七年级下册数学期中测试卷重点难点有哪些？

试卷结构参考了常见的期中考试模式,包含选择题、填空题、解答题，并提供了参考答案和评分标准建议，方便学生进行自我检测和老师使用。

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七年级下册数学期中模拟测试卷

(考试时间：120分钟 满分：120分)

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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列各数中,是无理数的是 A. 0 B. -3 C. $\sqrt{4}$ D. $\pi$

2. 如图1,直线 $a$ 与直线 $b$ 相交，$\angle 1 = 50^\circ$，则 $\angle 2$ 的度数为 A. $40^\circ$ B. $50^\circ$ C. $130^\circ$ D. $140^\circ$ (图1：两条相交直线，形成∠1和∠2，它们是对顶角)

3. 在平面直角坐标系中,点 $P(-2, 3)$ $x$ 轴对称的点的坐标是 A. $(2, 3)$ B. $(-2, -3)$ C. $(2, -3)$ D. $(-3, 2)$

4. 下列计算正确的是 A. $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B. $2\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ C. $\sqrt{9} = \pm 3$ D. $\sqrt{(-4)^2} = 4$

   
   （图片来源网络，侵删）

5. 已知一个二元一次方程组 $\begin{cases} x+y=5 \ x-y=1 \end{cases}$，则 $x$ 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 下列命题中,是真命题的是 A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 相等的角是对顶角

7. 下列各数中,在数轴上对应的点到原点的距离最大的是 A. $-2$ B. $\sqrt{3}$ C. $0$ D. $-\sqrt{5}$

8. 若 $\begin{cases} x=2 \ y=1 \end{cases}$ 是方程 $2ax - y = 3$ 的一个解，则 $a$ 的值为 A. 1 B. 2 C. -1 D. -2

   
   （图片来源网络，侵删）

9. 如图2,$AB \parallel CD$，$\angle B = 40^\circ$，$\angle D = 25^\circ$，则 $\angle E$ 的度数为 A. $15^\circ$ B. $25^\circ$ C. $40^\circ$ D. $65^\circ$ (图2：两条平行线AB和CD，被一条直线EF所截，形成三角形BEF，B在AB上，∠D在CD上，∠E是顶角)

10. 在平面直角坐标系中,将点 $A(3, -2)$ 向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点 $A'$ 的坐标是 A. $(-1, -5)$ B. $(-1, 1)$ C. $(7, -5)$ D. $(7, 1)$

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填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 计算：$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \underline{\quad\quad}$。

12. 点 $M(5, -2)$ 到 $y$ 轴的距离是 $\underline{\quad\quad}$。

13. 把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“....”的形式是：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行。

14. 已知 $\begin{cases} x=1 \ y=2 \end{cases}$ 是关于 $x, y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases} ax+by=4 \ bx-ay=2 \end{cases}$ 的解，则 $a+b$ 的值为 $\underline{\quad\quad}$。

15. 如图3,$AB \parallel CD$，$\angle BCG = 120^\circ$，则 $\angle FGD$ 的度数为 $\underline{\quad\quad}$。 (图3：两条平行线AB和CD，被一条直线FG所截，形成∠BCG在B侧，∠FGD在D侧，它们是同位角)

16. 观察下列按规律排列的数：$\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}, \dots$，第 $n$ 个数是 $\underline{\quad\quad}$。

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解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本小题8分) 计算： $(1) \sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{2}$ $(2) |\sqrt{3}-2| + \sqrt{12} - (\pi - 3.14)^0$

18. (本小题8分) 解下列方程组： $(1) \begin{cases} y = 2x - 1 \ 3x + 2y = 8 \end{cases}$ $(2) \begin{cases} 2x + 3y = 7 \ 3x - y = 5 \end{cases}$

19. (本小题10分) 如图4，已知 $AB \parallel CD$，$\angle 1 = \angle 2$，求证：$AD \parallel BC$。 (图4：四边形ABCD，AB平行于CD，连接AC，形成∠1和∠2，它们是内错角) 证明： $\because AB \parallel CD$ (已知) $\therefore \angle 1 = \angle BAC$ ($\underline{\quad\quad}$) 又 $\because \angle 1 = \angle 2$ (已知) $\therefore \angle BAC = \angle 2$ (等量代换) $\therefore AD \parallel BC$ ($\underline{\quad\quad}$)

20. (本小题10分) 在平面直角坐标系中，已知点 $A(2, 1)$，$B(4, 3)$，$C(0, 5)$。 $(1)$ 在图中画出 $\triangle ABC$； $(2)$ 求 $\triangle ABC$ 的面积； $(3)$ 点 $P$ 在 $y$ 轴上，若 $\triangle ABP$ 的面积为 $5$，求点 $P$ 的坐标。

21. (本小题12分) 某商店购进甲、乙两种商品，甲种商品每件进价是20元，乙种商品每件进价是30元，商店用800元购进了甲、乙两种商品共30件。 $(1)$ 求甲、乙两种商品各购进了多少件？ $(2)$ 商店将甲、乙两种商品全部售出，甲种商品每件售价为25元，乙种商品每件售价为40元，若商店要获得不低于550元的利润，至少需要售出多少件乙种商品？

22. (本小题12分) 阅读理解： 对于方程组 $\begin{cases} x+y=3 \ x-y=1 \end{cases}$，我们可以用“整体代入法”来解。 由 (1) 得 $x = 3 - y$。 将 $x = 3 - y$ 整体代入 (2) 式，得 $(3 - y) - y = 1$。 解得 $y = 1$，再把 $y = 1$ 代入 $x = 3 - y$，得 $x = 2$。 所以方程组的解是 $\begin{cases} x=2 \ y=1 \end{cases}$。 根据上述方法，解下列方程组： $\begin{cases} 2x+3y=8 \ 3x+2y=7 \end{cases}$

23. (本小题12分) 如图5，直线 $AC \parallel BD$，点 $P$ 在直线 $AC$ 和 $BD$ 之间。 $(1)$ 若 $\angle APB = 50^\circ$，求 $\angle PAB + \angle PDB$ 的度数； $(2)$ 若 $\angle APB = \alpha$，请直接写出 $\angle PAB + \angle PDB$ 的度数（用含 $\alpha$ 的代数式表示）； $(3)$ 若点 $P$ 在直线 $AC$ 上方，$\angle APB = \alpha$，请直接写出 $\angle PAB + \angle PDB$ 的度数（用含 $\alpha$ 的代数式表示）。 (图5：两条平行线AC和BD，点P在它们之间，连接PA和PB，形成∠APB)

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参考答案及评分标准

选择题

1. D
2. B (对顶角相等)
3. B (关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数)
4. D (A、B不是同类二次根式不能直接合并；C算术平方根是非负数)
5. C (两式相加得 $2x=6$, $x=3$)
6. C (A需要两直线平行；B可能两个都是直角；D不成立)
7. D (距离分别为2, $\sqrt{3} \approx 1.73$, 0, $\sqrt{5} \approx 2.23$)
8. B (代入得 $2a \cdot 2 - 1 = 3$, $4a = 4$, $a=1$)
9. A (过点E作EF // AB，利用平行线的性质，$\angle E = \angle B - \angle D = 40^\circ - 25^\circ = 15^\circ$)
10. A (横坐标：$3 - 4 = -1$，纵坐标：$-2 - 3 = -5$)

填空题

11. $\sqrt{3}$ (原式 = $2\sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$)
12. 5 (到y轴的距离是横坐标的绝对值)
13. 如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行。
14. 2 (代入得 $a+2b=4$ 和 $b-2a=2$，解得 $a=0, b=2$，$a+b=2$)
15. $60^\circ$ ($\angle FGD = \angle BCG = 120^\circ$？不对，应该是同旁内角互补。$\angle FGD = 180^\circ - \angle BCG = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$)
16. $\frac{2^n - 1}{2^n}$ (分子是前一项分子×2+1，分母是前一项分母×2)

解答题

17. (1) $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (3-2+1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ (4分) (2) $|\sqrt{3}-2| + \sqrt{12} - (\pi - 3.14)^0 = 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 1 = (2-1) + (-\sqrt{3}+2\sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3}$ (4分)

18. (1) 将 (1) 代入 (2)：$3x + 2(2x-1) = 8$ $3x + 4x - 2 = 8$ $7x = 10$ $x = \frac{10}{7}$ $y = 2 \times \frac{10}{7} - 1 = \frac{20}{7} - \frac{7}{7} = \frac{13}{7}$ 所以解是 $\begin{cases} x=\frac{10}{7} \ y=\frac{13}{7} \end{cases}$ (4分) (2) 由 (2) 得 $y = 3x - 5$ (1分) 代入 (1)：$2x + 3(3x-5) = 7$ $2x + 9x - 15 = 7$ $11x = 22$ $x = 2$ (2分) $y = 3 \times 2 - 5 = 1$ 所以解是 $\begin{cases} x=2 \ y=1 \end{cases}$ (1分)

19. 证明： $\because AB \parallel CD$ (已知) $\therefore \angle 1 = \angle BAC$ (两直线平行，内错角相等) (3分) 又 $\because \angle 1 = \angle 2$ (已知) $\therefore \angle BAC = \angle 2$ (等量代换) (2分) $\therefore AD \parallel BC$ (内错角相等，两直线平行) (3分)

20. (1) 略 (画出正确的三角形) (2分) (2) $S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$，以BC为底，BC的长度为 $|4-0|=4$，高为点A到BC所在直线（y轴）的水平距离，为2。 $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$。(或用坐标法：$S = \frac{1}{2}|2(3-5)+4(5-1)+0(1-3)| = \frac{1}{2}|-4+16+0| = 6$，这里我修正一下，用坐标法更准) 修正计算： $S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-yB)|$ $= \frac{1}{2} |2(3-5) + 4(5-1) + 0(1-3)|$ $= \frac{1}{2} |2(-2) + 4(4) + 0|$ $= \frac{1}{2} |-4 + 16|$ $= \frac{1}{2} \times 12 = 6$。(4分) (3) 设点 $P(0, y)$。 $S{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \times |(2(3-y) + 4(y-1) + 0(1-3))| = \frac{1}{2} |6-2y+4y-4| = \frac{1}{2}|2y+2| = |y+1|$ (3分) 令 $|y+1| = 5$，则 $y+1=5$ 或 $y+1=-5$。 解得 $y=4$ 或 $y=-6$。(1分) 所以点 $P$ 的坐标是 $(0, 4)$ 或 $(0, -6)$。

21. (1) 设购进甲种商品 $x$ 件，乙种商品 $y$ 件。 根据题意得 $\begin{cases} x+y=30 \ 20x+30y=800 \end{cases}$ (2分) 由 (1) 得 $x=30-y$ (1分) 代入 (2)：$20(30-y)+30y=800$ $600 - 20y + 30y = 800$ $10y = 200$ $y = 20$ (1分) $x = 30 - 20 = 10$ 答：购进甲种商品10件，乙种商品20件。(1分) (2) 设需要售出乙种商品 $m$ 件。 总利润为 $25 \times 10 + 40m - 20 \times 10 - 30 \times 20 = 250 + 40m - 200 - 600 = 40m - 550$ (3分) 根据题意得 $40m - 550 \ge 550$ (1分) $40m \ge 1100$ $m \ge 27.5$ (1分) 因为 $m$ 为整数，$m$ 的最小值为28。(1分) 答：至少需要售出28件乙种商品。

22. 由 (1) 得 $2x = 8 - 3y$，$x = 4 - \frac{3}{2}y$ (2分) 将 $x = 4 - \frac{3}{2}y$ 整体代入 (2) 式： $3(4 - \frac{3}{2}y) + 2y = 7$ (3分) $12 - \frac{9}{2}y + 2y = 7$ $-\frac{9}{2}y + \frac{4}{2}y = 7 - 12$ $-\frac{5}{2}y = -5$ (2分) $y = 2$ (1分) 把 $y=2$ 代入 $x=4-\frac{3}{2}y$，得 $x=4-\frac{3}{2} \times 2 = 4-3=1$ (1分) 所以方程组的解是 $\begin{cases} x=1 \ y=2 \end{cases}$。

23. (1) 过点 $P$ 作 $PE \parallel AC$，交 $BD$ 于点 $E$。(2分) $\because AC \parallel BD$，$PE \parallel AC$ $\therefore AC \parallel PE \parallel BD$ (1分) $\therefore \angle PAB = \angle APB$ (两直线平行，内错角相等) (1分) $\angle PDB = \angle EPB$ (两直线平行，内错角相等) (1分) $\therefore \angle PAB + \angle PDB = \angle APB + \angle EPB = \angle APB = 50^\circ$ (2分) 答：$\angle PAB + \angle PDB$ 的度数为 $50^\circ$。 (2) 由(1)可知，$\angle PAB + \angle PDB = \angle APB = \alpha$。(2分) (3) 过点 $P$ 作 $PE \parallel AC$，交 $BD$ 的延长线于点 $E$。(1分) $\because AC \parallel BD$，$PE \parallel AC$ $\therefore AC \parallel PE \parallel BD$ (1分) $\therefore \angle PAB = \angle APB$ (两直线平行，内错角相等) (1分) $\angle PDB = \angle EPB$ (两直线平行，内错角相等) (1分) $\therefore \angle PAB + \angle PDB = \angle APB + \angle EPB = 180^\circ$ (2分) 答：$\angle PAB + \angle PDB$ 的度数为 $180^\circ$。