八年级人教版因式分解怎么学？
校园之窗 2026年1月15日 21:50:53 99ANYc3cd6
第一部分：核心概念与基础
什么是因式分解？
- 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。
- 核心要点：
- 结果必须是乘积形式：这是因式分解的最终目标。
x² - 4要分解成(x+2)(x-2)，而不是停留在x² - 4。 - 因式必须是整式：分解出来的式子（如
x+2,x-2）不能是分数、根式等。 - 分解要彻底：直到每个因式都不能再分解为止。
x⁴ - 16要分解成(x²+4)(x+2)(x-2)，而不是(x²+4)(x²-4)，因为x²-4还能继续分解。
- 结果必须是乘积形式：这是因式分解的最终目标。
因式分解与整式乘法的关系
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互为逆运算：
- 整式乘法：
(x+2)(x-2) = x² - 4（从“积”到“和差”） - 因式分解：
x² - 4 = (x+2)(x-2)（从“和差”到“积”）
- 整式乘法：
-
作用：你可以用整式乘法的法则来检验因式分解是否正确。
（图片来源网络，侵删）
第二部分：核心方法（由易到难）
人教版主要介绍以下四种基本方法,需要灵活运用，甚至组合使用。
提公因式法
这是最基础、最优先考虑的方法。
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步骤：
- 找出多项式各项的公因式。
- 系数：取各项系数的最大公约数。
- 字母：取各项都含有的相同字母，且取字母的最低次幂。
- 把公因式提到括号外面。
- 用原多项式除以公因式,得到括号里的多项式。
- 找出多项式各项的公因式。
-
口诀：找公因，提出来，除一除，括号内。
（图片来源网络，侵删） -
经典例题：
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例1：分解因式
3ax² - 6axy + 9ax- 找公因式：系数的最大公约数是
3，字母都含有a，且a的最低次幂是1，所以公因式是3a。 - 提公因式：
3a(x² - 2xy + 3x) - 检查：
3a * x² = 3ax²，3a * (-2xy) = -6axy，3a * 3x = 9ax，与原式一致。 - 答案：
3a(x² - 2xy + 3x)
- 找公因式：系数的最大公约数是
-
例2（特殊）：分解因式
-2x³ + 4x² - 6x- 当第一项系数为负时,通常将负号也提出来，使括号内的第一项系数为正。
- 找公因式：
-2x - 提公因式：
-2x(x² - 2x + 3) - 答案：
-2x(x² - 2x + 3)
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公式法
当多项式符合某些特殊公式的结构时,可以直接套用公式，这是考试的重点和难点。
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平方差公式
- 结构：
a² - b² - 分解结果：
(a + b)(a - b) - 特点：两项，且都是平方项，中间是“-”号。
- 结构：
-
经典例题：
- 例3：分解因式
4x² - 9y²- 变形：
(2x)² - (3y)² - 套用公式：
(2x + 3y)(2x - 3y) - 答案：
(2x + 3y)(2x - 3y)
- 变形：
- 例3：分解因式
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完全平方公式
- 结构1（和的平方）：
a² + 2ab + b² - 分解结果：
(a + b)² - 结构2（差的平方）：
a² - 2ab + b² - 分解结果：
(a - b)² - 特点：三项，其中两项是平方项，另一项是这两个数乘积的2倍，符号与中间项一致。
- 结构1（和的平方）：
-
经典例题：
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例4：分解因式
x² + 4x + 4- 判断：
x²是平方项，4是2²，中间项4x是2 * x * 2，符合a² + 2ab + b²结构。 - 套用公式：
(x + 2)² - 答案：
(x + 2)²
- 判断：
-
例5：分解因式
9y² - 12y + 4- 判断：
9y²是(3y)²，4是2²，中间项-12y是-2 * 3y * 2，符合a² - 2ab + b²结构。 - 套用公式：
(3y - 2)² - 答案：
(3y - 2)²
- 判断：
-
十字相乘法
这是分解二次三项式 ax² + bx + c (a≠0) 的核心方法。
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目标：找到两个数
p和q，使得p * q = a * c，p + q = b。 -
步骤：
- 计算
a * c的积。 - 寻找两个数
p和q，满足p * q = a * c且p + q = b。 - 将中间项
bx拆成px + qx。 - 分组,并提公因式。
- 计算
-
经典例题：
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例6：分解因式
x² + 5x + 6- 分析：
a=1, b=5, c=6。 - 找 p, q：
p * q = 1 * 6 = 6，p + q = 5，通过尝试，p=2,q=3满足条件。 - 拆中间项：
x² + 2x + 3x + 6 - 分组提公因式：
(x² + 2x) + (3x + 6)= x(x + 2) + 3(x + 2) - 再提公因式：
(x + 2)(x + 3) - 答案：
(x + 2)(x + 3)
- 分析：
-
例7（a≠1）：分解因式
2x² - 7x + 3- 分析：
a=2, b=-7, c=3。 - 找 p, q：
p * q = a * c = 2 * 3 = 6，p + q = b = -7，通过尝试，p=-1,q=-6满足条件。 - 拆中间项：
2x² - x - 6x + 3 - 分组提公因式：
(2x² - x) + (-6x + 3)= x(2x - 1) - 3(2x - 1)(注意：第二组提取 -3，以保证括号内式子相同) - 再提公因式：
(2x - 1)(x - 3) - 答案：
(2x - 1)(x - 3)
- 分析：
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分组分解法
当一个多项式有四项或更多项,且没有公因式时，可以考虑分组分解。
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思路：将多项式分成两组，分别对每组进行因式分解（通常是提公因式），然后看看两组之间是否有新的公因式可以提取。
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经典例题：
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例8：分解因式
ax + ay + bx + by- 分组：
(ax + ay) + (bx + by) - 提公因式：
a(x + y) + b(x + y) - 再提公因式：
(x + y)(a + b) - 答案：
(x + y)(a + b)
- 分组：
-
例9：分解因式
x² - y² - 2y - 1- 分析：前三项
x² - y²可以用平方差公式，但最后一项-1很碍事，我们可以尝试把后三项组合。 - 分组：
x² - (y² + 2y + 1) - 括号内配方：
y² + 2y + 1是一个完全平方式，等于(y+1)²。 - 原式变为：
x² - (y+1)² - 套用平方差公式：
[x + (y+1)][x - (y+1)] - 化简：
(x + y + 1)(x - y - 1) - 答案：
(x + y + 1)(x - y - 1)
- 分析：前三项
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第三部分：因式分解的一般步骤
面对一个因式分解题目,不要急于下手，按照以下步骤来，会更有条理：
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第一步：看有无公因式
- 如果有,先提公因式，这是最优先的步骤！
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第二步：看能否用公式
- 提完公因式后,看剩下的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式。
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第三步：看能否用十字相乘法
- 如果是二次三项式（提完公因式后），尝试用十字相乘法。
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第四步：看是否需要分组
- 如果项数较多（四项或以上），且以上方法都不适用，尝试分组分解法。
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第五步：检查是否分解彻底
检查每一个因式是否还能继续分解,直到所有因式都不能再分解为止。
第四部分：综合应用与经典例题
例10：分解因式 3ax² - 6axy + 3ay²
- 第一步（提公因式）：有公因式
3a。= 3a(x² - 2xy + y²) - 第二步（用公式）：括号内的
x² - 2xy + y²是完全平方式。= 3a(x - y)² - 检查：
3a和(x-y)²都不能再分解了。 - 答案：
3a(x - y)²
例11：分解因式 a²(b - c) + 4c(c - b)
- 第一步（提公因式）：观察
b-c和c-b，它们是相反数，即c-b = -(b-c)。= a²(b - c) - 4c(b - c) - 提公因式：公因式是
(b-c)。= (b - c)(a² - 4c) - 第二步（用公式）：括号内的
a² - 4c可以看作a² - (2√c)²，但在初中阶段，c不是完全平方数，通常就认为它不能再分解了，如果题目中的c是一个具体的完全平方数，c=9，那就可以继续分解，这里我们假设c是字母，无法再分解。 - 答案：
(b - c)(a² - 4c)
例12：分解因式 x⁴ - y⁴
- 第一步（用公式）：直接套用平方差公式。
= (x² + y²)(x² - y²) - 第二步（检查是否彻底）：发现
(x² - y²)还能继续分解。= (x² + y²)(x + y)(x - y) - 检查：
x²+y²在实数范围内无法分解。 - 答案：
(x² + y²)(x + y)(x - y)
第五部分：常见误区与提醒
- 忘记提公因式：看到题目就想用公式或十字相乘，这是大忌。先提公因式是黄金法则。
- 公式记混：把平方差公式记成
(a+b)²，或者把完全平方公式记成a²+b²或a²-b²，一定要记牢公式的结构。 - 分解不彻底：如
x⁴ - 16 = (x²+4)(x²-4)就没有分解到底。 - 符号错误：在提负号或十字相乘时，容易出错，一定要细心，最后可以通过展开验证。
- 十字相乘法中 a≠1 的情况：当二次项系数不为1时，计算
a*c和寻找p, q的难度增加，需要多练习。
总结一下：因式分解就像一套“组合拳”，你需要根据题目特征，灵活运用提公因式、公式法、十字相乘法和分组分解法，核心是观察结构，多加练习，最后一定要检查是否彻底，祝你学习进步！
