八年级因式分解练习题有哪些常见题型？

校园之窗 2026年1月11日 12:16:34 99ANYc3cd6 1 0

八年级因式分解综合练习题

基础题 (直接应用公式)

要求： 运用提公因式法、公式法（平方差、完全平方）进行因式分解。

（图片来源网络，侵删）

3a² - 6ab
-4x²y + 6xy²
a² - 16
9x² - 25y²
4m² + 4m + 1
x² - 6x + 9
-x² + 4xy - 4y²
a²b² - 2ab + 1

进阶题 (需要先变形或综合应用)

要求： 观察多项式特点，可能需要先整理，或综合运用提公因式法和公式法。

2ax² - 8ay²
(x + y)² - 9
4(x - y)² - (y - x)²
3ax² - 6axy + 3ay²
x³ - 4x
(a + b)² - 4(a + b) + 4
-3a + 3a² - 3/4
(x² + 4x)² + 8(x² + 4x) + 16

挑战题 (十字相乘法及其他)

要求： 尝试使用十字相乘法分解二次三项式，或解决稍复杂的综合问题。

（图片来源网络，侵删）

x² + 5x + 6
x² - 7x + 12
x² - x - 6
y² + 2y - 8
2x² + 5x + 2
3y² - 7y + 2
6a² - 7a - 5
x²y - 5xy + 6y

参考答案与解析

基础题

3a² - 6ab
- 解析： 观察发现两项都有公因式 3a。
- 答案： 3a(a - 2b)
-4x²y + 6xy²
- 解析： 公因式是 -2xy (或 2xy)，提取 -2xy 时，括号内各项符号要改变。
- 答案： -2xy(2x - 3y) 或 2xy(-2x + 3y)
a² - 16
- 解析： 符合平方差公式 a² - b² = (a + b)(a - b)，b = 4。
- 答案： (a + 4)(a - 4)
9x² - 25y²
（图片来源网络，侵删）
- 解析： 符合平方差公式，a = 3x，b = 5y。
- 答案： (3x + 5y)(3x - 5y)
4m² + 4m + 1
- 解析： 符合完全平方公式 a² + 2ab + b² = (a + b)²，a = 2m，b = 1。
- 答案： (2m + 1)²
x² - 6x + 9
- 解析： 符合完全平方公式 a² - 2ab + b² = (a - b)²，a = x，b = 3。
- 答案： (x - 3)²
-x² + 4xy - 4y²
- 解析： 先提取负号 -1，括号内变为 x² - 4xy + 4y²，这是一个完全平方式。
- 答案： -(x² - 4xy + 4y²) = -(x - 2y)²
a²b² - 2ab + 1
- 解析： 把 ab 看作一个整体，它符合完全平方公式，a = ab，b = 1。
- 答案： (ab - 1)²

进阶题

2ax² - 8ay²
- 解析： 先提公因式 2a，括号内 x² - 4y² 可以继续用平方差公式分解。
- 答案： 2a(x² - 4y²) = 2a(x + 2y)(x - 2y)
(x + y)² - 9
- 解析： 把 (x + y) 看作一个整体 A，式子变为 A² - 3²，符合平方差公式。
- 答案： [(x + y) + 3][(x + y) - 3] = (x + y + 3)(x + y - 3)
4(x - y)² - (y - x)²
- 解析： 注意到 (y - x) = -(x - y)，(y - x)² = [-(x - y)]² = (x - y)²，原式变为 4(x - y)² - (x - y)²，这是平方差公式，A = 2(x - y)，B = (x - y)。
- 答案： [2(x - y) + (x - y)][2(x - y) - (x - y)] = [3(x - y)][(x - y)] = 3(x - y)²
3ax² - 6axy + 3ay²
- 解析： 先提公因式 3a，括号内 x² - 2xy + y² 是一个完全平方式。
- 答案： 3a(x² - 2xy + y²) = 3a(x - y)²
x³ - 4x
- 解析： 先提公因式 x，括号内 x² - 4 可以继续用平方差公式分解。
- 答案： x(x² - 4) = x(x + 2)(x - 2)
(a + b)² - 4(a + b) + 4
- 解析： 把 (a + b) 看作一个整体 A，式子变为 A² - 4A + 4，这是一个完全平方式。
- 答案： [(a + b) - 2]² = (a + b - 2)²
-3a + 3a² - 3/4
- 解析： 先提取公因式 -3，得到 -3(a - a² + 1/4)，整理括号内项为 -3(-a² + a - 1/4)，再提取负号 -3 * -1(a² - a + 1/4)，括号内 a² - a + 1/4 是完全平方式 (a - 1/2)²。
- 答案： 3(a - 1/2)² (也可以写成 3(2a - 1)² / 4，但前一种形式更简洁)
(x² + 4x)² + 8(x² + 4x) + 16
- 解析： 把 (x² + 4x) 看作一个整体 A，式子变为 A² + 8A + 16，这是一个完全平方式 (A + 4)²。
- 答案： [(x² + 4x) + 4]² = (x² + 4x + 4)²，注意到 x² + 4x + 4 还能继续分解为 (x + 2)²。
- 最终答案： [(x + 2)²]² = (x + 2)⁴

挑战题

x² + 5x + 6
- 解析： 十字相乘法，寻找两个数 p 和 q，使得 p * q = 6，p + q = 5，这两个数是 2 和 3。
- 答案： (x + 2)(x + 3)
x² - 7x + 12
- 解析： 寻找两个数 p 和 q，使得 p * q = 12，p + q = -7，这两个数是 -3 和 -4。
- 答案： (x - 3)(x - 4)
x² - x - 6
- 解析： 寻找两个数 p 和 q，使得 p * q = -6，p + q = -1，这两个数是 -3 和 2。
- 答案： (x - 3)(x + 2)
y² + 2y - 8
- 解析： 寻找两个数 p 和 q，使得 p * q = -8，p + q = 2，这两个数是 4 和 -2。
- 答案： (y + 4)(y - 2)

2x² + 5x + 2

解析： 二次项系数不为1的十字相乘法。

  x     2
× 2x    1
------
  2x² + 4x
    x + 2
------
  2x² + 5x + 2  (交叉相乘再相加得到中间项)

答案： (x + 2)(2x + 1)

3y² - 7y + 2
- 解析： 二次项系数不为1的十字相乘法。
```
  y     -1
× 3y    -2
------
  3y² - 6y
    -y + 2
------
  3y² - 7y + 2
```
- 答案： (y - 1)(3y - 2)

6a² - 7a - 5

解析： 二次项系数不为1的十字相乘法。

  2a     -5
× 3a     1
------
  6a² - 15a
     2a - 5
------
  6a² - 13a - 5  (错误，重新尝试)

再次尝试：

  3a     1
× 2a    -5
------
  6a² + 2a
    -15a -5
------
  6a² - 13a - 5  (仍然错误，再次尝试)

再次尝试：

  3a     -5
× 2a     1
------
  6a² - 10a
     3a - 5
------
  6a² - 7a - 5  (正确)

答案： (3a - 5)(2a + 1)

x²y - 5xy + 6y
- 解析： 先提公因式 y，得到 y(x² - 5x + 6)，然后对括号内的二次三项式使用十字相乘法，寻找两个数 p 和 q，使得 p * q = 6，p + q = -5，这两个数是 -2 和 -3。
- 答案： y(x - 2)(x - 3)