八年级上册数学多边形

第一章：多边形 (核心知识点)

第一部分：多边形的基本概念

1. 多边形的定义

   • 在同一平面内,由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
   • 关键词：线段、首尾顺次相接、封闭。

2. 多边形的元素

   
   （图片来源网络，侵删）
   • 边：组成多边形的线段。
   • 顶点：每两条边的公共端点。
   • 内角：多边形相邻两边组成的角。
   • 外角：多边形的一边与另一边的延长线组成的角。（注意：每个顶点处有两个外角，它们互为对顶角，大小相等，通常我们研究的是与内角相邻的那个外角。）

3. 多边形的命名

   • 通常根据边数来命名。
   • 三条边：三角形
   • 四条边：四边形
   • 五条边：五边形
   • n条边：n边形

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第二部分：正多边形

1. 定义

   • 各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
   • 正三角形（等边三角形）、正方形、正五边形、正六边形等。

2. 性质

   • 它既是轴对称图形,也是中心对称图形（正偶数边形）。
   • 它具有高度的对称性和规整性。

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第三部分：多边形的内角和与外角和 (本章重点)

这是整个章节的核心，必须牢记并能灵活运用。

1. 多边形的内角和公式

   • 公式：n边形的内角和 = (n - 2) × 180°
   • 推导方法（非常重要！）：
     • 从一个顶点出发 从一个顶点出发，可以引出 (n - 3) 条对角线，这些对角线将n边形分割成 (n - 2) 个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和就是 (n - 2) × 180°。 （从一个顶点出发，五边形被分成3个三角形，内角和为3×180°）
     • 在多边形内部任取一点 在多边形内部任取一点P，连接P与各个顶点，将n边形分割成n个三角形，这n个三角形的内角和为 n × 180°，但以P为顶点的n个角的和是360°（一个周角），所以多边形的内角和就是 n × 180° - 360° = (n - 2) × 180°。

2. 正多边形的每个内角公式

   • 公式：正n边形的每个内角 = (n - 2) × 180° / n
   • 推导：因为正多边形内角都相等，所以用内角和除以边数n即可。

3. 多边形的外角和定理

   • 定理：任意多边形的外角和都等于360°。
   • 推导：多边形的每个内角与它的一个外角之和为180°，n边形有n个内角和n个外角， (内角和) + (外角和) = n × 180° (n - 2) × 180° + (外角和) = n × 180° 外角和 = n × 180° - (n - 2) × 180° = 360°
   • 推论：正多边形的每个外角 = 360° / n
   • 注意：外角和定理与边数n无关，这是一个非常重要的结论。

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第四部分：多边形的对角线

1. 定义

   • 连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做对角线。

2. 对角线条数公式

   • 公式：从n边形的一个顶点出发，可以引出 (n - 3) 条对角线。
   • 公式：n边形对角线的总条数为 n(n - 3) / 2。
   • 推导：每个顶点可以连 (n - 3) 条，n个顶点就是 n(n - 3) 条，但每条对角线都被计算了两次（从A到C和从C到A是同一条），所以要除以2。

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第二部分：常见题型与解题技巧

利用内角和求边数

• 已知条件：多边形的内角和。
• 解题思路：设边数为n，列方程 (n - 2) × 180° = 已知内角和，解方程求n。
• 例题：一个多边形的内角和是1080°，求这个多边形的边数。
  • 解：设这个多边形是n边形。
  • 根据题意,得 (n - 2) × 180° = 1080°
  • 解得 n - 2 = 6
  • n = 8
  • 答：这个多边形是八边形。

利用内角和求单个内角

• 已知条件：多边形的边数，或者已知正多边形。
• 解题思路：
  1. 先用内角和公式 (n - 2) × 180° 求出总和。
  2. 如果是正多边形,再除以边数 n，得到每个内角的度数。
• 例题：求正十边形的每个内角的度数。
  • 解：方法一（用内角和）
    • 内角和 = (10 - 2) × 180° = 8 × 180° = 1440°
    • 每个内角 = 1440° / 10 = 144°
  • 解：方法二（直接用正多边形内角公式）

    每个内角 = (10 - 2) × 180° / 10 = 144°

利用外角和求边数或单个外角

• 已知条件：正多边形的每个外角，或者利用外角和恒为360°的性质。
• 解题思路：牢记外角和是360°，对于正多边形，用 360° / n 求边数，或用 360° / n 求每个外角。
• 例题1：一个正多边形的每个外角都是30°，求这个多边形的边数。
  • 解：设这个多边形是n边形。
  • 根据题意,得 360° / n = 30°
  • 解得 n = 360° / 30° = 12
  • 答：这个多边形是十二边形。
• 例题2：一个多边形的外角和等于它的内角和，求这个多边形的边数。
  • 解：设这个多边形是n边形。
  • 根据题意,得 360° = (n - 2) × 180°
  • 解得 n - 2 = 2
  • n = 4
  • 答：这个多边形是四边形。

多边形的边角综合问题

• 已知条件：多边形中部分角的度数，求未知角的度数或边数。
• 解题思路：
  1. 明确题目给出的是内角还是外角。
  2. 如果涉及多个角,先利用多边形内角和公式建立方程。
  3. 如果有正多边形的条件,要利用“边相等”或“角相等”的性质。
• 例题：一个多边形的内角从小到大依次增加相同的度数，其中最小的内角为100°，最大的内角为140°，求这个多边形的边数。
  • 分析：这是一个“等差数列”模型的多边形问题，内角和 = (首项 + 末项) × 项数 / 2。
  • 解：
    • 设这个多边形是n边形。
    • 内角和 = (100° + 140°) × n / 2 = 120° × n
    • 内角和也等于 (n - 2) × 180°
    • 120° × n = (n - 2) × 180°
    • 120n = 180n - 360
    • 60n = 360
    • n = 6
    • 答：这个多边形是六边形。

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第三部分：学习建议与易错点

1. 牢记核心公式：

   • 内角和：(n - 2) × 180°
   • 外角和：360° (恒定不变！)
   • 正多边形内角：(n - 2) × 180° / n
   • 正多边形外角：360° / n

2. 区分“内角”和“外角”：

   • 每个内角与它的一个外角之和是180°。
   • 内角和与边数有关,外角和与边数无关。

3. 理解公式的推导过程：

   尤其是多边形内角和的推导（分割成三角形），这比死记硬背公式更重要，有助于你解决更复杂的问题。

4. 注意“n”的取值范围：

   • 因为多边形至少有三条边,n 是大于或等于3的整数。

5. 多与几何图形结合：

   学习时一定要动手画图,画出三角形、四边形、五边形等，在图上标出边、角、对角线，这样能帮助你更直观地理解概念。

希望这份详细的总结能帮助你学好八年级上册的“多边形”这一章！加油！