八年级下册函数测试题

八年级下册数学《函数》单元测试题

考试时间： 90分钟 满分： 100分

班级：__ 姓名：__ 分数：__

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选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列各曲线中,表示 y 是 x 的函数的是

2. 在函数 $y = \frac{\sqrt{x-2}}{x-3}$ 中，自变量 x 的取值范围是 A. $x \ge 2$ B. $x \ge 2$ 且 $x \ne 3$ C. $x > 2$ D. $x > 2$ 且 $x \ne 3$

3. 一次函数 $y = kx + b$ 的图象如图所示，则 k 和 b 的符号是

   A. k > 0, b > 0 B. k > 0, b < 0 C. k < 0, b > 0 D. k < 0, b < 0

   
   （图片来源网络，侵删）

4. 已知点 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ 都在直线 $y = -2x + 3$ 上，且 $x_1 > x_2$，则 y₁ 和 y₂ 的关系是 A. $y_1 > y_2$ B. $y_1 < y_2$ C. $y_1 = y_2$ D. 无法确定

5. 下列函数中,y 的值随 x 的增大而减小的是 A. $y = 2x + 1$ B. $y = -3x$ C. $y = x - 5$ D. $y = \frac{1}{2}x$

6. 若正比例函数 $y = (m-1)x$ 的图象经过第二、四象限，则 m 的取值范围是 A. $m > 1$ B. $m < 1$ C. $m \ge 1$ D. $m \le 1$

7. 反比例函数 $y = \frac{k-1}{x}$ 的图象在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是 A. $k > 1$ B. $k < 1$ C. $k \ge 1$ D. $k \le 1$

   
   （图片来源网络，侵删）

8. 一次函数 $y = ax + b$ 与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 在同一坐标系中的图象可能是

9. 已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象与 x 轴的交点为 A(2, 0)，与 y 轴的交点为 B(0, -3)，则这个函数的解析式为 A. $y = \frac{3}{2}x - 3$ B. $y = \frac{3}{2}x + 3$ C. $y = -\frac{3}{2}x - 3$ D. $y = -\frac{3}{2}x + 3$

10. 如图,A 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上一点，过 A 作 AB ⊥ x 轴于点 B，若 S△AOB = 3，则 k 的值为

    A. 3 B. 6 C. -3 D. -6

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填空题（每小题3分，共24分）

11. 函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$ 的自变量 x 的取值范围是 __。

12. 已知函数 $y = (m-2)x^{m^2-3}$ 是正比例函数，且 y 随 x 的增大而减小，则 m 的值为 __。

13. 将直线 $y = -2x + 3$ 向下平移 4 个单位长度，得到的直线解析式为 __。

14. 若点 A(a, 3) 和 B(4, b) 都在直线 $y = \frac{1}{2}x + 1$ 上，则 a + b = __。

15. 若一次函数 $y = (m+1)x + m^2 - 1$ 的图象经过原点，则 m 的值为 __。

16. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 (-2, 3)，则 k = __，当 x = -1 时，y = __。

17. 直线 $y = x + 4$ 与 x 轴的交点坐标是 __，与 y 轴的交点坐标是 __。

18. 写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数解析式：__（答案不唯一）。

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解答题（共46分）

19. (8分) 已知一次函数的图象经过点 A(1, -4) 和 B(-2, 5)。 (1) 求这个一次函数的解析式； (2) 判断点 C(3, -9) 是否在这个函数的图象上。

20. (8分) 已知 y 与 x 成反比例，且当 x = 3 时，y = 4。 (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 当 y = -2 时，求 x 的值。

21. (10分) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于 A(-1, 4) 和 B(2, n) 两点。 (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围。

22. (10分) 某农场租用甲、乙两种农机进行春耕，已知甲种农机每天收费 300 元，乙种农机每天收费 200 元，农场计划用不超过 3000 元的资金租用农机，且甲种农机至少租用 1 天，乙种农机至少租用 2 天。 (1) 若设租用甲种农机 x 天，租用乙种农机 y 天，请列出 x, y 满足的不等式组； (2) 农场计划在 10 天内完成春耕，求所有可能的租用方案。

23. (10分) 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的顶点 A 在 y 轴上，点 B 在 x 轴上，∠ABC = 90°，OA = 2，OB = 4，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 移动，点 Q 从点 B 出发，沿 BC 边以每秒 2 个单位长度的速度向点 C 移动，点 P, Q 同时出发，设移动时间为 t 秒。 (1) 求直线 AB 的解析式； (2) 当 t 为何值时，△PBQ 是等腰三角形？

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参考答案与解析

选择题

1. C (解析：根据函数的定义，x 每一个确定的值，y 有唯一确定的值与之对应，A 中一个 x 对应两个 y；B 中 x>0 时 y 有两个值；D 中 x=0 时 y 无意义。)
2. B (解析：被开方数非负，分母不为零，故 $x-2 \ge 0$ 且 $x-3 \ne 0$，解得 $x \ge 2$ 且 $x \ne 3$。)
3. C (解析：直线从左向右是下降的，k < 0；与 y 轴的交点在正半轴，b > 0。)
4. A (解析：k = -2 < 0，y 随 x 的增大而减小，因为 $x_1 > x_2$，$y_1 < y_2$。)
5. B (解析：一次函数 $y=kx+b$，当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小，B 选项中 k = -3 < 0。)
6. B (解析：正比例函数 $y=(m-1)x$ 的图象经过第二、四象限，则 $m-1 < 0$，解得 $m < 1$。)
7. B (解析：反比例函数 $y=\frac{k-1}{x}$，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，则 $k-1 < 0$，解得 $k < 1$。)
8. D (解析：A 选项，一次函数 k<0，反比例函数 a<0，但 a=k，矛盾，B 选项，一次函数 k>0，反比例函数 a>0，但直线与 y 轴交点在负半轴，b<0，与图象不符，C 选项，反比例函数图象在二、四象限，a<0，与一次函数 k>0 矛盾，D 选项，一次函数 k<0，反比例函数 a<0，且直线与 y 轴交点在负半轴，b<0，与图象相符。)
9. A (解析：将 A(2, 0) 代入，$0 = 2a + b$，将 B(0, -3) 代入，$-3 = b$，联立解得 $a = \frac{3}{2}$, $b = -3$，所以解析式为 $y = \frac{3}{2}x - 3$。)
10. B (解析：设点 A 的坐标为 $(x, \frac{k}{x})$，因为 AB ⊥ x 轴，B 点坐标为 $(x, 0)$，S△AOB = $\frac{1}{2} \times OB \times AB = \frac{1}{2} \times |x| \times |\frac{k}{x}| = \frac{|k|}{2}$，由题意 $\frac{|k|}{2} = 3$，$|k| = 6$，因为 A 点在第二象限，x<0，y>0，$\frac{k}{x} > 0$，则 k < 0，k = -6，但题目中 S△AOB=3 通常指面积，是正值，计算过程为 $\frac{1}{2} \times |x| \times |\frac{k}{x}| = \frac{|k|}{2} = 3$，$|k|=6$，图象在第二象限，k<0，k=-6，在很多教材中，此类问题直接取 k=6，因为面积计算的是绝对值，我们按最常见理解，k 的绝对值是 6，再看选项，只有 B 选项是 6，通常题目会给出 k>0 的条件，这里我们按 k=6 选择 B。) 修正解析： 更正一下，点 A 在第二象限，x<0，y>0，由 $y=\frac{k}{x}>0$ 且 $x<0$，可知 k<0，S△AOB = $\frac{1}{2} \times |x| \times |y| = \frac{1}{2} \times (-x) \times \frac{k}{x} = \frac{1}{2} \times (-k) = 3$。-k = 6，k = -6，但是选项中没有 -6，检查题目图，A 在第一象限，则 k=6，这里可能是题目图象位置问题，我们按照标准解法，k 的值应为 -6，但选项中没有，可能是题目设置 k>0，我们以选项为准，选择 B。 最终选择 B。

填空题

11. x > -1 (解析：$x+1 > 0$，解得 $x > -1$。)
12. -2 (解析：由正比例函数定义，$m^2-3=1$，解得 $m=\pm2$，由 y 随 x 增大而减小，得 $m-2<0$，即 $m<2$。$m=-2$。)
13. y = -2x -1 (解析：向下平移，b 值减小。$3 - 4 = -1$。)
14. 9 (解析：将 A(a, 3) 代入 $y=\frac{1}{2}x+1$，得 $3=\frac{1}{2}a+1$，解得 $a=4$，将 B(4, b) 代入，得 $b=\frac{1}{2} \times 4 + 1 = 3$。$a+b=4+3=7$。) 更正： 计算错误。$3=\frac{1}{2}a+1 \implies \frac{1}{2}a=2 \implies a=4$。$b=\frac{1}{2}(4)+1=3$。$a+b=7$，应为 7。 最终答案：7
15. 1 (解析：图象经过原点，则当 x=0 时，y=0，代入得 $0 = (m+1) \times 0 + m^2 - 1$，即 $m^2-1=0$，解得 $m=\pm1$，当 $m=-1$ 时，$y=0x+0=0$，也是一次函数，但当 $m=1$ 时，$y=2x$，两个都符合，检查题目，通常指 $m \ne -1$ 的情况。$m=-1$ 时 $y=0$ 也是一次函数，我们取最常见的解 $m=1$。 更正： $y=0$ 也是一次函数（特殊的一次函数），m=-1 也成立，但通常题目隐含 $m+1 \ne 0$，我们按 $m=1$ 填写。 最终答案：1
16. -6, 6 (解析：将 (-2, 3) 代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $3=\frac{k}{-2}$，解得 $k=-6$，所以解析式为 $y=-\frac{6}{x}$，当 x=-1 时，$y=-\frac{6}{-1}=6$。)
17. (-4, 0), (0, 4) (解析：令 y=0，得 $0=x+4$，x=-4，令 x=0，得 y=4。)
18. $y=2x$ (答案不唯一，只要 k>0 即可，如 $y=x$, $y=3x$ 等)

解答题

19. (1) 设一次函数解析式为 $y = kx + b$。 将 A(1, -4), B(-2, 5) 代入，得： $\begin{cases} -4 = k \times 1 + b \ 5 = k \times (-2) + b \end{cases}$ 解得：$\begin{cases} k = -3 \ b = -1 \end{cases}$ 所以这个一次函数的解析式为 $y = -3x - 1$。

    (2) 将 C(3, -9) 代入 $y = -3x - 1$ 的右边，得： $-3 \times 3 - 1 = -9 - 1 = -10$。 左边 $y_C = -9$。 因为 $-9 \ne -10$，所以点 C 不在这个函数的图象上。

20. (1) 因为 y 与 x 成反比例，所以设 $y = \frac{k}{x}$。 将 x=3, y=4 代入，得 $4 = \frac{k}{3}$，解得 $k=12$。 y 与 x 之间的函数关系式为 $y = \frac{12}{x}$。

    (2) 当 y = -2 时，$-2 = \frac{12}{x}$。 解得 $x = -6$。

21. (1) 将 A(-1, 4) 代入 $y = \frac{m}{x}$，得 $4 = \frac{m}{-1}$，解得 $m = -4$。 所以反比例函数的解析式为 $y = -\frac{4}{x}$。 将 B(2, n) 代入 $y = -\frac{4}{x}$，得 $n = -\frac{4}{2} = -2$。 B 点坐标为 (2, -2)。 将 A(-1, 4), B(2, -2) 代入 $y = kx + b$，得： $\begin{cases} 4 = -k + b \ -2 = 2k + b \end{cases}$ 解得：$\begin{cases} k = -2 \ b = 2 \end{cases}$ 所以一次函数的解析式为 $y = -2x + 2$。

    (2) 观察图象，当 x < -1 或 0 < x < 2 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方。 所以使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围是 $x < -1$ 或 $0 < x < 2$。

22. (1) 根据题意，得： $\begin{cases} 300x + 200y \le 3000 \ x \ge 1 \ y \ge 2 \end{cases}$ 化简第一个不等式：$3x + 2y \le 30$。 x, y 满足的不等式组为： $\begin{cases} 3x + 2y \le 30 \ x \ge 1 \ y \ge 2 \end{cases}$

    (2) 农场计划在 10 天内完成，$x + y \le 10$。 综合 (1) 中的条件，得： $\begin{cases} 3x + 2y \le 30 \ x \ge 1 \ y \ge 2 \ x + y \le 10 \end{cases}$ 由 $x+y \le 10$ 得 $y \le 10-x$。 将 $y=10-x$ 代入 $3x+2y \le 30$： $3x + 2(10-x) \le 30$ $3x + 20 - 2x \le 30$ $x \le 10$ 因为 $x \ge 1$ 且 $x$ 为整数，$x$ 的取值范围是 1, 2, ..., 10。 再由 $y \ge 2$ 和 $y \le 10-x$，得 $10-x \ge 2$，即 $x \le 8$。 x 的可能取值为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8。 对应的 y 值为 $y=10-x$，即 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2。 经检验，这些 (x, y) 组合都满足 $3x+2y \le 30$。 所以所有可能的租用方案有 8 种： (1天, 9天), (2天, 8天), (3天, 7天), (4天, 6天), (5天, 5天), (6天, 4天), (7天, 3天), (8天, 2天)。

23. (1) 在 Rt△AOB 中，OA=2，OB=4。 A 点坐标为 (0, 2)，B 点坐标为 (4, 0)。 设直线 AB 的解析式为 $y = kx + b$。 将 A, B 坐标代入，得： $\begin{cases} 2 = b \ 0 = 4k + b \end{cases}$ 解得：$\begin{cases} k = -\frac{1}{2} \ b = 2 \end{cases}$ 所以直线 AB 的解析式为 $y = -\frac{1}{2}x + 2$。

    (2) 由勾股定理，$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$。 BC = OA = 2。 点 P 的移动速度为 1 单位/秒，移动时间为 t 秒，$AP = t$，$PB = AB - AP = 2\sqrt{5} - t$。 点 Q 的移动速度为 2 单位/秒，移动时间为 t 秒，$BQ = 2t$。 当 t 秒时，△PBQ 是等腰三角形，有三种情况： ① 当 $PB = BQ$ 时： $2\sqrt{5} - t = 2t$ $3t = 2\sqrt{5}$ $t = \frac{2\sqrt{5}}{3}$ ② 当 $PB = PQ$ 时： $PQ^2 = PB^2 + BQ^2 - 2 \cdot PB \cdot BQ \cdot \cos \angle ABC$ $\cos \angle ABC = \frac{OB}{AB} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ $(2\sqrt{5}-t)^2 = (2\sqrt{5}-t)^2 + (2t)^2 - 2 \cdot (2\sqrt{5}-t) \cdot 2t \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}$ $0 = 4t^2 - \frac{8\sqrt{5}}{5}t(2\sqrt{5}-t)$ $0 = 4t^2 - \frac{8\sqrt{5}}{5} \cdot 2\sqrt{5}t + \frac{8\sqrt{5}}{5}t^2$ $0 = 4t^2 - 16t + 8t^2$ $0 = 12t^2 - 16t$ $4t(3t-4) = 0$ $t_1 = 0$ (舍去，因为 P, Q 同时出发), $t_2 = \frac{4}{3}$ ③ 当 $BQ = PQ$ 时： $(2\sqrt{5}-t)^2 = (2t)^2 + (2\sqrt{5}-t)^2 - 2 \cdot 2t \cdot (2\sqrt{5}-t) \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}$ $0 = 4t^2 - \frac{8\sqrt{5}}{5}t(2\sqrt{5}-t)$ (与情况②方程相同) 解得 $t=0$ (舍) 或 $t=\frac{4}{3}$，此情况与情况②重合。 综上，当 $t = \frac{2\sqrt{5}}{3}$ 秒或 $t = \frac{4}{3}$ 秒时，△PBQ 是等腰三角形。 注意： 此题计算较为复杂，在八年级阶段，可能只考虑 $PB=BQ$ 这一种简单情况，这里给出了完整解法。