九年级上册数学期中试卷重点难点有哪些？

本试卷严格遵循人教版九年级上册前半学期的教学大纲，涵盖了二次函数、一元二次方程、旋转、圆等核心章节，题型全面，难度适中，旨在帮助学生全面检验学习成果,发现知识盲点。

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九年级上册数学期中考试模拟试卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

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选择题（每小题3分，共30分）

1. 抛物线 $y = (x-2)^2 - 3$ 的顶点坐标是 A. $(2, -3)$ B. $(-2, -3)$ C. $(2, 3)$ D. $(-2, 3)$

2. 一元二次方程 $x^2 - 4x = 0$ 的根为 A. $x_1 = 0$, $x_2 = 4$ B. $x_1 = 0$, $x_2 = -4$ C. $x_1 = 2$, $x_2 = -2$ D. $x_1 = 1$, $x_2 = 4$

3. 用配方法解一元二次方程 $x^2 - 6x - 7 = 0$，配方正确的是 A. $(x-3)^2 = 2$ B. $(x-3)^2 = 16$ C. $(x+3)^2 = 2$ D. $(x+3)^2 = 16$

4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 等腰梯形

   
   （图片来源网络，侵删）

5. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 得到 $\triangle AB'C'$，若 $AB = 5$，$BC = 12$，则点 $B'$ 到 $BC$ 的距离是 (假设图形已画出，点B'在BC的延长线上或附近) A. 5 B. 12 C. $\frac{60}{13}$ D. $\frac{13}{5}$

6. 已知 $\odot O$ 的半径为 $5$，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $7$，则点 $P$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 A. 点 $P$ 在 $\odot O$ 内 B. 点 $P$ 在 $\odot O$ 上 C. 点 $P$ 在 $\odot O$ 外 D. 无法确定

7. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$ 为 $\odot O$ 上一点，若 $\angle AOC = 100^\circ$，则 $\angle B$ 的度数为 (假设图形已画出，C在AB上方) A. $50^\circ$ B. $40^\circ$ C. $80^\circ$ D. $100^\circ$

8. 在同一直角坐标系中，函数 $y = ax^2$ 和 $y = ax + a$ 的图象可能是 A. B. C. D. (此处为图形选项，描述大致为：a>0时，抛物线开口向上，直线从左下到右上；a<0时，抛物线开口向下,直线从左上到右下)

9. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小枝干，主干、枝干和小枝干总数为 91，则每个枝干长出的小枝干数目为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

10. 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象如图所示，下列结论： ① $abc > 0$ ② $2a + b = 0$ ③ $a + b + c < 0$ ④ $a-b+c > 0$ 其中正确的结论个数是 (假设图形已画出，抛物线开口向下，与x轴交于(-1,0)和(3,0)两点，顶点在x轴上方) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

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填空题（每小题3分，共18分）

11. 抛物线 $y = -2x^2 + 4x - 1$ 的对称轴是直线 __。

12. 一元二次方程 $x^2 - 2x + 1 = 0$ 的根的判别式 $\Delta$ 的值是 __。

13. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$CD$ 是弦，$AB \perp CD$ 于点 $E$，若 $AB = 10$，$CD = 8$，则 $AE$ 的长为 __。 (利用垂径定理)

14. 将一个含有 $45^\circ$ 角的三角板绕其直角顶点旋转，使三角板的斜边与原斜边重合，则旋转的角度是 __。

15. 已知一元二次方程 $x^2 - mx + 3 = 0$ 的一个根是 1，则 $m$ 的值为 __，另一个根为 __。

16. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^\circ$，$AB = AC$，点 $D$ 为 $BC$ 的中点，若 $\triangle ABD$ 旋转后能与 $\triangle ACD$ 重合，则旋转中心是点 __，旋转角度为 __。 (描述为：将ABD旋转180度可以与ACD重合)

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解答题（本大题共8小题，共72分）

17. （本小题8分） 解方程：$(2x-1)^2 - 9(x+2)^2 = 0$

18. （本小题8分） 已知二次函数 $y = x^2 - 4x + 1$。 (1) 求该函数图象的顶点坐标和对称轴。 (2) 求该函数图象与坐标轴的交点坐标。 (3) 画出这个函数的大致图象。

19. （本小题8分） 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (k+2)x + 2k = 0$。 (1) 求证：无论 $k$ 取何实数，方程总有实数根。 (2) 若方程的两个实数根是 $x_1$ 和 $x_2$，且满足 $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 1$，求 $k$ 的值。

20. （本小题8分） 如图，在 $\square ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于点 $O$，将 $\triangle ABO$ 绕点 $O$ 旋转 $180^\circ$ 得到 $\triangle CDO$。 (1) 求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形。 (2) 若 $AC = BD$，求证：四边形 $ABCD$ 是矩形。 (本题第一问是平行四边形的定义,第二问对角线相等的平行四边形是矩形)

21. （本小题9分） 某商店销售一种服装，每件成本为 50 元，经市场调查发现，每件售价为 60 元时，每天可售出 20 件；售价每上涨 1 元，其销量就减少 1 件，设售价为 $x$ 元，每天的销售利润为 $y$ 元。 (1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式。 (2) 当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3) 为了尽快回笼资金，商店决定每天利润不低于 360 元,那么售价应定为多少元？

22. （本小题9分） 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 交 $BC$ 于点 $D$，交 $AC$ 于点 $E$。 (1) 求证：$BD = CD$。 (2) 若 $\angle B = 30^\circ$，$AB = 4$,求图中阴影部分的面积。

23. （本小题11分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过点 $A(-1, 0)$，$B(3, 0)$，$C(0, 3)$。 (1) 求抛物线的解析式。 (2) 点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 $P$，使得 $\triangle PAB$ 的周长最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。 (3) 若点 $M$ 是抛物线上的一个动点，当 $\triangle ABM$ 的面积为 6 时，求点 $M$ 的坐标。

24. （本小题10分） 阅读理解： 我们定义：如果一个三角形的一条边长为 $a$，这条边上的高为 $h$，那么这个三角形的“面积和谐值”为 $k = \frac{a \cdot h}{2}$。 解决问题： 如图，在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 6$，$BC = 8$，点 $D$ 在边 $AB$ 上运动（不与 $A$, $B$ 重合），过点 $D$ 作 $DE \perp AC$ 于点 $E$，$DF \perp BC$ 于点 $F$。 (1) 求 $\triangle ABC$ 的“面积和谐值”。 (2) 求证：四边形 $CEDF$ 是矩形。 (3) 设 $AD = x$，求矩形 $CEDF$ 的面积 $S$ $x$ 的函数关系式，并求出当 $x$ 为何值时，矩形 $CEDF$ 的面积最大？最大面积是多少？

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参考答案及评分标准

选择题

1. A
2. A
3. B
4. C
5. B (旋转后，B'的坐标为(0,5)，BC的直线方程为y=(-12/5)x,距离公式计算得12)
6. C
7. A (利用圆周角定理,圆心角是圆周角的两倍)
8. C
9. C (设每个枝干长出x个小枝干，则 1 + x + x^2 = 91)
10. C (①③④正确，②错误，由对称轴x=-b/2a=1，得2a+b=0是错的)

填空题

11. $x = 1$
12. 0
13. 2 (利用垂径定理，OE=3，AE=AO+OE=5+3=8 或 AE=AO-OE=5-3=2,根据图形位置判断)
14. $180^\circ$
15. 4, 3 (利用韦达定理)
16. A, $180^\circ$

解答题

17. 解： $(2x-1)^2 - 9(x+2)^2 = 0$ $[(2x-1) + 3(x+2)][(2x-1) - 3(x+2)] = 0$ $(5x+5)(-x-7) = 0$ $5(x+1)(-1)(x+7) = 0$ $(x+1)(x+7) = 0$ $x_1 = -1$, $x_2 = -7$ (评分标准：正确使用平方差公式，因式分解正确，解对,得8分)

18. 解： (1) $y = x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 3$ 顶点坐标为 $(2, -3)$，对称轴为直线 $x = 2$。 (2) 令 $y=0$，$x^2 - 4x + 1 = 0$，解得 $x = 2 \pm \sqrt{3}$。 令 $x=0$，$y=1$。 所以与x轴交点为 $(2-\sqrt{3}, 0)$ 和 $(2+\sqrt{3}, 0)$，与y轴交点为 $(0, 1)$。 (3) 图象略（要求：开口向上，顶点在(2,-3)，经过上述三个交点）。 (评分标准：(1)4分，(2)3分，(3)1分)

19. 解： (1) $\Delta = [-(k+2)]^2 - 4 \times 1 \times 2k = k^2 + 4k + 4 - 8k = k^2 - 4k + 4 = (k-2)^2$。 因为 $(k-2)^2 \ge 0$ 对任意实数 $k$ 都成立，所以方程总有实数根。 (2) 由韦达定理，$x_1 + x_2 = k+2$，$x_1x_2 = 2k$。 $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1 = 2k - (k+2) + 1 = k - 1$。 根据题意，$k - 1 = 1$，解得 $k = 2$。 (评分标准：(1)4分，(2)4分)

20. 证明： (1) 旋转前，$\triangle ABO$ 和 $\triangle CDO$ 是全等的。 旋转后，$A$ 与 $C$ 重合，$B$ 与 $D$ 重合，$O$ 是中心。 $OA=OC$，$OB=OD$，对角线互相平分，所以四边形 $ABCD$ 是平行四边形。 (2) 因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，且 $AC=BD$， 所以对角线相等的平行四边形是矩形。 (评分标准：(1)4分，(2)4分)

21. 解： (1) 每件利润为 $(x-50)$ 元，销量为 $(60 - (x-60)) = (120 - x)$ 件。 $y = (x-50)(120-x) = -x^2 + 170x - 6000$。 (2) $y = -(x^2 - 170x) - 6000 = -(x-85)^2 + 1225$。 当 $x = 85$ 时，$y_{max} = 1225$。 所以售价定为85元时，最大利润为1225元。 (3) $-x^2 + 170x - 6000 \ge 360$ $x^2 - 170x + 6360 \le 0$ 解方程 $x^2 - 170x + 6360 = 0$，得 $x_1 = 70$, $x_2 = 90$。 所以售价应定为70元到90元之间。 (评分标准：(1)3分，(2)3分，(3)2分)

22. 证明与解： (1) 连接 $AD$。 因为 $AB$ 是直径，$\angle ADC = 90^\circ$。 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle B = \angle C$。 又 $AD$ 是高，$\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$。 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (AAS)。 $BD = CD$。 (2) 因为 $\angle B = 30^\circ$，$AB=4$，$BC = 2 \times BD = 2 \times AB \cos 30^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$。 $AC = 4$，$S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AC \sin \angle C = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 4 \times \sin 30^\circ = 4\sqrt{3}$。 阴影部分面积 = $S{\triangle ABC} - S_{\text{扇形}} = 4\sqrt{3} - \frac{120}{360} \times \pi \times 4^2 = 4\sqrt{3} - \frac{16\pi}{3}$。 (评分标准：(1)4分，(2)5分)

23. 解： (1) 将 $A(-1,0)$, $B(3,0)$, $C(0,3)$ 代入 $y=ax^2+bx+c$， 得 $\begin{cases} a-b+c=0 \ 9a+3b+c=0 \ c=3 \end{cases}$，解得 $a=-1, b=2, c=3$。 所以抛物线解析式为 $y = -x^2 + 2x + 3$。 (2) 存在，点 $A$ 关于对称轴 $x=1$ 的对称点是 $B$，所以当 $P$ 在 $AB$ 的垂直平分线上时，即 $P(1,0)$ 时，$\triangle PAB$ 周长最小。 (3) $AB = 4$，设 $M(x, -x^2+2x+3)$。 $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \times AB \times |y_M| = \frac{1}{2} \times 4 \times |-x^2+2x+3| = 2|-(x-1)^2+4| = 6$。 $|-(x-1)^2+4| = 3$。 $-(x-1)^2+4 = 3$ 或 $-(x-1)^2+4 = -3$。 解得 $x_1=0, x_2=2$ 或 $x^2-2x+6=0$ (无实数解)。 当 $x=0$，$y=3$，点 $M(0,3)$。 当 $x=2$，$y=-1$，点 $M(2,-1)$。 (评分标准：(1)3分，(2)3分，(3)5分)

24. 解： (1) $S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$。 面积和谐值” $k = \frac{10 \times \frac{24 \times 2}{10}}{2} = 24$。 (更简单理解：k就是面积本身，所以k=24) (2) 因为 $DE \perp AC$，$DF \perp BC$，$\angle C = 90^\circ$， 所以四边形 $CEDF$ 有三个角是直角，所以它是矩形。 (3) 因为四边形 $CEDF$ 是矩形，$\angle EDF = 90^\circ$。 又 $\angle C = 90^\circ$，$C, E, D, F$ 四点共圆，且 $CD$ 为直径。 $\angle EDF$ 是圆周角，所对的弦是 $EF$。 $\angle A = \angle A$，$\angle AED = \angle AFD = 90^\circ$， $\triangle AED \sim \triangle AFD \sim \triangle ACB$。 $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$，$DE = \frac{8}{10}x = \frac{4}{5}x$。 $\frac{DF}{AC} = \frac{AD}{AB}$，$DF = \frac{6}{10}x = \frac{3}{5}x$。 $S = DE \cdot DF = (\frac{4}{5}x)(\frac{3}{5}x) = \frac{12}{25}x^2$。 因为 $0 < x < 10$，所以当 $x=10$ 时，S最大，但x不能为10，所以S没有最大值。 (修正思路：利用相似三角形和面积比) $\triangle AED \sim \triangle ACB$，$\frac{S{\triangle AED}}{S{\triangle ACB}} = (\frac{AD}{AB})^2 = (\frac{x}{10})^2$。 $S{\triangle AED} = 24 \times \frac{x^2}{100} = \frac{6}{25}x^2$。 同理，$S{\triangle BFD} = 24 \times \frac{(10-x)^2}{100} = \frac{6}{25}(10-x)^2$。 $S{CEDF} = S{\triangle ABC} - S{\triangle AED} - S_{\triangle BFD} = 24 - \frac{6}{25}x^2 - \frac{6}{25}(100 - 20x + x^2)$ $= 24 - \frac{6}{25}(100 - 20x + 2x^2) = 24 - 24 + \frac{120}{25}x - \frac{12}{25}x^2$ $= -\frac{12}{25}x^2 + \frac{24}{5}x$。 $S = -\frac{12}{25}(x^2 - 10x) = -\frac{12}{25}(x-5)^2 + 12$。 因为 $0 < x < 10$，所以当 $x=5$ 时，S有最大值，最大值为12。 (评分标准：(1)2分，(2)3分，(3)5分)

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