九年级上期末数学试卷考点难点有哪些？

这份试卷涵盖了人教版九年级上册的核心知识点,包括：

• 第二十一章 一元二次方程：解法、根的判别式、根与系数的关系、应用题。
• 第二十二章 二次函数：图像与性质、顶点式、交点式、与一元二次方程/不等式的关系、最值问题。
• 第二十三章 旋转：旋转的性质、中心对称、中心对称图形。
• 第二十四章 圆：圆的基本性质、垂径定理、圆心角、圆周角、切线的性质与判定、弧长与扇形面积。
• 第二十五章 概率初步：用列举法（列表法、画树状图法）计算概率。

试卷结构参考了常见的期末考试模式：选择题、填空题、解答题，并附有详细的答案和解析。

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九年级上学期期末数学模拟试卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 方程 $(x-1)^2 = 4$ 的解是 A. $x_1 = 3, x_2 = -1$ B. $x_1 = 3, x_2 = 1$ C. $x_1 = -3, x_2 = 1$ D. $x_1 = -3, x_2 = -1$

2. 抛物线 $y = 2(x-1)^2 + 3$ 的顶点坐标是 A. $(1, 3)$ B. $(-1, 3)$ C. $(1, -3)$ D. $(-1, -3)$

3. 下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 等边三角形 D. 菱形

   
   （图片来源网络，侵删）

4. 已知 $\odot O$ 的半径为 $5$，点 $A$ 到圆心 $O$ 的距离为 $4$，则点 $A$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 A. 点 $A$ 在 $\odot O$ 上 B. 点 $A$ 在 $\odot O$ 外 C. 点 $A$ 在 $\odot O$ 内 D. 无法确定

5. 用配方法解一元二次方程 $x^2 - 4x - 1 = 0$ 时，配方正确的是 A. $(x-2)^2 = 5$ B. $(x-2)^2 = -5$ C. $(x+2)^2 = 5$ D. $(x+2)^2 = -5$

6. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像如图所示，则下列结论中正确的是 （假设图像开口向下，与x轴交于两点，对称轴在y轴右侧） A. $a > 0, b^2 - 4ac > 0$ B. $a > 0, b^2 - 4ac < 0$ C. $a < 0, b^2 - 4ac > 0$ D. $a < 0, b^2 - 4ac < 0$

7. 如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，若 $\angle BOC = 50^\circ$，则 $\angle A$ 的度数是 A. $25^\circ$ B. $30^\circ$ C. $40^\circ$ D. $50^\circ$

   
   （图片来源网络，侵删）

8. 一个不透明的袋子中装有 $5$ 个红球和 $3$ 个白球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球，摸到红球的概率是 A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{3}{8}$ C. $\frac{5}{8}$ D. $\frac{1}{3}$

9. 已知一元二次方程 $x^2 + 2x - 1 = 0$ 的两根为 $x_1, x_2$，则 $x_1 + x_2$ 的值为 A. $-2$ B. $-1$ C. $1$ D. $2$

10. 将抛物线 $y = x^2$ 向左平 $2$ 个单位长度，再向下平移 $3$ 个单位长度，得到的抛物线是 A. $y = (x+2)^2 - 3$ B. $y = (x-2)^2 - 3$ C. $y = (x+2)^2 + 3$ D. $y = (x-2)^2 + 3$

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填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 计算：$\sqrt{18} - \sqrt{8} = \underline{\quad\quad}$。

12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 $\underline{\quad\quad}$。

13. 如图,在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AB = 13$，$BC = 5$，则 $AC = \underline{\quad\quad}$。

14. 如图,$PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A$，$PO$ 交 $\odot O$ 于点 $B$，若 $PA = 6$，$PB = 3$，则 $\odot O$ 的半径为 $\underline{\quad\quad}$。

15. 写出一个开口向下,且对称轴为直线 $x=2$ 的二次函数表达式（答案不唯一）：$\underline{\quad\quad}$。

16. 一个扇形的圆心角为 $120^\circ$，半径为 $6$，则这个扇形的面积为 $\underline{\quad\quad}$。

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解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本题满分8分) 解方程：$(2x-1)^2 - 3(2x-1) = 0$。

18. (本题满分8分) 先化简，再求值：$(\frac{a}{a-1} - \frac{1}{a+1}) \cdot \frac{a^2-1}{a}$，$a = \sqrt{2} + 1$。

19. (本题满分10分) 如图，在 $10 \times 10$ 的网格中，每个小正方形的边长均为 $1$ 个单位长度。 (1) 将 $\triangle ABC$ 向右平移 $5$ 个单位长度，得到 $\triangle A_1B_1C_1$，请画出 $\triangle A_1B_1C_1$。 (2) 将 $\triangle ABC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90^\circ$，得到 $\triangle A_2B_2C$，请画出 $\triangle A_2B_2C$。

20. (本题满分10分) 某商场销售一种进价为 $30$ 元/件的商品，经市场调查发现，该商品每周的销售量 $y$（件）与销售单价 $x$（元/件）之间存在一次函数关系，其部分对应值如下表所示：

销售单价 $x$ (元/件)	$35$	$40$	$45$
销售量 $y$ (件)	$200$	$150$	$100$

(1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式。
(2) 若商场要获得 $4050$ 元的销售利润，且销售单价不低于 $40$ 元/件，求该商品的销售单价应为多少元？

21. (本题满分12分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (k+2)x + 2k = 0$。 (1) 求证：无论 $k$ 取何实数，该方程总有实数根。 (2) 若该方程的两个实数根分别为 $x_1, x_2$，且满足 $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = 2$，求 $k$ 的值。

22. (本题满分12分) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 交 $BC$ 于点 $D$，交 $AC$ 于点 $E$，连接 $AD$、$DE$。 (1) 求证：$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线。 (2) 若 $\angle B = 30^\circ$，$AB = 4$，求图中阴影部分的面积。

23. (本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = -x^2 + bx + c$ 经过点 $A(-1, 0)$、$B(3, 0)$，与 $y$ 轴交于点 $C$。 (1) 求抛物线的表达式。 (2) 点 $P$ 是抛物线上一动点，且点 $P$ 在第一象限，连接 $PC$、$PB$，当点 $P$ 的坐标为多少时，$\triangle PBC$ 的面积最大？求出此时点 $P$ 的坐标和 $\triangle PBC$ 的最大面积。

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参考答案及解析

选择题

1. A (解析：开平方得 $x-1 = \pm 2$，$x = 1 \pm 2$。)
2. A (解析：顶点式 $y = a(x-h)^2 + k$ 的顶点为 $(h, k)$。)
3. D (解析：菱形对角线互相垂直平分，既是轴对称图形，又是中心对称图形。)
4. C (解析：点在圆内，则点到圆心的距离小于半径。)
5. A (解析：配方步骤：$x^2 - 4x = 1$，$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$，$(x-2)^2 = 5$。)
6. C (解析：抛物线开口向下，$a < 0$；与x轴有两个交点，$b^2 - 4ac > 0$。)
7. A (解析：$AB$ 是直径，$\angle A$ 和 $\angle BOC$ 是同弧所对的圆周角和圆心角，$\angle A = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 50^\circ = 25^\circ$。)
8. C (解析：$P(\text{红球}) = \frac{\text{红球数}}{\text{总球数}} = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$。)
9. A (解析：根据根与系数的关系，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$。)
10. A (解析：“左加右减，上加下减”。)

填空题

11. $\sqrt{2}$ (解析：$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$。)
12. $m < 4$ (解析：有不等实根，则 $\Delta = b^2 - 4ac > 0$，即 $(-4)^2 - 4 \times 1 \times m > 0$, $16 - 4m > 0$, $m < 4$。)
13. $12$ (解析：勾股定理，$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$。)
14. $4.5$ (解析：根据切割线定理，$PA^2 = PB \cdot PO$。$6^2 = 3 \cdot (3+2r)$, $36 = 9 + 6r$, $6r = 27$, $r = 4.5$。)
15. $y = -(x-2)^2$ (或 $y = -x^2 + 4x - 4$ 等，答案不唯一) (解析：开口向下则 $a<0$，对称轴 $x=2$ 则 $h=2$。)
16. $12\pi$ (解析：$S_{\text{扇形}} = \frac{n}{360} \pi r^2 = \frac{120}{360} \pi \times 6^2 = \frac{1}{3} \pi \times 36 = 12\pi$。)

解答题

17. 解： 原方程可化为：$(2x-1)(2x-1 - 3) = 0$ $(2x-1)(2x-4) = 0$ $2x-1 = 0$ 或 $2x-4 = 0$ 解得：$x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = 2$。

18. 解： 原式 $= \frac{a(a+1) - 1(a-1)}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{a}$ $= \frac{a^2 + a - a + 1}{a^2 - 1} \cdot \frac{a^2 - 1}{a}$ $= \frac{a^2 + 1}{a}$ 当 $a = \sqrt{2} + 1$ 时， 原式 $= \frac{(\sqrt{2}+1)^2 + 1}{\sqrt{2}+1} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1 + 1}{\sqrt{2}+1} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$ 分子分母同乘以 $\sqrt{2}-1$： $= \frac{(4 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{4\sqrt{2} - 4 + 4 - 2\sqrt{2}}{2 - 1} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2}$。

19. 解： (1) 画图略，将点 $A, B, C$ 分别向右平移 $5$ 个单位得到 $A_1, B_1, C_1$，再连接。 (2) 画图略，将点 $A, B$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 得到 $A_2, B_2$，点 $C$ 不动，再连接。

20. 解： (1) 设 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = kx + b$。 将 $(35, 200)$ 和 $(40, 150)$ 代入，得： $\begin{cases} 35k + b = 200 \ 40k + b = 150 \end{cases}$ 解得：$k = -10$, $b = 550$。 $y = -10x + 550$。 (2) 根据题意，利润 $W = (x - 30)y$。 $W = (x - 30)(-10x + 550) = -10x^2 + 550x + 300x - 16500 = -10x^2 + 850x - 16500$。 令 $W = 4050$，则 $-10x^2 + 850x - 16500 = 4050$。 整理得：$10x^2 - 850x + 20550 = 0$。 化简得：$x^2 - 85x + 2055 = 0$。 解得：$(x-45)(x-45.5) = 0$ (或使用求根公式)，$x_1 = 45$, $x_2 = 45.5$。 因为销售单价不低于 $40$ 元/件，$x_1 = 45$ 和 $x_2 = 45.5$ 都符合题意。 答：该商品的销售单价应为 $45$ 元或 $45.5$ 元。

21. 解： (1) 证明：$\Delta = (k+2)^2 - 4 \times 1 \times 2k = k^2 + 4k + 4 - 8k = k^2 - 4k + 4 = (k-2)^2$。 因为 $(k-2)^2 \ge 0$ 对任意实数 $k$ 都成立， 所以无论 $k$ 取何实数，该方程总有实数根。 (2) 由根与系数关系，$x_1 + x_2 = k+2$, $x_1x_2 = 2k$。 因为 $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1 = 2$， $2k - (k+2) + 1 = 2$。 化简得：$k - 1 = 2$。 解得：$k = 3$。

22. 解： (1) 证明：连接 $BD$。 因为 $AB$ 是直径，$\angle ADB = 90^\circ$。 又因为 $AB = AC$，$\angle B = \angle C$。 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中， $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$, $\angle B = \angle C$, $AD = AD$, $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (AAS)。 $\angle BAD = \angle CAD$，即 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线。 (2) 因为 $\angle B = 30^\circ$，$AB$ 是直径，$\angle AEB = 90^\circ$。 在 Rt$\triangle ABE$ 中，$AB = 4$, $\angle B = 30^\circ$，$AE = \frac{1}{2}AB = 2$。 因为 $\angle AEB = 90^\circ$，$BE$ 是 $\odot O$ 的切线。 连接 $OE$，则 $OE \perp BE$。 又因为 $AB \perp BE$，$OE \parallel AB$。 $\angle B = \angle EOB = 30^\circ$。 $\angle AOE = 60^\circ$。 阴影部分面积 $S = S{\text{扇形 } AOE} - S{\triangle AOE}$。 $S{\text{扇形 } AOE} = \frac{60}{360} \pi r^2 = \frac{1}{6} \pi \times 2^2 = \frac{2}{3}\pi$。 $S{\triangle AOE} = \frac{1}{2} \times OA \times AE \times \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。 $S = \frac{2}{3}\pi - \sqrt{3}$。

23. 解： (1) 因为抛物线 $y = -x^2 + bx + c$ 经过点 $A(-1, 0)$、$B(3, 0)$， $\begin{cases} -(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \ -(3)^2 + b(3) + c = 0 \end{cases}$，即 $\begin{cases} -1 - b + c = 0 \ -9 + 3b + c = 0 \end{cases}$。 解得：$b = 2$, $c = 3$。 所以抛物线的表达式为 $y = -x^2 + 2x + 3$。 (2) 令 $x=0$，得 $y=3$，所以点 $C$ 的坐标为 $(0, 3)$。 点 $B$ 的坐标为 $(3, 0)$。 设直线 $BC$ 的表达式为 $y = kx + m$。 将 $B(3, 0)$, $C(0, 3)$ 代入，得 $\begin{cases} 3k + m = 0 \ m = 3 \end{cases}$，解得 $k = -1$, $m = 3$。 所以直线 $BC$ 的表达式为 $y = -x + 3$。 设点 $P$ 的坐标为 $(x, -x^2 + 2x + 3)$，$x > 0$ 且 $-x^2 + 2x + 3 > 0$，解得 $0 < x < 3$。 点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离为 $d$。 $d = \frac{|-x - (-x^2 + 2x + 3) + 3|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \frac{|x^2 - 3x|}{\sqrt{2}}$。 因为 $0 < x < 3$，$x^2 - 3x < 0$，$d = \frac{3x - x^2}{\sqrt{2}}$。 $\triangle PBC$ 的面积 $S = \frac{1}{2} \times BC \times d$。 $BC = \sqrt{(3-0)^2 + (0-3)^2} = 3\sqrt{2}$。 $S = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} \times \frac{3x - x^2}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2}(3x - x^2) = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x$。 这是一个开口向下的二次函数，当 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{\frac{9}{2}}{2 \times (-\frac{3}{2})} = \frac{3}{2}$ 时，面积 $S$ 最大。 当 $x = \frac{3}{2}$ 时，$y = -(\frac{3}{2})^2 + 2 \times \frac{3}{2} + 3 = -\frac{9}{4} + 3 + 3 = \frac{15}{4}$。 最大面积 $S = -\frac{3}{2}(\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} \times \frac{3}{2} = -\frac{27}{8} + \frac{27}{4} = \frac{27}{8}$。 答：当点 $P$ 的坐标为 $(\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$ 时，$\triangle PBC$ 的面积最大，最大面积为 $\frac{27}{8}$。