七年级下册数学实数计算题怎么算？

校园之窗 2025年12月12日 17:31:40 99ANYc3cd6 1 0

第一部分：核心概念与性质

在开始计算前,请务必牢记以下几个核心概念：

平方根与算术平方根
（图片来源网络，侵删）
- 如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x² = a，x 就叫做 a 的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
- 那个正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作 √a。
- 0 的平方根和算术平方根都是 0。
- 负数没有平方根。
立方根
- 如果一个数 x 的立方等于 a，即 x³ = a，x 就叫做 a 的立方根。
- 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
- 任何实数（正数、负数、0）都有且仅有一个立方根。
重要公式
- √a² = |a| (a为任意实数)
- (√a)² = a (a≥0)
- ³√a³ = a (a为任意实数)

第二部分：经典计算题分类详解

平方根与算术平方根的计算

主要考察对平方根和算术平方根概念的理解。

例题 1：求下列各数的平方根和算术平方根。 (1) 49 (2) 121 (3) 0 (4) 0.81 (5) 2

（图片来源网络，侵删）

解题思路：

平方根：找到哪个数的平方等于这个数，注意正负两个答案。
算术平方根：只取那个正的平方根。

答案： (1) 49 的平方根是 ±7，算术平方根是 7。 (因为 7² = 49，(-7)² = 49) (2) 121 的平方根是 ±11，算术平方根是 11。 (3) 0 的平方根是 0，算术平方根是 0。 (4) 81 的平方根是 ±0.9，算术平方根是 9。 (因为 9² = 0.81) (5) 2 的平方根是 ±√2，算术平方根是 √2。 (注意：√2 是一个无限不循环小数，我们保留根号形式)

化简含根号的式子

主要考察 √a² = |a| 的应用。

例题 2：化简下列各式。 (1) √(-3)² (2) √(π - 4)² (3) √(x - 5)² (x < 5)

解题思路：

根据 √a² = |a|，先把根号平方的部分看成一个整体 a。
然后判断 a 的正负，去掉绝对值符号。

答案： (1) √(-3)² = |-3| = 3 (2) √(π - 4)² = |π - 4|

因为 π ≈ 3.14，π - 4 < 0。
|π - 4| = -(π - 4) = 4 - π (3) √(x - 5)² = |x - 5|
题目给出条件 x < 5，x - 5 < 0。
|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x

立方根的计算

立方根的计算比平方根简单,因为任何数都有且只有一个立方根。

例题 3：求下列各数的立方根。 (1) 27 (2) -64 (3) 0 (4) 0.125 (5) -1

解题思路：

找到哪个数的立方等于这个数,注意符号：正数的立方根为正，负数的立方根为负。

答案： (1) 27 的立方根是 3。 (因为 3³ = 27) (2) -64 的立方根是 -4。 (因为 (-4)³ = -64) (3) 0 的立方根是 0。 (4) 125 的立方根是 5。 (因为 5³ = 0.125) (5) -1 的立方根是 -1。

实数的混合运算

这是实数计算的核心,要遵循运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的。

例题 4：计算下列各题。 (1) √16 + ³√(-8) - |√9 - 4| (2) √25 × √4 - ³√27 (3) (√5 - 1)² + √(1 - 2×1×√5 + (√5)²) (提示：仔细观察第二个根号里的式子)

解题思路：

分步计算,先算出每个根号和绝对值的结果，再进行四则运算。
注意运算符号和括号。

答案： (1) √16 + ³√(-8) - |√9 - 4|

= 4 + (-2) - |3 - 4|
= 4 - 2 - |-1|
= 2 - 1
= 1

(2) √25 × √4 - ³√27

= 5 × 2 - 3
= 10 - 3
= 7

(3) (√5 - 1)² + √(1 - 2×1×√5 + (√5)²)

第一步：展开 (√5 - 1)²
- = (√5)² - 2 × √5 × 1 + 1²
- = 5 - 2√5 + 1
- = 6 - 2√5
第二步：化简根号部分 √(1 - 2×1×√5 + (√5)²)
- 观察根号内,它完全符合 (a - b)² = a² - 2ab + b² 的形式，a=1, b=√5。
- √(1 - 2×1×√5 + (√5)²) = √( (1 - √5)² )
- = |1 - √5|
- 因为 √5 ≈ 2.236 > 1，1 - √5 < 0。
- = -(1 - √5) = √5 - 1
第三步：将两部分相加
- = (6 - 2√5) + (√5 - 1)
- = 6 - 1 - 2√5 + √5
- = 5 - √5