北师大版七年级上册数学有理数怎么学？

第一章 有理数 (Rational Numbers)

本章主要围绕“数”的扩展展开，我们从熟悉的算术数（自然数、分数）扩展到了有理数，并引入了负数、数轴、相反数、绝对值等核心概念,最后学习了有理数的各种运算。

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第一部分：核心概念

这是本章的理论基础,必须深刻理解。

正数和负数

• 定义：
  • 像 +3, +1/2, +0.5 等带有“+”号的数（+”号可省略）叫做正数。
  • 像 -3, -1/2, -0.5 等带有“-”号的数叫做负数。
  • 0 既不是正数,也不是负数。
• 意义：用正数和负数可以表示具有相反意义的量。
  • 零上5℃ 记作 +5℃，零下5℃ 记作 -5℃。
  • 收入500元 记作 +500元，支出300元 记作 -300元。
  • 海平面以上8844.43米 记作 +8844.43米，海平面以下155米 记作 -155米。
• 易错点：带“+”号的数不一定是正数（如 +a 当 a 是负数时），带“-”号的数不一定是负数（如 -a 当 a 是负数时），但具体数字（如 +5, -3）的符号是固定的。

有理数

• 定义：整数和分数统称为有理数。
  • 整数：包括正整数、0、负整数。（如：..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...）
  • 分数：包括正分数、负分数。（如：-1/2, 3/4, -0.5, 2.1...）注意,小数是分数的特殊形式。
• 有理数的分类：
  • 按定义分：

    有理数 ┬ 整数 ┬ 正整数
           ├ 0
           └ 负整数
        └ 分数 ┬ 正分数
               └ 负分数

  • 按符号分：

    有理数 ┬ 正有理数 (正整数和正分数)
           └ 0
           └ 负有理数 (负整数和负分数)

数轴

• 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
• 三要素：缺一不可。
  • 原点：数轴上表示0的点。
  • 正方向：通常规定向右为正方向。
  • 单位长度：数轴上每相邻两个整数点之间的距离。
• 作用：
  1. 数形结合：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。
  2. 比较大小：数轴上的两个点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
  3. 运算基础：是理解相反数、绝对值和进行有理数运算的重要工具。

相反数

• 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。

  +5 和 -5 互为相反数；-3.2 和 +3.2 互为相反数。

• 几何意义：在数轴上，表示一对相反数的点（0除外）位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
• 性质：
  • 0的相反数是0。
  • a 的相反数是 -a。-a 的相反数是 a。-(-a) = a。

绝对值

• 定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离，叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。
• 求法：
  • 一个正数的绝对值是它本身。|+5| = 5
  • 一个负数的绝对值是它的相反数。|-5| = 5
  • 0的绝对值是0。|0| = 0
• 性质：
  • 任何有理数的绝对值都是非负数（即 ≥ 0）。
  • |a| = b (b ≥ 0)，a = b 或 a = -b。

有理数的大小比较

• 规则：
  1. 正数 > 0 > 负数。
  2. 两个正数，绝对值大的那个数大。
  3. 两个负数，绝对值大的那个数小。（这是难点，因为“绝对值大的反而小”）
• 方法：利用数轴比较最直观。

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第二部分：有理数的运算

这是本章的重点和难点,需要大量练习。

有理数的加法

• 法则：
  1. 同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
     • (+5) + (+3) = +8
     • (-5) + (-3) = -8
  2. 异号相加：取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
     • (+5) + (-3) = +2
     • (-5) + (+3) = -2
  3. 与0相加：仍得这个数。
     • a + 0 = a
• 运算律：
  • 加法交换律：a + b = b + a
  • 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
  • 技巧：利用运算律可以简化计算,特别是把互为相反数的数先相加。

有理数的减法

• 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
  • a - b = a + (-b)
  • 7 - 9 = 7 + (-9) = -2
  • (-3) - (-5) = (-3) + 5 = 2
• 注意：减法没有交换律和结合律。

有理数的乘法

• 法则：
  1. 符号：
     • 两数相乘，同号得正，异号得负。
     • 任何数与0相乘，都得0。
  2. 绝对值：把绝对值相乘。
• 运算律：
  • 乘法交换律：a × b = b × a
  • 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c （非常重要！）
• 倒数：乘积是1的两个数互为倒数。a × (1/a) = 1 (a ≠ 0)。

有理数的除法

• 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
  • a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
  • 8 ÷ (-2) = 8 × (-1/2) = -4
  • (-12) ÷ (1/3) = (-12) × 3 = -36
• 法则（二）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0。

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