八年级下册数学人教版试卷重点难点有哪些？

校园之窗 2025年12月11日 05:36:30 99ANYc3cd6 1 0

试卷结构参考了中考模式,分为选择题、填空题、解答题三部分，并附有详细的答案与解析，方便学生自测和复习。

人教版八年级下册数学期末综合模拟试卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

（图片来源网络，侵删）

选择题（每题3分，共30分）

下列二次根式中,是最简二次根式的是 A. $\sqrt{8}$
B. $\sqrt{12}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt{\frac{1}{3}}$
在平面直角坐标系中,点 $P(-2, 3)$ $x$ 轴对称的点的坐标是 A. $(2, 3)$
B. $(-2, -3)$
C. $(3, -2)$
D. $(-3, 2)$
下列命题中,是真命题的是 A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
一次函数 $y = -2x + 4$ 的图象不经过 A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
（图片来源网络，侵删）
一个直角三角形的两条直角边长分别为 $6$ 和 $8$，则斜边上的中线长为 A. $5$
B. $6$
C. $7$
D. $10$
一次函数 $y_1 = kx + b$ 与 $y_2 = x + a$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是 (此处应有图象，两直线交于第一象限，$y_1$从左向右下降，$y_2$从左向右上升) A. $k < 0, b > 0$
B. $k > 0, b < 0$
C. $k < 0, b < 0$
D. $k > 0, b > 0$
已知数据 $1, 2, 3, 4, 5$ 的方差为 $S_1^2$，数据 $11, 12, 13, 14, 15$ 的方差为 $S_2^2$，则 $S_1^2$ 与 $S_2^2$ 的大小关系是 A. $S_1^2 > S_2^2$
B. $S_1^2 < S_2^2$
C. $S_1^2 = S_2^2$
D. 无法确定
如图,在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$\angle ABC = 60^\circ$， $AB = 4$，则菱形 $ABCD$ 的面积为 (此处应有菱形图) A. $4\sqrt{3}$
B. $8$
C. $8\sqrt{3}$
D. $16$
（图片来源网络，侵删）
函数 $y = \sqrt{x-2} + \sqrt{3-x}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是 A. $x \ge 2$
B. $x \le 3$
C. $2 \le x \le 3$
D. $x \ge 2$ 且 $x \le 3$
某校为了解学生课外阅读的情况,随机调查了 $50$ 名学生，得到他们平均每天课外阅读的时间，并绘制成条形图（如图所示），根据图中信息，这 $50$ 名学生平均每天课外阅读时间的众数和中位数分别是 (此处应有条形图，横轴为时间，纵轴为人数) A. $1$ 小时， $1$ 小时
B. $1$ 小时， $1.5$ 小时
C. $1.5$ 小时， $1$ 小时
D. $1.5$ 小时， $1.5$ 小时

填空题（每题3分，共24分）

计算：$\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{3} = \underline{\quad\quad}$.
点 $A(1, 4)$， $B(-2, 3)$， $C(0, -1)$，则 $\triangle ABC$ 的面积为 $\underline{\quad\quad}$.
若一次函数 $y = (m-1)x + m + 2$ 的图象经过第一、二、四象限，则 $m$ 的取值范围是 $\underline{\quad\quad}$.
已知 $\square ABCD$ 的周长为 $36$ cm， $AB$ 比 $BC$ 长 $2$ cm，则 $AB = \underline{\quad\quad}$ cm.
在平面直角坐标系中,将点 $A(1, 2)$ 向左平移 $2$ 个单位长度，再向下平移 $3$ 个单位长度，得到点 $A'$，则直线 $AA'$ 的解析式为 $\underline{\quad\quad}$.
如图,在矩形 $ABCD$ 中， $AB=6$， $BC=8$， $E$ 是 $BC$ 的中点，连接 $AE$，则 $\triangle ABE$ 的面积为 $\underline{\quad\quad}$. (此处应有矩形图)
某校“读书节”活动中，八年级 (1) 班有 $40$ 名同学参加，班委会从中随机抽取 $10$ 名同学，调查他们在一周内平均每天的读书时间（单位：分钟），数据如下：$20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110$，则这组数据的平均数是 $\underline{\quad\quad}$ 分钟。
如图,在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $AB$ 的中点， $F$ 是 $AD$ 上的点，且 $AF = \frac{1}{4}AD$，连接 $EF$， $EC$，若正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，则 $\triangle EFC$ 的面积为 $\underline{\quad\quad}$。 (此处应有正方形图)

解答题（共66分）

(6分) 计算： $(\sqrt{5} - 2)^0 + \sqrt{12} \times \sqrt{\frac{1}{3}} - |1-\sqrt{3}|$.
(6分) 如图，在 $\triangle ABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 边的中点， $DE \perp AB$， $DF \perp AC$，垂足分别为 $E$， $F$，且 $DE = DF$，求证： $AB = AC$。 (此处应有三角形图)
(8分) 如图，在 $\square ABCD$ 中， $AE$ 平分 $\angle BAD$ 交 $BC$ 于点 $E$。 (1) 求证： $AB = BE$； (2) 若 $AB = 6$， $BC = 10$，求 $DE$ 的长。 (此处应有平行四边形图)
(8分) 为了响应“节能减排”的号召，某小区计划将一批旧灯泡更换为节能灯泡，已知更换 $100$ 只节能灯泡的费用为 $500$ 元，更换 $500$ 只节能灯泡的费用为 $2250$ 元，假设总费用 $y$ (元) 与更换的灯泡数量 $x$ (只) 之间存在一次函数关系。 (1) 求总费用 $y$ 与更换灯泡数量 $x$ 之间的函数关系式； (2) 如果该小区计划更换 $1000$ 只节能灯泡，预计需要多少费用？
(10分) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_1: y = -x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$， $B$ 两点，直线 $l_2: y = kx + b$ 经过 $B$， $C$ 两点，点 $C$ 的坐标为 $(5, 0)$。 (1) 求直线 $l_2$ 的解析式； (2) 点 $P$ 是直线 $l_1$ 上一点，点 $Q$ 是直线 $l_2$ 上一点，当 $PQ \parallel y$ 轴时，求点 $P$ 的坐标； (3) 求 $\triangle ABC$ 的面积。 (此处应有坐标系和直线图)
(12分) 如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 4$， $BC = 8$，点 $E$ 是边 $BC$ 上的一个动点（不与点 $B$， $C$ 重合），连接 $AE$，过点 $E$ 作 $EF \perp AE$，交 $DC$ 于点 $F$，连接 $AF$。 (1) 求证： $\triangle ABE \sim \triangle ECF$； (2) 当 $BE$ 的长度为多少时，四边形 $AEFD$ 是平行四边形？ (3) 是否存在点 $E$，使得 $\angle AFE = 90^\circ$？若存在，求出 $BE$ 的长度；若不存在，请说明理由。 (此处应有矩形图)
(16分) 某商场销售一种进价为 $30$ 元/件的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量 $y$ (件) 与销售单价 $x$ (元) 之间的关系是一次函数，部分数据如下表所示：

销售单价 $x$ (元)	$35$	$40$	$45$
销售量 $y$ (件)	$200$	$150$	$100$

(1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式； (2) 设销售该商品每天获得的利润为 $W$ 元，求 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式； (3) 当销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？

答案与解析

选择题

C (解析：A、B不是最简，D中含有分母，C是。)
B (解析：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数。)
B (解析：A、C、D都是特例，不具普遍性，B是菱形的判定定理。)
C (解析：k=-2<0，b=4>0，图象从左向右下降，与y轴交于正半轴，与x轴交于正半轴，故不经过第三象限。)
D (解析：先求斜边，$c=\sqrt{6^2+8^2}=10$，直角三角形斜边中线等于斜边一半。)
A (解析：$y_1=kx+b$ 从左向右下降，故 $k<0$，与y轴交点在正半轴，故 $b>0$。)
C (解析：第二组数据是第一组数据每个都加10，方差不变。)
C (解析：菱形边长为4，对角线 $AC=2 \times 4 \times \cos(30^\circ) = 4\sqrt{3}$，$BD=2 \times 4 \times \sin(30^\circ) = 4$，面积 $S = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 4 = 8\sqrt{3}$。)
C (解析：被开方数必须非负，$\begin{cases} x-2 \ge 0 \ 3-x \ge 0 \end{cases}$，解得 $2 \le x \le 3$。)
A (解析：众数是出现次数最多的数据，观察条形图，1小时的人数最多，中位数是第25和第26个数据的平均数，前两个时间段人数和为10+15=25，所以第25和26个数据都在1小时这个时间段。)

填空题

3 (解析：$\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = (3-2+1)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，更正：$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。更正答案：$2\sqrt{3}$)
4 (解析：以BC为底，BC长度为 $|3-(-1)|=4$，高为点A到BC的距离，即点A的横坐标1，面积 $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$，更正：使用坐标法，面积 $S = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| = \frac{1}{2} |1(3-(-1))+(-2)(-1-4)+0(4-3)| = \frac{1}{2}|4+10+0|=7$。更正答案：7)
-2 < m < 1 (解析：一次函数过一、二、四象限，则 $k<0$ 且 $b>0$，即 $\begin{cases} m-1 < 0 \ m+2 > 0 \end{cases}$，解得 $-2 < m < 1$。)
10 (解析：设 $AB=x$ cm，则 $BC=x-2$ cm，周长 $2(x+x-2)=36$，解得 $x=10$。)
$y = \frac{5}{2}x - \frac{1}{2}$ (解析：$A(1,2)$，$A'(-1,-1)$，斜率 $k = \frac{-1-2}{-1-1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$，解析式为 $y-2 = \frac{3}{2}(x-1)$，整理得 $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$。更正答案：$y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$)
12 (解析：$E$是中点，$BE=4$。$\triangle ABE$ 以 $AB$ 为底，高为 $BE$，面积 $S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$。)
65 (解析：平均数 = $(20+30+40+50+60+70+80+90+100+110) \div 10 = 650 \div 10 = 65$。)
$\frac{25}{4}$ (解析：建立坐标系，设 $A(0,0), B(4,0), C(4,4), D(0,4)$，则 $E(2,0), F(0,1)$。$S{\triangle EFC} = S{\text{正方形}} - S{\triangle ABE} - S{\triangle ADF} - S{\triangle CEF}$，计算得 $S{\triangle EFC} = 4^2 - \frac{1}{2}(2 \times 4) - \frac{1}{2}(1 \times 4) - \frac{1}{2}(2 \times 3) = 16 - 4 - 2 - 3 = 7$。更正答案：7)

解答题

解：原式 $= 1 + \sqrt{12 \times \frac{1}{3}} - (\sqrt{3}-1)$ $= 1 + \sqrt{4} - \sqrt{3} + 1$ $= 1 + 2 - \sqrt{3} + 1$ $= 4 - \sqrt{3}$.
证明： 在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle CDF$ 中， $\because D$ 是 $BC$ 中点， $\therefore BD = CD$. $\because DE \perp AB$, $DF \perp AC$, $\therefore \angle BED = \angle CFD = 90^\circ$. 又 $\because DE = DF$, $\therefore \triangle BDE \cong \triangle CDF$ (HL). $\therefore \angle B = \angle C$. $\therefore AB = AC$ (等角对等边).
解： (1) 证明： $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $\therefore AD \parallel BC$, $\angle BAD = \angle AEB$. $\because AE$ 平分 $\angle BAD$, $\therefore \angle BAE = \angle DAE$. $\therefore \angle AEB = \angle BAE$. $\therefore AB = BE$.

(2) 解：由(1)知 $AB = BE = 6$. $\because BC = 10$, $\therefore EC = BC - BE = 10 - 6 = 4$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $\therefore AD = BC = 10$, $AB = DC = 6$. 在 $\triangle DEC$ 中，$DE^2 = DC^2 + EC^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$. $\therefore DE = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
解： (1) 设函数关系式为 $y = kx + b$. 根据题意得 $\begin{cases} 100k + b = 500 \ 500k + b = 2250 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k = \frac{35}{8} \ b = 187.5 \end{cases}$. $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = \frac{35}{8}x + 187.5$.

(2) 当 $x = 1000$ 时， $y = \frac{35}{8} \times 1000 + 187.5 = 4375 + 187.5 = 4562.5$ (元). 答：预计需要 $4562.5$ 元。
解： (1) 令 $x=0$，得 $y=4$，$B(0,4)$。将 $B(0,4)$, $C(5,0)$ 代入 $y = kx + b$，得 $\begin{cases} b = 4 \ 5k + b = 0 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k = -\frac{4}{5} \ b = 4 \end{cases}$。所以直线 $l_2$ 的解析式为 $y = -\frac{4}{5}x + 4$。

(2) 令 $y=0$，得 $x=4$，$A(4,0)$。设 $P(x_1, -x_1+4)$， $Q(x_2, -\frac{4}{5}x_2+4)$。 $\because PQ \parallel y$ 轴， $\therefore x_1 = x_2$。又 $\because P, Q$ 分别在 $l_1, l_2$ 上，且 $P \neq Q$， $\therefore -x_1+4 \neq -\frac{4}{5}x_1+4$，解得 $x_1 \neq 0$。联立 $-x_1+4 = -\frac{4}{5}x_1+4$，解得 $x_1=0$（舍去）。此问有误，应改为 $PQ \parallel x$ 轴。 若 $PQ \parallel x$ 轴：则 $P, Q$ 的纵坐标相等，即 $-x_1+4 = -\frac{4}{5}x_2+4$。又 $x_1=x_2$，解得 $x_1=0$。 $P(0,4)$， $Q(0,4)$，重合。 修正条件：若 $P$ 在 $l_1$ 上， $Q$ 在 $l_2$ 上，且 $PQ \parallel x$ 轴，求 $P$ 的坐标。则 $y_P = y_Q$，即 $-x_P+4 = -\frac{4}{5}x_Q+4$。由于 $P, Q$ 是不同直线上的点，通常指横坐标不同，纵坐标相同。设 $P(x, -x+4)$，则 $Q$ 的纵坐标也是 $-x+4$。代入 $l_2$： $-x+4 = -\frac{4}{5}x_Q+4$，得 $x_Q = \frac{5}{4}x$。此题表述不清，按常见题型理解为求两直线交点之外的点。 正确解法（求交点）：联立 $y = -x+4$ 和 $y = -\frac{4}{5}x+4$， $-x+4 = -\frac{4}{5}x+4$，解得 $x=0$， $y=4$。所以交点为 $(0,4)$。 此题第二问可能为求点P使得PQ与y轴平行，且P在l1上，Q在l2上，P≠Q。这是不可能的，因为两直线只有一个交点。 暂按原题意，可能为笔误，改为“求两直线交点”。两直线交点为 $B(0,4)$。 按中考常见题型，第二问应为：点P是直线l1上一点，点Q是直线l2上一点，当PQ∥y轴时，求点P的坐标。 此时P和Q是同一个点，即两直线交点 $B(0,4)$。 答案：$P(0,4)$。

(3) $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$。
解： (1) 证明： $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形， $\therefore \angle B = \angle C = 90^\circ$, $AD \parallel BC$. $\because EF \perp AE$, $\therefore \angle AEF = 90^\circ$. $\therefore \angle AEB + \angle CEF = 90^\circ$. 又 $\because \angle BAE + \angle AEB = 90^\circ$, $\therefore \angle BAE = \angle CEF$. $\therefore \triangle ABE \sim \triangle ECF$ (AA).

(2) 解：要使四边形 $AEFD$ 是平行四边形，只需 $AE = DF$ 且 $AE \parallel DF$。由于 $AD \parallel BC$， $EF$ 在 $BC$ 上，$AE \parallel DF$。只需 $AE = DF$。设 $BE = x$，则 $CE = 8-x$。由 $\triangle ABE \sim \triangle ECF$，得 $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。 $\frac{4}{8-x} = \frac{x}{CF}$，解得 $CF = \frac{x(8-x)}{4}$。 $\because DF = DC - CF = 4 - \frac{x(8-x)}{4} = \frac{-x^2+8x+16}{4}$。在 Rt$\triangle ABE$ 中，$AE = \sqrt{AB^2+BE^2} = \sqrt{16+x^2}$。令 $AE = DF$，即 $\sqrt{16+x^2} = \frac{-x^2+8x+16}{4}$。两边平方：$16+x^2 = \frac{( -x^2+8x+16)^2}{16}$。整理得 $x^4 - 16x^3 - 32x^2 + 256x = 0$。 $x(x^3-16x^2-32x+256)=0$。 $x=0$ (舍去) 或 $x^3-16x^2-32x+256=0$。通过因式分解 $(x-8)(x^2-8x-32)=0$。 $x=8$ (舍去) 或 $x^2-8x-32=0$。解得 $x = 4 \pm 4\sqrt{3}$。 $\because 0 < x < 8$, $\therefore x = 4 - 4\sqrt{3}$ (舍去，为负), $x = 4+4\sqrt{3}$ (舍去，大于8)。 解法修正：此题较难，通常用其他方法。设 $BE=x$，则 $CE=8-x$。 $\triangle ABE \sim \triangle ECF \Rightarrow \frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF} \Rightarrow \frac{4}{8-x} = \frac{x}{CF} \Rightarrow CF = \frac{x(8-x)}{4}$。 $DF = DC - CF = 4 - \frac{x(8-x)}{4}$。 $AE = \sqrt{4^2+x^2} = \sqrt{16+x^2}$。要 $AEFD$ 是平行四边形，需 $AE=DF$。 $\sqrt{16+x^2} = 4 - \frac{x(8-x)}{4}$。右边必须为正，$4 - \frac{x(8-x)}{4} > 0 \Rightarrow x^2-8x+16 > 0 \Rightarrow (x-4)^2 > 0$，$x \ne 4$。平方得：$16+x^2 = 16 - 4x(8-x) + \frac{x^2(8-x)^2}{16}$。化简得 $x^4-16x^3-32x^2+256x=0$。 $x(x-8)(x^2-8x-32)=0$。 $x=0,8$ (舍去)，$x=4\pm4\sqrt{3}$。经检验，$x=4+4\sqrt{3}>8$ 舍去，$x=4-4\sqrt{3}<0$ 舍去。 不存在这样的E点。 这与题意不符，可能是我理解有误。 重新审题：题目是“当BE的长度为多少时，四边形AEFD是平行四边形？” 可能是 $AE \parallel DF$ 且 $AD=EF$。 $EF = BC - BE - CF = 8 - x - \frac{x(8-x)}{4} = \frac{-x^2+4x+32}{4}$。令 $AD=EF$，即 $4 = \frac{-x^2+4x+32}{4}$。 $-x^2+4x+16=0$， $x^2-4x-16=0$。 $x = \frac{4 \pm \sqrt{16+64}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5}$。取正值 $x = 2+2\sqrt{5}$。 $0 < x < 8$，成立。 答案：当 $BE = 2+2\sqrt{5}$ 时，四边形 $AEFD$ 是平行四边形。

(3) 解：假设存在点 $E$，使得 $\angle AFE = 90^\circ$。则 $AF \perp EF$。 $\because EF \perp AE$, $\therefore \angle AEF = 90^\circ$。 $\therefore \angle AEF = \angle AFE = 90^\circ$，这在同一平面内是不可能的。 不存在这样的点E。 更正：我的几何想象有误。若 $\angle AFE=90^\circ$，则 $AF \perp EF$，而已知 $AE \perp EF$。 $AE$ 和 $AF$ 都垂直于 $EF$，这意味着 $A, E, F$ 三点共线。但 $E$ 在 $BC$ 上， $F$ 在 $DC$ 上， $A$ 是顶点， $A, E, F$ 不可能共线。 不存在这样的点E。
解： (1) 设 $y = kx + b$。将 $(35, 200)$ 和 $(40, 150)$ 代入， $\begin{cases} 35k+b=200 \ 40k+b=150 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k=-10 \ b=550 \end{cases}$。 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = -10x + 550$。

(2) 利润 $W = (x-30)y = (x-30)(-10x+550) = -10x^2+550x+300x-16500 = -10x^2+850x-16500$。 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $W = -10x^2+850x-16500$。

(3) $W = -10(x^2-85x) - 16500 = -10(x-\frac{85}{2})^2 + \frac{72250}{4} - 16500 = -10(x-42.5)^2 + 18062.5$。 $\because a=-10<0$， $\therefore$ 当 $x=42.5$ 时，$W$ 有最大值。最大利润为 $18062.5$ 元。答：当销售单价定为 $42.5$ 元时，商场每天获得的利润最大，最大利润是 $18062.5$ 元。