七年级上册第一单元数学题怎么解？
校园之窗 2025年12月11日 03:21:54 99ANYc3cd6
第一单元：有理数 - 知识点概览
有理数的概念
-
正数和负数
- 正数：大于0的数，如
+5,14,1/2(前面的“+”可以省略)。 - 负数：小于0的数，如
-3,-1.5,-4/7。 - 0：既不是正数，也不是负数，0是正负数的分界点。
- 应用：用正负数表示具有相反意义的量，零上5℃记作
+5℃，零下3℃记作-3℃；收入500元记作+500，支出300元记作-300。
- 正数：大于0的数，如
-
有理数
（图片来源网络，侵删）- 定义：整数和分数统称为有理数。
- 分类：
- 按定义分：
有理数 { 整数 { 正整数, 零, 负整数 }, 分数 { 正分数, 负分数 } } - 按性质分：
有理数 { 正有理数, 零, 负有理数 }
- 按定义分：
数轴
- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。
- 作用：
- 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。
- 比较两个数的大小：数轴右边的点表示的数总左边的点表示的数大。
- 数形结合思想是数学的重要思想。
相反数
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
5和-5互为相反数；0的相反数是0。
- 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
- 求法：在一个数前面加上“-”号，求得的数就是原数的相反数，即
a的相反数是-a。
绝对值
- 定义：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
|5| = 5，|-5| = 5，|0| = 0。
- 求法：
- 一个正数的绝对值是它本身。
- 一个负数的绝对值是它的相反数。
0的绝对值是0。- 用字母表示：
|a| = { a (a > 0), 0 (a = 0), -a (a < 0) }
- 性质：绝对值最小的有理数是
0，任何有理数的绝对值都是非负数（即大于或等于0）。
有理数的大小比较
- 法则：
- 正数大于0,负数小于0，正数大于一切负数。
- 两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
- 步骤：
- 先分正负。
- 同号两数比较绝对值,再根据“绝对值大的反而小”来判断（负数时）或“绝对值大的就大”（正数时）。
有理数的加减法
-
有理数加法
- 法则：
- 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加。
- 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 互为相反数的两个数相加得
0。 - 一个数同
0相加，仍得这个数。
- 运算律：
- 加法交换律：
a + b = b + a - 加法结合律：
(a + b) + c = a + (b + c) - 技巧：使用运算律可以使计算简便，通常把正数、负数分别结合，或者凑成整数、整十数。
- 加法交换律：
- 法则：
-
有理数减法
- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- 公式：
a - b = a + (-b) - 关键：将减法统一转化为加法，然后按照加法法则进行计算。
有理数的乘除法
-
有理数乘法
- 法则：
- 两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 任何数同
0相乘，都得0。 - 几个不为
0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
- 运算律：
- 乘法交换律：
a × b = b × a - 乘法结合律：
(a × b) × c = a × (b × c) - 乘法分配律：
a × (b + c) = a × b + a × c
- 乘法交换律：
- 法则：
-
有理数除法
（图片来源网络，侵删）- 法则：除以一个不等于
0的数，等于乘以这个数的倒数。 - 公式：
a ÷ b = a × (1/b)(b ≠ 0) - 两数相除：同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
- 法则：除以一个不等于
有理数的乘方
- 定义：求
n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作aⁿ。a叫做底数，n叫做指数，aⁿ叫做幂。- 在
3⁴中，3是底数，4是指数，3⁴是幂，读作“3的4次方”或“3的4次幂”。
- 符号法则：
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
0的任何正整数次幂都是0。
- 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。
典型例题解析
例1 (数轴与绝对值)
已知 |a-2| + |b+3| = 0，求 a 和 b 的值。
解析：
因为绝对值的结果总是非负数，即 |a-2| ≥ 0 且 |b+3| ≥ 0。
它们的和等于 0，只有当它们各自都等于 0 时才成立。
|a-2| = 0 且 |b+3| = 0。
解得：a - 2 = 0，a = 2。
b + 3 = 0，b = -3。
答案： a = 2，b = -3。
例2 (有理数混合运算)
计算：(-12) × 5 + (-28) ÷ 4 - (-2)³
解析： 严格按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。
- 算乘方：
(-2)³ = -2 × -2 × -2 = -8。 - 算乘除：
(-12) × 5 = -60；(-28) ÷ 4 = -7。 - 算加减：将算式变为
-60 + (-7) - (-8)。- 减去一个负数等于加上它的正数：
-60 + (-7) + 8。 - 先算
-60 + (-7) = -67。 - 再算
-67 + 8 = -59。
- 减去一个负数等于加上它的正数：
答案： -59
例3 (应用题) 某食品厂一周的收支情况如下（收入为正，支出为负）： +853元, -425元, +630元, -270元, +950元, -280元, -120元。 问：本周一共盈利多少元？
解析：
求一周的总盈利，就是把这些有理数加起来。
(+853) + (-425) + (+630) + (-270) + (+950) + (-280) + (-120)
使用加法运算律，把正数和负数分别结合：
= (+853 + 630 + 950) + [(-425) + (-270) + (-280) + (-120)]
= (2433) + [-(425 + 270 + 280 + 120)]
= 2433 - 1095
= 1338 (元)
答案： 本周一共盈利 1338 元。
单元练习题
选择题
-
下列说法正确的是 A. 正数和负数统称为有理数 B. 0是最小的有理数 C. 0是整数，也是有理数 D. 有理数分为正有理数和负有理数
-
在数轴上,与表示
-3的点的距离为4的点所表示的数是 A.1或7B.-1或7C.1或-7D.-1或-7 -
下列计算中,正确的是 A.
-3 + 5 = -8B.-3 - 5 = 2C.-3 × (-5) = -15D.-3 ÷ (-5) = 3/5
填空题
4. -5 的相反数是 __，绝对值是 __。
5. 比较大小：-3/4 __ -2/3 (填“>”, “<” 或 “=”)。
6. 计算：(-2)² = ______；-2³ = ______。
7. 绝对值小于 4 的所有负整数有 __。
计算题
8. (-18) + (-15) - (-23) + 7
9. (-48) ÷ 8 × (-1/4)
10. -1⁴ + (-2)² × (-1/2) - 3 ÷ (-1/3)
解答题
11. 小明在一条东西走向的公路上跑步，规定向东为正，他某次跑步的记录如下（单位：米）：
+300, -450, -130, +280, -100
问：此时小明在出发点的哪个方向？距离出发点多远？
参考答案
选择题
- C (A选项漏了0；B选项负数都比0小；D选项漏了0)
- C (在-3的左边4个单位是-7，右边4个单位是1)
- D (A应为2；B应为-8；C应为15)
填空题
4. 5；5
5. > (因为 |-3/4|=3/4=9/12, |-2/3|=2/3=8/12, 9/12 > 8/12)
6. 4；-8 (注意 -2³ 表示 -(2×2×2)，不是 (-2)×(-2)×(-2))
7. -1, -2, -3
计算题
8. (-18) + (-15) - (-23) + 7
= -33 + 23 + 7
= -10 + 7
= -3
9. (-48) ÷ 8 × (-1/4)
= -6 × (-1/4)
= 6/4
= 3/2
10. -1⁴ + (-2)² × (-1/2) - 3 ÷ (-1/3)
= -1 + 4 × (-1/2) - (-9)
= -1 - 2 + 9
= -3 + 9
= 6
解答题
11. 求小明最终的位置，就是求这些有理数的和。
(+300) + (-450) + (-130) + (+280) + (-100)
= (300 + 280) + [(-450) + (-130) + (-100)]
= 580 + (-680)
= -100 (米)
答：此时小明在出发点的西边，距离出发点100米。
对你有帮助！学习有理数关键在于理解概念，掌握法则，并通过多练习来提高计算速度和准确率，加油！
