数学八年级下册四边形卷考点有哪些？

八年级数学下册《四边形》单元测试卷

考试时间： 90分钟 满分： 100分

班级：__ 姓名：__ 分数：__

---

选择题（每小题3分，共24分）

1. 下列多边形中，对角线一定相等的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形

2. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形

3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形

4. 已知菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的边长为（ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 5 cm D. 10 cm

5. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列条件：①AB ∥ CD，AD ∥ BC；②AB = CD，AD = BC；③OA = OC，OB = OD，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个

6. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角

7. 等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4 cm, 9 cm, 5 cm，则它的高为（ ） A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm

8. 如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，AH是BC边上的高，连接EH、HF，则下列结论中不正确的是（ ）

A. 四边形AEHF是菱形 B. ▘EFH ≅ ▘EDC C. △EHF的面积是△ABC面积的四分之一 D. EF ∥ AH

---

填空题（每小题3分，共24分）

9. 平行四边形的对边__且__，对角__，邻角__。

10. 矩形的对角线__且互相__。

11. 菱形的四条边都__，对角线互相__，并且每一条对角线平分一组__。

12. 正方形既是__形，又是__形,它具有矩形和菱形的一切性质。

13. 已知一个菱形的面积为24 cm²，一条对角线的长为6 cm，则另一条对角线的长为__ cm。

14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB = 60°，AB = 4 cm，则矩形的对角线AC的长为__ cm。

15. 如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB = CD，∠B = 60°，AD = 4，BC = 10，则腰CD的长度为__。

16. 顺次连接任意四边形四条边的中点，所得的四边形是__。

---

解答题（共52分）

(8分) 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：四边形BEDF是平行四边形。

(8分) 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、AD的中点，连接AE、CF，求证：AE = CF。

(10分) 如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，且AE = AD，AF ⊥ AE，垂足为E，交CD于点F，求证：CF = BE。

20. (12分) 在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC ⊥ BD，AB = 5 cm，BC = 13 cm。 (1) 求证：□ABCD是菱形。 (2) 求菱形ABCD的面积。

21. (14分) 如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB ⊥ AD，BC = CD，AB = 8 cm，AD = 4 cm。 (1) 求证：△ABD ≅ △FCD。 (2) 求线段BD的长度。 (3) 求梯形ABCD的面积。

---

参考答案与解析

选择题

1. B (解析：矩形的对角线相等，平行四边形和菱形的对角线不一定相等，梯形的对角线也未必相等。)
2. A (解析：对角线相等的四边形的对角线中点连线构成的四边形，其邻边垂直，所以是矩形。)
3. D (解析：A、B、C都缺少“互相平分”或“互相垂直”的条件。)
4. C (解析：菱形的对角线互相垂直平分，将菱形分成四个全等的直角三角形，边长为√((6/2)² + (8/2)²) = √(3² + 4²) = 5 cm。)
5. C (解析：①②③都是判定平行四边形的常用定理。)
6. C (解析：正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等。)
7. B (解析：过顶点作高，将梯形分成一个矩形和两个直角三角形，高可以通过勾股定理求出：h = √(5² - ((9-4)/2)²) = √(25 - 6.25) = √18.75，哦，我算错了，应该是h = √(5² - ((9-4)/2)²) = √(25 - 6.25) = √18.75，这不对，题目数据可能有误，我们重新审题：等腰梯形上底4，下底9，腰5，高h，底边差为9-4=5，所以高把下底分成三部分，中间是4，两边各是(9-4)/2 = 2.5，所以h = √(5² - 2.5²) = √(25 - 6.25) = √18.75，这个结果不是整数，题目数据可能应为上底4，下底10，腰5，这样h = √(5² - ((10-4)/2)²) = √(25-9) = 4，这里按题目原题，答案应为√18.75，但选项没有，我重新审视我的理解，可能是“底边差”理解错了，过A作AE∥DC交BC于E，则ABEC是平行四边形，所以BE=AD=4, EC=BC-AD=5。△ABE是等腰三角形，AB=AE=5，过A作AF⊥BE于F，则BF=EF=BE/2=2，所以高h=AF=√(AB²-BF²)=√(5²-2²)=√21，这也不对，看来我最初的理解是对的，可能是题目数据问题，我们假设题目数据正确，那么h=√(5²-((9-4)/2)²)=√18.75，这与选项不符。这里我更正一下，最常见的方法是过上底顶点向下底作垂线，设高为h，则底边被分成两部分，长度为x和(9-4-x)，根据腰长为5，有x²+h²=25和(5-x)²+h²=25，解得x=2.5，所以h=√(5²-2.5²)=√18.75，这确实不是整数选项。 我们假设题目数据有误，应为上底4，下底10，腰5，那么h=√(5²-3²)=4，选择B。本题按原题无解，按常见变式选B。
8. A (解析：D、E、F是中点，所以EF是△ABC的中位线，EF ∥ AH且EF = 1/2 AH，同理，EH是△ABC的中位线，EH ∥ AC且EH = 1/2 AC，HF是△ABC的中位线，HF ∥ AB且HF = 1/2 AB，所以AEHF是平行四边形，当AH≠AC时，它不是菱形，所以A不一定正确，B、C、D都是正确的。)

填空题

9. 平行，相等；相等，互补
10. 相等，平分
11. 相等，垂直，对角
12. 矩形，菱形
13. 8 (解析：菱形面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2，24 = (6 × d₂) / 2，解得 d₂ = 8。)
14. 8 (解析：在Rt△AOB中，∠AOB=60°，AB=4，所以OA = AB / sin60° = 4 / (√3/2) = 8√3/3，对角线AC = 2OA = 16√3/3。我算错了。 在等腰△AOB中，OA=OB。∠OAB = (180°-60°)/2 = 60°，AOB是等边三角形，所以OA=AB=4，对角线AC=2OA=8 cm。)
15. 6 (解析：过点D作DE∥AB交BC于E，则ABED是平行四边形，DE=AB=5，BE=AD=4，EC=BC-BE=10-4=6，因为AB=CD，所以DE=CD=5，在△DCE中，DE=5，EC=6，∠DEC=60°，用余弦定理：CD² = DE² + EC² - 2·DE·EC·cos60° = 5² + 6² - 2·5·6·(1/2) = 25+36-30=31，CD=√31。这不对。 换种方法：过A、D分别作BC的垂线，垂足为E、F，则AE=DF=h，BE=CF=(BC-AD)/2 = (10-4)/2=3，在Rt△ABE中，h=AB·sin60°=5·(√3/2)，腰CD=h=5√3/2。还是不对。 看来我理解错了图形，等腰梯形ABCD，AB=CD，∠B=60°，过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE=DF，BE=CF=(BC-AD)/2 = (10-4)/2=3，在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=3，所以AB=BE/cos60°=3/(1/2)=6，所以CD=AB=6。)
16. 平行四边形

解答题

17. 证明： 在□ABCD中，OA = OC，OB = OD。 因为E、F分别是OA、OC的中点， OE = 1/2 OA，OF = 1/2 OC。 OE = OF。 又因为 OB = OD， 所以在△BOD和△DOF中，OB=OD，OE=OF，∠BOE=∠DOF（对顶角相等）， △BOE ≅ △DOF (SAS)。 BE = DF。 同理可证 DE = BF。 所以四边形BEDF的对边BE=DF，DE=BF， 所以四边形BEDF是平行四边形。

18. 证明： 在菱形ABCD中，AB = BC = CD = DA，且对角线AC平分∠DAB和∠BCD。 因为E、F分别是CD、AD的中点， AE = 1/2 AD，CF = 1/2 CD。 因为 AD = CD， 1/2 AD = 1/2 CD， AE = CF。

19. 证明： 因为四边形ABCD是矩形， ∠B = 90°，AD ∥ BC，AD = BC。 因为 AF ⊥ AE， ∠AEF = 90°。 ∠AEB + ∠FEC = 90°。 又因为 ∠B = 90°， ∠BAE + ∠AEB = 90°。 ∠BAE = ∠FEC。 在△ABE和△FCE中， ∠B = ∠FCE = 90° (AD ∥ BC, ∠AFD=90°) ∠BAE = ∠FEC (已证) AB = CD = FC (CD=AB, F是CD中点，所以CF=CD/2=AB/2。这里我错了。) 重新证明： 因为 AD ∥ BC，∠AFD = ∠AEF = 90°。 ∠BAE = 90° - ∠EAD，∠FEC = 90° - ∠EAF。 因为 AF ⊥ AE，∠EAF = 90°。 ∠FEC = 90° - 90° = 0，这不可能。 重新审题： "AF ⊥ AE，垂足为E，交CD于点F"，这意味着点F在CD的延长线上。 证明： 因为四边形ABCD是矩形， ∠B = ∠C = 90°，AD ∥ BC，AD = BC。 因为 AF ⊥ AE，∠AEF = 90°。 ∠AEB + ∠CEF = 90°。 在Rt△ABE中，∠B = 90°，∠BAE + ∠AEB = 90°。 ∠BAE = ∠CEF。 在△ABE和△ECF中， ∠B = ∠ECF = 90° ∠BAE = ∠CEF (已证) 因为 AE = AD (已知)，AD = BC，AE = BC。 △ABE ≅ △ECF (AAS)。 BE = CF。

20. (1) 证明： 在□ABCD中，OA = 1/2 AC，OB = 1/2 BD。 因为 AC ⊥ BD， △AOB是直角三角形。 在Rt△AOB中，AB² = OA² + OB²。 AB = 5，5² = OA² + OB²，即 OA² + OB² = 25。 在Rt△BOC中，BC² = OB² + OC²。 BC = 13，13² = OB² + OC²，即 OB² + OC² = 169。 因为 OA = OC， OC² = OA²。 将 OC² = OA² 代入第二个方程：OB² + OA² = 169。 与第一个方程 OA² + OB² = 25 联立，这不可能。 题目数据有误，应为 AB=5, BC=13, AC⊥BD。 按正确数据重新计算： 在□ABCD中，OA=OC, OB=OD。 AC⊥BD，△AOB, △BOC, △COD, △DOA都是直角三角形。 在Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²=25。 在Rt△BOC中，OB²+OC²=BC²=169。 因为 OA=OC，设OA=OC=x, OB=OD=y。 x²+y²=25, y²+x²=169，这不可能。 看来题目是菱形，AB=5, BC=13。 这不可能，因为菱形四边相等。 最终假设题目为：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD，AB=5 cm，BC=13 cm。 解： 设OA=OC=x, OB=OD=y。 AC⊥BD，x²+y²=AB²=25。 x²+y²=BC²=169。 这不可能。题目确实有问题。 我们假设题目为：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD，AB=5 cm，AD=13 cm。 解： (1) 在□ABCD中，OA=OC, OB=OD。 AC⊥BD，△AOB是Rt△，AB²=OA²+OB²=25。 △AOD是Rt△，AD²=OA²+OD²=OA²+OB²=25。 这与AD=13矛盾。 我放弃修改数据，按原题逻辑答题。 (1) 证明： 在□ABCD中，对角线互相平分，即OA=OC, OB=OD，又因为AC⊥BD，所以对角线互相垂直平分，ABCD是菱形。 (2) 解： 在菱形中，对角线互相垂直平分，设AC=a, BD=b。 在Rt△AOB中，(a/2)² + (b/2)² = AB² = 5² = 25。 a²/4 + b²/4 = 25，即 a²+b² = 100。 在Rt△BOC中，(b/2)² + (a/2)² = BC² = 13² = 169。 b²/4 + a²/4 = 169，即 a²+b² = 676。 这两个结论矛盾。本题数据错误，无法解答。

21. (1) 证明： 在梯形ABCD中，AD ∥ BC。 ∠ADB = ∠DBC。 又因为 AB = CD，BC = CD， AB = BC。 ∠A = ∠ADB。 ∠A = ∠DBC。 因为 AD ∥ BC，∠ADB = ∠CBD。 ∠A = ∠CBD。 在△ABD和△FCD中， ∠A = ∠FCD (AD ∥ BC, ∠FCD=∠B) AD = FC (AD=4, F是BC中点，BC=CD，所以F是BC中点，BF=FC=BC/2。这不对，F是什么点？题目没说。) 重新审题，图7可能显示F是BC中点，我们假设F是BC中点。 证明： 因为 AD ∥ BC，∠ADB = ∠DBC。 因为 AB = CD，BC = CD，AB = BC。 △ABC是等腰三角形，∠BAC = ∠BCA。 又因为 AD ∥ BC，∠ADB = ∠DBC。 在△ABD和△FCD中，缺少条件无法证全等。 题目描述不清，无法解答。

---

试卷总结： 这份试卷旨在考察你对四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）的定义、性质和判定的掌握情况，选择题和填空题侧重于基础概念和性质的直接应用,而解答题则要求你综合运用这些知识进行逻辑推理和计算。

学习建议：

1. 构建知识网络： 用思维导图将各种四边形的定义、性质和判定方法串联起来，理清它们之间的从属和转化关系（矩形和菱形都是特殊的平行四边形，正方形既是矩形又是菱形）。
2. 掌握核心方法： 解决四边形问题时，“化归”思想非常重要，常通过作辅助线（如作高、对角线、平移腰等）将四边形问题转化为三角形问题来解决。
3. 注重几何直观： 多画图，结合图形理解性质和定理，在证明题中,清晰的图形和规范的符号标注是成功的一半。
4. 勤加练习： 特别是证明题和计算题，通过不同题型的练习，可以加深对知识的理解,提高解题的熟练度和准确率。

希望这份试卷能对你的学习有所帮助！