八年级上册数学典型例题有哪些考点？
校园之窗 2025年12月15日 01:58:30 99ANYc3cd6
第一章 全等三角形
全等三角形是几何证明的基础,核心是掌握四种判定方法并能灵活运用。
核心知识点
- 判定公理/定理：SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、SSS（边边边）。
- 判定直角三角形：HL（斜边直角边）。
- 重要性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等。
- 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
典型例题
例题1：利用SAS证明全等（结合中点、高线等） 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF。 求证：AD是∠BAC的角平分线。
分析： 要证明AD是角平分线，根据角平分线的性质定理，只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF，而已知BE=CF，我们可以通过证明△BDE ≌ △CDF来得到DE=DF。
证明： 在△BDE和△CDF中：
- BD = CD (因为AD是中线)
- ∠BDE = ∠CDF = 90° (因为DE⊥AB, DF⊥AC)
- BE = CF (已知) ∴ △BDE ≌ △CDF (SAS) ∴ DE = DF (全等三角形的对应边相等) 又因为DE⊥AB，DF⊥AC，即D到AB、AC的距离相等， ∴ AD是∠BAC的角平分线 (角平分线的判定)。
小结：本题是“SAS”判定和角平分线性质的综合应用,关键在于将证明角平分线的问题转化为证明线段相等问题。
例题2：利用“SSA”的陷阱与“AAS”的应用 下列命题中，错误的是： A. 两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。 B. 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 C. 两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 D. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等。
分析：
- A选项描述的是“SSA”（边边角），这是不能作为判定全等的依据的，这是一个经典的“陷阱”，一个锐角三角形和一个钝角三角形可以满足SSA,但它们不全等。
- B选项描述的是“AAS”（角角边）,这是正确的判定定理。
- C选项描述的是“SAS”（边角边）,也是正确的判定定理。
- D选项是正确的，因为AAA只能保证形状相同，大小不一定相同（相似但不全等）。
答案：A
小结：必须牢记全等判定的四个公理/定理，特别要记住“SSA”和“AAA”不能作为判定依据,这是考试中的高频考点。
第二章 轴对称
轴对称是几何变换的重要内容，与函数、几何证明联系紧密。
核心知识点
- 性质：对应点所连线段被对称轴垂直平分；对应线段相等,对应角相等。
- 常见图形的对称轴：线段（1条）、角（1条）、等腰三角形（1条）、等边三角形（3条）、矩形（2条）、菱形（2条）、正方形（4条）。
- 最短路径问题：利用“两点之间，线段最短”和轴对称的性质，将“折线”问题转化为“直线”问题。
典型例题
例题3：将军饮马问题（最短路径） 如图，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小。
分析： 这是一个经典的轴对称应用问题，直接在直线上找点很难，我们可以利用轴对称将其中一个点“反射”到另一侧。
作法与证明：
- 作点A关于直线l的对称点A'。
- 连接A'B,与直线l的交点即为所求的点P。
- 理由：在直线l上任取异于P的点P'，连接A'P', AP, BP。
- 因为A'是A关于l的对称点，所以AP = A'P，BP' = BP'。
- ∴ PA + PB = PA' + PB = A'B。
- 而 P'A + P'B = P'A' + P'B > A'B (两点之间线段最短)。
- ∴ 当点P为A'B与l的交点时，PA+PB最小。
小结：解决这类问题的关键是找到对称轴，利用轴对称变换将“折线”拉直，从而利用“两点之间线段最短”原理求解。
第三章 勾股定理
勾股定理是几何计算的基石，在后续的解直角三角形、坐标系中都有广泛应用。
核心知识点
- ：在Rt△ABC中，∠C=90°，则 $a^2 + b^2 = c^2$。
- 逆定理：如果三角形的三边长a, b, c满足 $a^2 + b^2 = c^2$,那么这个三角形是直角三角形。
- 应用：已知直角三角形的两边，求第三边；判断一个三角形是否为直角三角形。
典型例题
例题4：勾股定理与面积结合 如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，若S₁=4，S₂=9，求S₃的值。
分析： S₁和S₂分别是两条直角边上的正方形面积，所以可以求出两条直角边的长度，然后利用勾股定理求出斜边的长度，最后求出斜边上正方形的面积S₃。
解答： 设直角边长为a, b，斜边长为c。 根据题意，$a^2 = S_1 = 4$，$a = 2$。 $b^2 = S_2 = 9$，$b = 3$。 根据勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$， 即 $4 + 9 = c^2$，$c^2 = 13$。 而 $S_3 = c^2$， $S_3 = 13$。
小结：要理解正方形的面积与边长的平方之间的关系,这是勾股定理的直接应用。
第四章 实数
实数是数系的又一次扩展，重点是理解无理数的概念和平方根、立方根的运算。
核心知识点
- 无理数：无限不循环小数，如 $\sqrt{2}$, $\pi$, 0.1010010001... (两个1之间0的个数依次加1)。
- 平方根：若 $x^2=a$，则x是a的平方根，正数有两个平方根（一正一负），它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
- 算术平方根：正数的正的平方根，记作 $\sqrt{a}$,它是一个非负数。
- 立方根：若 $x^3=a$，则x是a的立方根，任何数（正、负、0）都有且只有一个立方根。
典型例题
例题5：实数运算与估算 计算：$\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{2}$
分析： 直接计算比较困难，但可以先将每个根式化成最简二次根式,看看是否可以合并。
解答： $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ $\sqrt{2} = \sqrt{2}$ 原式 = $3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (3-2+1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
小结：二次根式的加减运算，核心是“先化简，后合并”,化简的关键是把被开方数中的完全平方数开出来。
第五章 一次函数
函数是数学从“常量”到“变量”的飞跃,是代数与几何的完美结合。
核心知识点
- 正比例函数：$y=kx$ (k≠0),图像是过原点的直线。
- 一次函数：$y=kx+b$ (k≠0)，图像是直线。
- k（斜率）：决定直线的倾斜方向和角度，k>0，y随x的增大而增大；k<0,y随x的增大而减小。
- b（截距）：直线与y轴的交点坐标为(0, b)。
- 待定系数法：通过求出k和b的值来确定函数解析式。
- 一次方程与一次函数的关系：一次函数 $y=kx+b$ 的图像与x轴的交点坐标是($-\frac{b}{k}$, 0)，也就是方程 $kx+b=0$ 的解。
典型例题
例题6：利用待定系数法求一次函数解析式 已知一次函数的图像经过点A(1, 3)和B(-2, -3)。 (1) 求这个一次函数的解析式。 (2) 求这个函数的图像与x轴、y轴的交点坐标。 (3) 判断点P(2, 5)是否在这个函数的图像上。
分析： (1) 将A、B两点坐标代入 $y=kx+b$，解关于k, b的方程组即可。 (2) 令y=0求x轴交点，令x=0求y轴交点。 (3) 将P点坐标代入解析式,看等式是否成立。
解答： (1) 将A(1, 3), B(-2, -3)代入 $y=kx+b$ 得： $\begin{cases} 3 = k \cdot 1 + b \ -3 = k \cdot (-2) + b \end{cases}$ 解得：$\begin{cases} k=2 \ b=1 \end{cases}$ 函数解析式为 $y=2x+1$。
(2) 令 y=0，则 $0=2x+1$，解得 $x=-\frac{1}{2}$。 与x轴交点为 $(-\frac{1}{2}, 0)$。 令 x=0，则 $y=2 \cdot 0 + 1 = 1$。 与y轴交点为 $(0, 1)$。
(3) 将P(2, 5)代入解析式 $y=2x+1$： 右边 = $2 \times 2 + 1 = 5$，左边 = 5。 左边 = 右边,所以点P在函数图像上。
小结：待定系数法是求函数解析式的通法，核心是“代入”和“解方程组”。
第六章 数据的分析
本章主要学习如何描述一组数据的集中趋势和波动大小。
核心知识点
- 平均数：所有数据之和除以数据的个数,受极端值影响较大。
- 中位数：将数据从小到大排列，位于最中间位置的数（或最中间两个数的平均数）,不受极端值影响。
- 众数：一组数据中出现次数最多的数。
- 方差：衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据越不稳定；方差越小，数据越稳定，公式：$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + ... + (x_n-\bar{x})^2]$。
典型例题
例题7：平均数、中位数、众数的实际应用 某公司招聘员工，对甲、乙两位应聘者进行了面试和笔试，成绩（百分制）如下表： | 应聘者 | 面试成绩 | 笔试成绩 | | :---: | :---: | :---: | | 甲 | 88 | 92 | | 乙 | 94 | 85 | 公司规定：综合成绩 = 面试成绩 × 40% + 笔试成绩 × 60%，请计算甲、乙两人的综合成绩,并从中选出一位录用者。
分析：给出的加权平均数公式，分别计算甲、乙的综合成绩,然后比较大小。
解答： 甲的综合成绩 = $88 \times 40\% + 92 \times 60\% = 35.2 + 55.2 = 90.4$ (分) 乙的综合成绩 = $94 \times 40\% + 85 \times 60\% = 37.6 + 51 = 88.6$ (分) 因为 $90.4 > 88.6$,所以应该录用甲。
小结：本题是加权平均数的直接应用，关键在于理解不同数据在整体中所占的“权重”不同。
学习建议
- 几何部分：多画图、勤思考，几何证明题的辅助线是难点，要善于分析已知条件和求证结论,尝试将分散的条件集中到某个三角形中。
- 代数部分：函数是重点也是难点，要理解函数的“数形结合”思想，即解析式（代数）和图像（几何）可以相互转化，多做练习,熟悉各种函数图像和性质。
- 计算部分：实数和数据分析的计算，要细心、耐心,注意运算顺序和符号问题。
- 错题本：准备一个错题本，将做错的典型例题（尤其是证明题和函数综合题）整理下来，分析错误原因，定期回顾,效果显著。
希望这些典型例题和学习建议能对你的八年级数学学习有所帮助！加油！
