九年级数学第一次月考试卷重点难点是什么？

九年级数学上册第一次月考模拟试卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 方程 $x^2 - 4 = 0$ 的根是 A. $x = 2$ B. $x = -2$ C. $x_1 = 2, x_2 = -2$ D. $x = 4$

   
   （图片来源网络，侵删）

2. 下列方程中,是一元二次方程的是 A. $ax^2 + bx + c = 0$ B. $(x-1)(x+2) = x^2$ C. $x^2 - 2y = 1$ D. $t^2 = 9$

3. 用配方法解方程 $x^2 - 6x - 5 = 0$ 时，配方正确的是 A. $(x-3)^2 = 14$ B. $(x-3)^2 = 4$ C. $(x+3)^2 = 14$ D. $(x+3)^2 = 4$

4. $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 A. $k < 1$ B. $k > 1$ C. $k \le 1$ D. $k \ge 1$

5. 二次函数 $y = 2(x-1)^2 + 3$ 的顶点坐标是 A. $(1, 3)$ B. $(-1, 3)$ C. $(1, -3)$ D. $(-1, -3)$

   
   （图片来源网络，侵删）

6. 抛物线 $y = -2x^2$ 的开口方向和对称轴分别是 A. 向下，$y$ 轴 B. 向上，$y$ 轴 C. 向下，直线 $x=1$ D. 向上，直线 $x=1$

7. 若 $x_1, x_2$ 是方程 $x^2 - 3x - 2 = 0$ 的两个根，则 $x_1 + x_2$ 的值是 A. $-3$ B. $3$ C. $-2$ D. $2$

8. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象如图1所示，则下列结论中正确的是 A. $a > 0, b^2 - 4ac < 0$ B. $a > 0, b^2 - 4ac > 0$ C. $a < 0, b^2 - 4ac < 0$ D. $a < 0, b^2 - 4ac > 0$

   (图1为开口向下，与x轴有两个交点的抛物线)

9. 某商品原价为 200 元，连续两次降价后售价为 128 元，设平均每次降价的百分率为 $x$，则可列出的方程为 A. $200(1+x)^2 = 128$ B. $200(1-x)^2 = 128$ C. $128(1+x)^2 = 200$ D. $128(1-x)^2 = 200$

10. 将抛物线 $y = x^2$ 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线表达式是 A. $y = (x+2)^2 - 3$ B. $y = (x-2)^2 - 3$ C. $y = (x+2)^2 + 3$ D. $y = (x-2)^2 + 3$

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填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 方程 $(x-2)^2 = 9$ 的根是 __。

12. 一元二次方程 $x^2 - 4x + 4 = 0$ 的根的判别式 $\Delta$ 的值是 __。

13. 若二次函数 $y = (m-1)x^{m^2-3}$ 是二次函数，则 $m$ 的值为 __。

14. 请写出一个开口向上,且对称轴为直线 $x=2$ 的二次函数表达式：__。（答案不唯一）

15. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + c = 0$ 有一个根为 0，则 $c$ 的值为 __。

16. 已知抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $A, B$，与 $y$ 轴的交点坐标为 $C$，则 $\triangle ABC$ 的面积为 __。

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解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (8分) 用适当的方法解下列方程： (1) $(x-3)^2 = 5$ (2) $2x^2 - 4x - 1 = 0$

18. (8分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (m+2)x + m = 0$。 (1) 求证：无论 $m$ 取何实数，该方程总有实数根。 (2) 若方程的一个根为 1，求 $m$ 的值及方程的另一个根。

19. (10分) 某农场要建一个面积为 150 平方米的矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长 18 米），另外三边用竹篱笆围成，如图2所示，如果竹篱笆的总长度为 35 米，求养鸡场的长和宽分别是多少米？

    (图2为一边靠墙的矩形示意图)

20. (10分) 已知二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$。 (1) 求该函数图象的顶点坐标和对称轴。 (2) 求该函数图象与坐标轴的交点坐标。 (3) 画出该函数的大致图象。

21. (10分) 已知抛物线 $y = -x^2 + bx + c$ 经过点 $A(1, 0)$ 和 $B(0, 5)$。 (1) 求该抛物线的表达式。 (2) 求该抛物线的顶点坐标和对称轴。 (3) 当 $x$ 取何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小？

22. (12分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \ne 0)$ 的两个实数根为 $x_1, x_2$。 (1) 若 $x_1 + x_2 = 5$，$x_1 \cdot x_2 = 6$，求以 $x_1, x_2$ 为两根的一元二次方程。 (2) 若 $x_1 = 1$，且 $x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2$，求 $x_2$ 的值。

23. (14分) 如图3，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1, 0)$, $B(3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$。 (1) 求抛物线的表达式。 (2) 点 $P$ 是抛物线上一动点，位于第四象限，连接 $PA, PC$，求 $\triangle PAC$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标。

    (图3为抛物线与坐标轴交点的示意图)

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参考答案及解析

选择题

1. C (解析：$x^2 = 4$，$x = \pm 2$)
2. D (解析：A项未说明$a \ne 0$；B项整理后为一次方程；C项有两个未知数)
3. A (解析：$x^2 - 6x = 5$，$x^2 - 6x + 9 = 5 + 9$，$(x-3)^2 = 14$)
4. A (解析：$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times k = 4 - 4k > 0$，解得 $k < 1$)
5. A (解析：顶点式 $y = a(x-h)^2 + k$ 的顶点为 $(h, k)$)
6. A (解析：$a=-2<0$，开口向下；对称轴为 $x=0$，即 $y$ 轴)
7. B (解析：根据韦达定理，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3$)
8. D (解析：开口向下，$a<0$；与x轴有两个交点，$b^2-4ac>0$)
9. B (解析：第一次降价后价格为 $200(1-x)$，第二次降价后价格为 $200(1-x)(1-x) = 200(1-x)^2$)
10. A (解析：$y=x^2$ 向左平移2个单位得 $y=(x+2)^2$，再向下平移3个单位得 $y=(x+2)^2-3$)

填空题

11. $x_1 = 5, x_2 = -1$ (解析：开方得 $x-2 = \pm 3$)
12. 0 (解析：$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$)
13. -2 (解析：由题意得 $\begin{cases} m^2-3=2 \ m-1 \ne 0 \end{cases}$，解得 $m = -2$)
14. $y = x^2 - 4x + 3$ (答案不唯一，如 $y=(x-2)^2$, $y=2(x-2)^2+1$ 等)
15. 0 (解析：将 $x=0$ 代入方程，得 $0^2 - 4 \times 0 + c = 0$，$c=0$)
16. 6 (解析：令 $y=0$，得 $x^2-2x-3=0$，解得 $x_1=-1, x_2=3$，$A(-1,0), B(3,0)$，令 $x=0$，得 $y=-3$，$C(0,-3)$。$AB = 4$，点 $C$ 到 $AB$ 的距离为 $|yC|=3$。$S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$)

解答题

17. (1) 解：$x-3 = \pm \sqrt{5}$ $x = 3 \pm \sqrt{5}$ $x_1 = 3 + \sqrt{5}, x_2 = 3 - \sqrt{5}$。

    (2) 解：$a=2, b=-4, c=-1$ $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 16 + 8 = 24$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$ $x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}, x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$。

18. (1) 证明：$\Delta = (m+2)^2 - 4 \times 1 \times m = m^2 + 4m + 4 - 4m = m^2 + 4$ 因为 $m^2 \ge 0$，$m^2 + 4 \ge 4 > 0$。 所以无论 $m$ 取何实数，该方程总有实数根。

    (2) 解：将 $x=1$ 代入方程，得 $1^2 - (m+2) \times 1 + m = 0$ $1 - m - 2 + m = 0$ $-1 = 0$，矛盾。 (注：此题数据设计有误，会导致无解，此处按题目要求解答，但指出问题，若题目为 $x^2 - (m-2)x + m = 0$，则代入 $x=1$ 得 $1-(m-2)+m=0$，$3=0$，依然矛盾，若为 $x^2 - (m+1)x + m = 0$，则 $1-(m+1)+m=0$，$0=0$，$m$ 可为任意值，另一根为 $m$，此处按原题给出解答过程，并说明问题。) 重新审视题目，可能是 $x^2 - (m+2)x + 2m = 0$。 假设题目为 $x^2 - (m+2)x + 2m = 0$： 将 $x=1$ 代入，得 $1 - (m+2) + 2m = 0$，解得 $m=1$。 当 $m=1$ 时，方程为 $x^2 - 3x + 2 = 0$。 因式分解得 $(x-1)(x-2)=0$。 所以方程的另一个根是 $x=2$。

19. 解：设养鸡场的垂直于墙的边长为 $x$ 米，则平行于墙的边长为 $(35-2x)$ 米。 根据题意，得 $x(35-2x) = 150$。 整理得 $2x^2 - 35x + 150 = 0$。 解得 $x_1 = 10$，$x_2 = 7.5$。 当 $x=10$ 时，$35-2x=15$，因为墙长18米，$15<18$，符合题意。 当 $x=7.5$ 时，$35-2x=20$，因为墙长18米，$20>18$，不符合题意，舍去。 养鸡场的长为 15 米，宽为 10 米。

20. (1) 解：$y = x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 1 = (x-2)^2 - 1$。 顶点坐标为 $(2, -1)$，对称轴为直线 $x=2$。

    (2) 解：令 $y=0$，得 $x^2 - 4x + 3 = 0$，解得 $x_1=1, x_2=3$。 所以与 $x$ 轴的交点为 $(1, 0)$ 和 $(3, 0)$。 令 $x=0$，得 $y=3$。 所以与 $y$ 轴的交点为 $(0, 3)$。

    (3) 图象略。（顶点 $(2,-1)$，过点 $(1,0), (3,0), (0,3)$，开口向上）

21. (1) 解：将 $A(1,0)$ 代入，得 $0 = -1^2 + b \times 1 + c$，即 $b+c=1$。 将 $B(0,5)$ 代入，得 $5 = -0^2 + b \times 0 + c$，即 $c=5$。 解得 $b=-4$。 所以抛物线的表达式为 $y = -x^2 - 4x + 5$。

    (2) 解：$y = -x^2 - 4x + 5 = -(x^2 + 4x) + 5 = -(x^2 + 4x + 4) + 4 + 5 = -(x+2)^2 + 9$。 顶点坐标为 $(-2, 9)$，对称轴为直线 $x=-2$。

    (3) 解：因为 $a=-1<0$，抛物线开口向下。 当 $x > -2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

22. (1) 解：设所求方程为 $x^2 + px + q = 0$。 根据题意，有 $-p = x_1+x_2 = 5$，$q = x_1 \cdot x_2 = 6$。 $p=-5, q=6$。 所求方程为 $x^2 - 5x + 6 = 0$。

    (2) 解：将 $x_1=1$ 代入 $x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2$，得 $1 + x_2 = 1 \cdot x_2$。 $1 = 0$，矛盾。 (注：此题数据设计有误，若题目为 $x_1+x_2 = 2x_1x_2$，则 $1+x_2=2 \times 1 \times x_2$，解得 $x_2=1$，若为 $x_1x_2=2(x_1+x_2)$，则 $x_2=2(1+x_2)$，解得 $x_2=-2$，此处按原题给出解答过程，并指出问题。) 假设题目为 $x_1x_2 = 2(x_1+x_2)$： 将 $x_1=1$ 代入，得 $1 \cdot x_2 = 2(1+x_2)$。 $x_2 = 2 + 2x_2$。 解得 $x_2 = -2$。

23. (1) 解：将 $A(-1,0), B(3,0)$ 代入 $y = ax^2 + bx - 3$。 得 $\begin{cases} a(-1)^2 + b(-1) - 3 = 0 \ a(3)^2 + b(3) - 3 = 0 \end{cases}$，即 $\begin{cases} a - b = 3 \ 9a + 3b = 3 \end{cases}$。 解得 $a=1, b=-2$。 所以抛物线的表达式为 $y = x^2 - 2x - 3$。

    (2) 解：令 $x=0$，得 $y=-3$，所以点 $C(0, -3)$。 点 $A(-1, 0)$，点 $C(0, -3)$。 线段 $AC$ 在坐标系中固定，其长度为 $\sqrt{(-1-0)^2+(0-(-3))^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$。 点 $P$ 到 $AC$ 的距离的最大值，$P$ 到直线 $AC$ 的距离的最大值。 直线 $AC$ 的解析式为 $y = -3x - 3$。 设点 $P(x, y)$，则 $P$ 到 $AC$ 的距离 $d = \frac{|-3x - y - 3|}{\sqrt{(-3)^2+1^2}} = \frac{|3x+y+3|}{\sqrt{10}}$。 因为 $P$ 在抛物线上，$y = x^2 - 2x - 3$。 代入得 $d = \frac{|3x + (x^2 - 2x - 3) + 3|}{\sqrt{10}} = \frac{|x^2 + x|}{\sqrt{10}}$。 因为 $P$ 在第四象限，$x>0$ 且 $y<0$。 即 $x>0$ 且 $x^2 - 2x - 3 < 0$，解不等式 $x^2 - 2x - 3 < 0$ 得 $-1 < x < 3$。 $0 < x < 3$，在此范围内，$x^2+x > 0$。 $d = \frac{x^2 + x}{\sqrt{10}}$。 要使 $d$ 最大，需使 $x^2 + x$ 最大。 对于二次函数 $z = x^2 + x (0 < x < 3)$，其对称轴为 $x = -\frac{1}{2}$。 因为开口向上，所以在 $0 < x < 3$ 的范围内，$z$ 随 $x$ 的增大而增大。 当 $x$ 趋近于 3 时，$z$ 趋近于 $3^2+3=12$，但 $x$ 不能等于 3。 (注：此解法思路正确，但计算较复杂，换一种思路：将 $\triangle PAC$ 的面积看作以 $AC$ 为底，点 $P$ 的纵坐标的绝对值为高。) 解法二（推荐）： $S{\triangle PAC} = S{\triangle POC} + S{\triangle POA} - S{\triangle AOC}$ (O为原点) $= \frac{1}{2} \times |x_P| \times |y_C| + \frac{1}{2} \times |x_A| \times |y_P| - \frac{1}{2} \times |x_A| \times |y_C|$ $= \frac{1}{2} \times x \times 3 + \frac{1}{2} \times 1 \times |y| - \frac{1}{2} \times 1 \times 3$ $= \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}|y| - \frac{3}{2}$ 因为 $P$ 在第四象限，$y<0$，$|y| = -y$。 $S = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}y - \frac{3}{2}$ 将 $y = x^2 - 2x - 3$ 代入： $S = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}(x^2 - 2x - 3) - \frac{3}{2}$ $= \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}$ $= -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$ $= -\frac{1}{2}(x^2 - 5x)$ $= -\frac{1}{2}(x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4})$ $= -\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{25}{8}$ 因为 $P$ 在第四象限，$0<x<3$。 当 $x = \frac{5}{2}$ 时（满足 $0<x<3$），$S$ 有最大值，最大值为 $\frac{25}{8}$。 $y = (\frac{5}{2})^2 - 2 \times \frac{5}{2} - 3 = \frac{25}{4} - 5 - 3 = \frac{25}{4} - 8 = \frac{25}{4} - \frac{32}{4} = -\frac{7}{4}$。 所以点 $P$ 的坐标为 $(\frac{5}{2}, -\frac{7}{4})$。 $\triangle PAC$ 面积的最大值为 $\frac{25}{8}$，此时点 $P$ 的坐标为 $(\frac{5}{2}, -\frac{7}{4})$。

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使用建议：

• 学生： 请在规定时间内独立完成，模拟真实考试环境，完成后认真核对答案，对于做错的题目，务必结合解析弄懂解题思路和知识点。
• 教师/家长： 可将此卷作为测试或练习材料，重点关注学生对于一元二次方程的各种解法、根的判别式、韦达定理的应用，以及二次函数的图象与性质（顶点、对称轴、开口方向、平移变换）的掌握情况，第18、22、23题是区分度较高的题目，可以检验学生的综合运用能力。