九年级上册数学应用题怎么解？
校园之窗 2026年1月30日 08:38:52 99ANYc3cd6
- 一元二次方程：这是九年级上册应用题的重中之重，涉及行程问题、工程问题、增长率问题、利润问题、几何问题等。
- 二次函数：主要解决最优化问题，如最大利润、最大高度、最小面积等，也常与几何图形结合。
- 旋转：主要解决与旋转相关的几何证明和计算问题，如旋转的性质、对应线段、对应角等。
- 圆：涉及垂径定理、圆周角定理、切线的性质与判定等，解决与圆相关的计算和证明问题。
下面我将按照这些知识点,分类提供典型例题、解题思路和详细解答。
一元二次方程应用题
一元二次方程应用题的关键在于“设未知数，列方程”，解题步骤通常是：
- 审题：理解题意，找出已知量和未知量。
- 设元：设一个未知数，其他未知量用它表示。
- 找等量关系：根据题意，找出关键的等量关系（如路程=速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间，增长后的量=原量×(1+增长率)等）。
- 列方程：根据等量关系列出方程。
- 解方程：求出方程的解。
- 检验答：检验解是否符合题意（如人数不能为负，时间不能为负等），并写出答案。
类型1：增长率（下降率）问题
例题：某商场今年一月份的销售额为60万元，三月份的销售额为96万元，求这两个月销售额的平均增长率是多少？
解题思路：
- 设平均增长率为
x。 - 一月份销售额：60万元。
- 二月份销售额：60 × (1+x) 万元。
- 三月份销售额：60 × (1+x) × (1+x) = 60(1+x)² 万元。
- 根据三月份销售额为96万元,列出方程。
解答：
设这两个月销售额的平均增长率为 x。
根据题意，得：
60(1 + x)² = 96
两边同时除以60：
(1 + x)² = 96 / 60 = 1.6
开平方：
1 + x = ±√1.6
x = -1 ± √1.6
因为增长率不能为负，所以舍去负值。
x = -1 + √1.6 ≈ -1 + 1.2649 ≈ 0.2649
答：这两个月销售额的平均增长率约为26.5%。
类型2：利润问题
例题：某商店经营一种童装，已知进价为每件40元，据市场调查，若按每件50元销售，平均每天可售出20件，销售价每上涨1元，销售量就减少1件，在保证每天销售利润不低于800元的前提下，销售价最多可以定为多少元？
解题思路：
- 设销售价上涨了
x元。 - 则销售价为
(50 + x)元。 - 每件的利润为
(50 + x - 40) = (10 + x)元。 - 销售量为
(20 - x)件。 - 总利润 = 单件利润 × 销售量。
- 根据“利润不低于800元”列出不等式，求出
x的范围，再求出销售价的最大值。
解答：
设销售价上涨了 x 元。
则销售价为 (50 + x) 元，每件利润为 (10 + x) 元，销售量为 (20 - x) 件。
根据题意，得不等式：
(10 + x)(20 - x) ≥ 800
展开：
200 - 10x + 20x - x² ≥ 800
整理成标准形式：
-x² + 10x + 200 - 800 ≥ 0
-x² + 10x - 600 ≥ 0
两边同时乘以-1（不等号方向改变）：
x² - 10x + 600 ≤ 0
这个不等式在实数范围内无解，说明我的假设或列式有误，让我们重新审视利润的计算。
重新思考：利润 = (售价 - 进价) × 销量。
售价 = 50 + x
利润 = (50 + x - 40) * (20 - x) = (10 + x)(20 - x)
要求利润 ≥ 800
(10 + x)(20 - x) ≥ 800
200 - 10x + 20x - x² ≥ 800
-x² + 10x - 600 ≥ 0
x² - 10x + 600 ≤ 0
这个二次函数 y = x² - 10x + 600 的判别式 Δ = (-10)² - 4×1×600 = 100 - 2400 = -2300 < 0，且开口向上，所以它永远大于0，这意味着原不等式 -x² + 10x - 600 ≥ 0 永远不成立。
发现问题：题目中的利润要求“不低于800元”，但按50元销售时，利润是 (50-40)*20 = 200 元，上涨价格后，利润应该能超过200元，我们来计算一下最大利润。
利润函数 P(x) = -x² + 10x + 200 是一个开口向下的抛物线，其最大值在顶点处。
顶点横坐标 x = -b/(2a) = -10 / (2 * -1) = 5
当 x=5 时，最大利润 P(5) = -(5)² + 10*5 + 200 = -25 + 50 + 200 = 225 元。
这说明，无论价格如何调整，该商店每天的最高利润只有225元，不可能达到800元。
这道题本身的数据有误,导致无解，在实际学习中，如果遇到这种情况，应检查题目或向老师确认，为了演示正确的解题方法，我们修改一下题目数据，例如将“不低于800元”改为“不低于200元”。
修改后的题目：...在保证每天销售利润不低于200元的前提下，销售价最多可以定为多少元？
解答：
(10 + x)(20 - x) ≥ 200
-x² + 10x + 200 ≥ 200
-x² + 10x ≥ 0
x² - 10x ≤ 0
x(x - 10) ≤ 0
解得 0 ≤ x ≤ 10。
售价上涨最多10元，销售价最多可以定为 50 + 10 = 60 元。
二次函数应用题
二次函数应用题的核心是建立函数模型，求其最值，通常的步骤是：
- 设变量：设自变量
x和因变量y。 - 列关系式：根据题意，用含
x的代数式表示y，得到y与x之间的二次函数关系式。 - 求最值：通过配方法或公式法（
x = -b/2a）求出函数的最值（最大值或最小值）。 - 检验答：检验结果是否符合实际意义。
例题：最优化问题
例题：某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元销售，每天能卖250件，在此基础上，销售价每提高1元，销售量就减少10件，设提高 x 元后的销售利润为 y 元。
(1) 求 y 与 x 之间的函数关系式。
(2) 每件定价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
解题思路：
- (1) 提价
x元，则售价为(25 + x)元，销量为(250 - 10x)件，利润 = (售价 - 进价) × 销量，即可列出关系式。 - (2) (1)中得到的函数是二次函数，开口向下，有最大值，求出顶点坐标即可。
解答：
(1) 提价 x 元后，售价为 (25 + x) 元。
每件利润为 (25 + x - 20) = (5 + x) 元。
销量为 (250 - 10x) 件。
利润 y 与 x 的函数关系式为：
y = (5 + x)(250 - 10x)
y = 1250 - 50x + 250x - 10x²
y = -10x² + 200x + 1250
y = -10(x² - 20x) + 1250
y = -10(x² - 20x + 100 - 100) + 1250
y = -10(x - 10)² + 1000 + 1250
y = -10(x - 10)² + 2250
(或者直接使用顶点公式 x = -b/2a = -200 / (2 * -10) = 10，再代入求 y 值)
(2) 由(1)可知，函数 y = -10x² + 200x + 1250 是一个开口向下的抛物线，其最大值在顶点处。
当 x = 10 时，y 取得最大值。
最大利润 y = -10(10 - 10)² + 2250 = 2250 元。
定价为 25 + 10 = 35 元。
答：每件定价为35元时，每天获得的利润最大，最大利润是2250元。
旋转与圆的应用题
这类问题更侧重于几何图形的性质和逻辑推理。
类型1：旋转问题
例题：如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 上一点，连接 AE，将 △ADE 绕点 A 顺时针旋转90°到 △ABF 的位置。
(1) 求证：AF ⊥ AE。
(2) 若 AB = 4，DE = 1，求 EF 的长度。
解题思路：
- (1) 旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，利用这些性质证明角的关系。
- (2) 旋转后，
△ADE和△ABF全等，利用勾股定理在Rt△ADE中求出AE，再在Rt△AEF中求EF。
解答：
(1) 证明：
因为 △ABF 是由 △ADE 旋转得到的，
∠EAF 是旋转角，等于90°。
AF ⊥ AE。
(2) 解：
因为 △ABF 是由 △ADE 旋转得到的，
△ADE ≌ △ABF。
AE = AF，DE = BF = 1。
在正方形 ABCD 中，AB = 4。
CF = BC - BF = 4 - 1 = 3。
在 Rt△ADE 中，AD = AB = 4，DE = 1，
根据勾股定理，AE² = AD² + DE² = 4² + 1² = 16 + 1 = 17。
AE = √17，AF = √17。
在 Rt△AFC 中，AC² = AF² + CF² = (√17)² + 3² = 17 + 9 = 26。
在 Rt△AEF 中，EF² = AF² + AE² - 2·AF·AE·cos∠EAF。
由于 ∠EAF = 90°，cos90° = 0。
EF² = AF² + AE² = (√17)² + (√17)² = 17 + 17 = 34。
EF = √34。
（另一种更简单的方法）
因为 △ADE ≌ △ABF，AE = AF，∠DAE = ∠BAF。
又因为 ∠DAB = 90°，∠EAF = ∠DAB - ∠DAE - ∠BAF = 90° - 2∠DAE。
这个思路似乎复杂了，还是用第一种方法更直接。
修正第二种方法：
因为 △ADE ≌ △ABF，AE = AF。
在(1)中已证 ∠EAF = 90°。
△AEF 是等腰直角三角形。
EF 是斜边，AE 是直角边。
EF = AE·√2 = √17 · √2 = √34。
这个方法更简洁！
类型2：圆的问题
例题：如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点 E，连接 OC，若 OC = 5，CD = 8，求 OE 的长度。
解题思路：中“直径 AB”和“弦 CD ⊥ AB”是关键，应立即想到垂径定理。
- 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 利用垂径定理,可以找到
CE的长度。 - 在
Rt△OCE中，利用勾股定理即可求出OE。
解答：
因为 AB 是 ⊙O 的直径，CD 是弦，且 CD ⊥ AB，
根据垂径定理，AB 平分 CD。
CE = ED = 1/2 · CD = 1/2 · 8 = 4。
连接 OC，则 OC 是半径，OC = 5。
在 Rt△OCE 中，
根据勾股定理，OC² = OE² + CE²
5² = OE² + 4²
25 = OE² + 16
OE² = 25 - 16 = 9
OE = 3 (长度为正)
答：OE 的长度是3。
