误。√(-4)² = √16 = 4，注意，算术平方根的结果是非负数，或者用公式 √a² = |a|，√(-4)² = |-4| = 4。 (5) 错误。√16 的结果是4，然后求4的算术平方根，应该是 √4 = 2。

【技巧】：做这类概念题，一定要紧扣定义，特别是“谁”的“什么”根,以及被开方数的取值范围。

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实数的运算与大小比较

例2：计算下列各题。 (1) |√3 - 2| + √(π - 3) - (³√-8)² (2) 比较 -√5, -2.2, -√6 的大小。

【解析与答案】 (1) 原式 = |√3 - 2| + √(π - 3) - (-2)²

• √3 ≈ 1.732，√3 - 2 < 0，|√3 - 2| = 2 - √3。
• π ≈ 3.14，π - 3 > 0，√(π - 3) 保持不变。
• ³√-8 = -2，(-2)² = 4。
• 原式 = (2 - √3) + √(π - 3) - 4
• = -2 - √3 + √(π - 3)

【技巧】：实数运算的顺序是“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里的”，对于含有绝对值和根号的,要先判断里面的符号。

(2) 比较大小

• 估算比较法

  • √4 = 2, √9 = 3，2 < √5 < 3。√5 约等于 2.236。
  • √4 = 2, √9 = 3，2 < √6 < 3。√6 约等于 2.449。
  • -√5 ≈ -2.236, -√6 ≈ -2.449。
  • 比较三个数：-2.449, -2.236, -2.2。
  • 在数轴上，左边的数小,右边的数大。
  • -√6 < -√5 < -2.2。

• 利用数轴和绝对值（更严谨）

  • 三个数都是负数,绝对值大的反而小。
  • | -√5 | = √5, | -2.2 | = 2.2, | -√6 | = √6。
  • 比较 √5, 2, √6 的大小。
  • √5 ≈ 2.236 > 2.2。
  • √6 > √5。
  • √6 > √5 > 2.2。
  • 它们的相反数满足：-√6 < -√5 < -2.2。

【技巧】：比较无理数大小，常用估算或平方的方法，比较负数大小时，绝对值大的反而小。

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数形结合问题

例3：如图，数轴上A, B两点表示的数分别为1和 √3，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是多少？

<---|-----A-----|-----B-----|--->
    0          1         √3

【解析与答案】

• 点A是线段BC的中点。
• 设点C表示的数为 x。
• 根据中点公式，有 (x + √3) / 2 = 1。
• 解得：x + √3 = 2。
• x = 2 - √3。
• 点C所表示的数是 2 - √3。

【技巧】：数轴是数形结合的完美工具，利用数轴可以直观地表示数的范围、比较大小、解决对称问题等。

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常见易错点提醒

1. 混淆平方根与算术平方根：看到 √a 就认为是 a 的平方根，忘了它特指算术平方根（非负）。
2. 忽略被开方数的取值范围：求平方根时，忘记被开方数必须 ≥ 0。
3. 符号错误：√a² = |a|，而不是 a，当 a 是负数时，结果是其相反数。√(-3)² = 3。
4. 大小比较出错：比较负数时，容易忽略“绝对值大的反而小”的原则,直接比较数值大小。
5. 无理数识别不全：认为只有 √2 这类才是无理数，忽略了 以及构造的无限不循环小数。

学习建议：

• 回归定义：把平方根、立方根、无理数的定义背熟、理解透。
• 勤于练习：通过做题来巩固概念,特别是辨析题和计算题。
• 利用数轴：多画数轴，用它来理解绝对值、相反数、大小比较等,非常直观有效。
• 建立错题本：把做错的题整理下来，分析错误原因，定期回顾,避免再犯。

希望这份总结对你有帮助！如果在学习过程中遇到任何具体问题，随时可以再来问我,加油！