八年级上数学题答案是否准确可靠？

八年级上学期数学核心知识点及典型例题

八年级上学期数学主要围绕全等三角形、轴对称、实数、一次函数、整式的乘除与因式分解展开。

---

第一章 全等三角形

核心考点： 全等三角形的性质与判定（SSS, SAS, ASA, AAS, HL）,角平分线的性质。

例题1：利用“边角边”（SAS）证明全等

** 如图，已知点 C 是线段 AB 的中点，CD ⊥ AB，CE ⊥ AD，求证：△ACD ≌ △BCE。

【答案与解析】

证明： ∵ 点 C 是线段 AB 的中点，（已知） ∴ AC = BC。（线段中点的定义） ∵ CD ⊥ AB，CE ⊥ AD，（已知） ∴ ∠ACD = 90°，∠AEC = 90°。 在△ACD 和△BCE 中： $\begin{cases} AC = BC & \text{(已证)} \ \angle ACD = \angle BCE = 90° & \text{(已证)} \ CD = CE & \text{(等角的余角相等)} \end{cases}$ ∴ △ACD ≌ △BCE。（SAS）

【解题思路】

1. 分析目标： 要证明两个三角形全等,需要找到对应边和对应角相等的条件。
2. 挖掘已知条件：
   • C是AB中点 → 得到AC=BC。
   • CD⊥AB, CE⊥AD → 得到直角，为证明“HL”或“SAS”打下基础。
3. 寻找缺失条件： 现在已知一组边（AC=BC）和一组角（∠ACD=∠BCE=90°），还差一组对应边相等，通过观察，可以证明△ADC和△AEC都是直角三角形，且有一条公共边AC，所以它们是全等的（AAS或ASA），从而得到CD=CE。
4. 应用判定定理： 现在有了“边（AC=BC）、角（∠ACD=∠BCE）、边（CD=CE）”三个条件，符合“SAS”判定公理,问题得证。

---

第二章 轴对称

核心考点： 轴对称图形的性质，线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质与判定。

例题2：利用轴对称解决最短路径问题

** 如图，A、B是两个村庄，它们在河岸l的同侧，要在河边l上修建一个水泵站P，使得A、B两个村庄到水泵站P的距离之和最短，请在图中画出点P的位置,并简要说明理由。

【答案与解析】

作图步骤：

1. 作点A关于直线l的对称点A'。
2. 连接A'B,与直线l的交点即为所求的点P。

理由说明： 在直线l上任意取一个不同于P的点P'，连接AP', BP', A'P'。 根据轴对称的性质,可得：

• AP = A'P
• AP' = A'P' 在△A'BP'中，根据三角形三边关系，有： A'B + A'P' > BP' 将 A'P' = AP' 和 A'B = AP + PB 代入上式： AP + PB + AP' > BP' 即 AP + BP > BP' + AP' 因为 AP + PB = AP + PB = A'B，A'B > BP' + AP' 这意味着，当P点为A'B与l的交点时，AP + BP的值最小。

【解题思路】

1. 模型识别： 这是典型的“将军饮马”问题,核心思想是利用轴对称将折线段之和转化为直线段。
2. 转化思想： 求AP + BP的最小值，可以转化为求A'P + BP的最小值（因为A'P=AP）。
3. 应用公理： 在所有连接A'和B的线中，线段A'B最短，A'B与l的交点P就是使A'P + BP（即AP + BP）最小的点。

---

第三章 实数

核心考点： 平方根、立方根的概念与运算，无理数的概念,实数的运算。

例题3：实数的混合运算

** 计算：$\sqrt{18} - (\pi - 1)^0 + |-2| - \sqrt{8} + (\frac{1}{2})^{-1}$

【答案与解析】

解： 原式 $= 3\sqrt{2} - 1 + 2 - 2\sqrt{2} + 2$ $= (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (-1 + 2 + 2)$ $= \sqrt{2} + 3$

【解题思路】

1. 化简各项：
   • $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
   • $(\pi - 1)^0 = 1$ （任何非零数的0次方等于1）
   • $|-2| = 2$
   • $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
   • $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$ （一个负指数幂等于其倒数的正指数幂）
2. 合并同类项： 将含有根号的项（$3\sqrt{2}$ 和 $-2\sqrt{2}$）合并，将常数项（-1, 2, 2）合并。
3. 得出结果： $\sqrt{2} + 3$

---

第四章 一次函数

核心考点： 函数的概念，一次函数的图像与性质（k, b的意义），用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与方程、不等式的关系。

例题4：一次函数的应用

** 某商店以每件60元的价格购进一种商品，如果以每件80元出售，那么每天可卖出20件，市场调查发现，这种商品每涨价1元，其销售量就减少1件，设该商品的售价为x元（x≥80），每天的销售利润为y元。 (1) 求y与x之间的函数关系式。 (2) 当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【答案与解析】

(1) 求函数关系式 解： 每件商品的利润为 $(x - 60)$ 元。 根据题意，售价每涨1元，销量减1件，售价从80元涨到x元，涨价了 $(x - 80)$ 元。 每天的销售量为 $20 - (x - 80) = 100 - x$ 件。 根据“利润 = 单件利润 × 销售量”，可得： $y = (x - 60)(100 - x)$ $y = -x^2 + 160x - 6000$ 即 y 与 x 之间的函数关系式为 $y = -x^2 + 160x - 6000$ ($80 \le x \le 100$)。

(2) 求最大利润 解法一（配方法）： 由(1)知 $y = -x^2 + 160x - 6000$ $y = -(x^2 - 160x) - 6000$ $y = -(x^2 - 160x + 6400 - 6400) - 6000$ $y = -(x - 80)^2 + 6400 - 6000$ $y = -(x - 80)^2 + 400$ 因为 $(x - 80)^2 \ge 0$，$-(x - 80)^2 \le 0$。 当 $-(x - 80)^2$ 取最大值0时，y有最大值。 $x - 80 = 0$，解得 $x = 80$。 最大利润为 $y = 400$ 元。

解法二（公式法）： 对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$。 这里 $a = -1, b = 160, c = -6000$。 顶点的横坐标为 $x = -\frac{160}{2 \times (-1)} = 80$。 将 $x = 80$ 代入函数式，得 $y = -(80)^2 + 160 \times 80 - 6000 = 400$。 当售价定为80元时，每天的销售利润最大,最大利润是400元。

【解题思路】

1. 分析变量关系： 利y取决于售价x，利润由两部分决定：单件利润和销售量。
2. 建立表达式：
   • 单件利润 = 售价 - 进价 = x - 60。
   • 销售量 = 基础销量 - 因涨价减少的销量 = 20 - (x - 80) = 100 - x。
   • 将两者相乘得到利润函数y。
3. 求最值： 这是一个二次函数求最值的问题，通过配方法或公式法找到其顶点坐标即可，顶点的横坐标就是使利润最大的售价,纵坐标就是最大利润。

---

第五章 整式的乘除与因式分解

核心考点： 幂的运算性质，乘法公式（平方差、完全平方），整式的乘除，因式分解的方法（提公因式法、公式法）。

例题5：因式分解

** 分解因式： (1) $3a^2 - 12ab + 12b^2$ (2) $x^3y - 4xy$

【答案与解析】

(1) 分解 $3a^2 - 12ab + 12b^2$ 解： $3a^2 - 12ab + 12b^2$ $= 3(a^2 - 4ab + 4b^2)$ （第一步：提公因式法） $= 3(a - 2b)^2$ （第二步：利用完全平方公式 $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$）

(2) 分解 $x^3y - 4xy$ 解： $x^3y - 4xy$ $= xy(x^2 - 4)$ （第一步：提公因式法） $= xy(x + 2)(x - 2)$ （第二步：利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$）

【解题思路】

1. 因式分解步骤： 遵循“先提公因式，再用公式”的原则。
2. 提公因式： 观察多项式各项是否有公共的因式（系数和字母），在(1)中，公因式是3；在(2)中,公因式是xy。
3. 套用公式： 提公因式后，观察括号内的多项式是否符合乘法公式的结构。
   • (1) 中的 $a^2 - 4ab + 4b^2$ 是完全平方式。
   • (2) 中的 $x^2 - 4$ 是平方差形式。
4. 分解彻底： 直到括号内的多项式不能再分解为止。