八年级上册数学分解因式的题
校园之窗 2025年12月6日 10:27:47 99ANYc3cd6
核心概念与四大方法
分解因式,就是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，它和整式乘法是互逆的变形。
核心方法（必须掌握）：
提公因式法
这是最基本、最优先考虑的方法。
口诀： 找公因，提出来，括号里面别变样。
步骤：
- 找系数： 找出各项系数的最大公约数。
- 找字母： 找出各项都含有的相同字母，取最低次幂。
- 提公因式： 将找到的公因式提到括号外面。
例题：
分解因式：-3a²b + 6ab² - 9ab
解析：
- 系数： -3, 6, -9 的最大公约数是 -3。（注意：当首项系数为负时，通常把负号也提出来，这样括号内第一项系数为正，更简洁。）
- 字母： 都含有
a和b，a的最低次是 1，b的最低次是 1，所以字母部分是 ab。 - 公因式：
-3ab - 提公因式：
-3ab(a - 2b + 3)
验证： 展开 -3ab(a - 2b + 3) 看看是否等于原式 -3a²b + 6ab² - 9ab。
公式法
常用的公式有三个,必须牢记。
| 公式名称 | 平方差公式 | 完全平方公式 | 完全平方公式（另一形式） |
|---|---|---|---|
| 公式 | a² - b² = (a+b)(a-b) |
a² + 2ab + b² = (a+b)² |
a² - 2ab + b² = (a-b)² |
| 特点 | 两项，异号，能写成平方差 | 三项，首尾两项为平方，中间项为首尾底数乘积的两倍 | 三项，首尾两项为平方，中间项为首尾底数乘积的两倍（且为负） |
例题 1 (平方差公式)：
分解因式：4x² - 9y²
解析：
- 看形式：是两项，且是减号（异号）。
- 写成平方形式：
(2x)² - (3y)² - 套用公式
a² - b² = (a+b)(a-b)：(2x + 3y)(2x - 3y)
例题 2 (完全平方公式)：
分解因式：x² + 4x + 4
解析：
- 看形式：是三项。
- 验证是否符合完全平方公式：
- 第一项
x²是平方项(x)²。 - 最后一项
4是平方项(2)²。 - 中间项
4x是否等于2 * x * 2？是的，2 * x * 2 = 4x。
- 第一项
- 套用公式
a² + 2ab + b² = (a+b)²：(x + 2)²
十字相乘法
这是分解二次三项式 ax² + bx + c (a≠0) 的核心方法。
口诀： 分解常数项，交叉相乘，凑出中间项。
步骤 (以 x² + px + q 为例)：
- 将常数项
q分解成两个整数m和n的乘积，即q = m * n。 - 检查
m + n是否等于一次项系数p。 - 如果相等,则分解结果为
(x + m)(x + n)。
例题：
分解因式：x² + 5x + 6
解析：
- 常数项是
6。 - 分解
6：1 × 6 = 6，和为1 + 6 = 7(不符合)2 × 3 = 6，和为2 + 3 = 5(符合！)
m=2,n=3。- 分解结果为：
(x + 2)(x + 3)
验证： 展开 (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6，正确！
分组分解法
当多项式项数较多（通常是四项）且以上方法都不直接适用时使用。
策略： 分组后，每组内部能使用提公因式法或公式法，并且分组后组与组之间又有公因式可以提取。
例题：
分解因式：ax + ay + bx + by
解析：
- 分组：
(ax + ay) + (bx + by) - 提公因式：
- 第一组
ax + ay提取a，得a(x + y)。 - 第二组
bx + by提取b，得b(x + y)。
- 第一组
- 再提公因式：
a(x + y)和b(x + y)有公因式(x + y)。(x + y)(a + b)
综合解题思路（黄金法则）
拿到一个因式分解题,不要慌，按照这个顺序来：
- 一提： 先看有没有公因式，有就先提公因式。
- 二套： 提完公因式后，看括号内的多项式是否符合公式（平方差、完全平方）。
- 三分： 如果是三项式，且不能用公式，尝试十字相乘法。
- 四组： 如果是四项或更多项，尝试分组分解法。
- 直到： 每个因式都不能再分解为止。
综合例题：
分解因式：3ax² - 6axy + 3ay²
解析：
- 一提： 观察系数
3, -6, 3，有公因式3；观察字母，都有a，所以先提公因式3a。3a(x² - 2xy + y²) - 二套： 现在看括号内的
x² - 2xy + y²，它是一个三项式，符合a² - 2ab + b²的形式，可以用完全平方公式。x² - 2xy + y² = (x - y)² - 最终结果：
3a(x - y)²
易错点辨析
-
分解不彻底： 只分解了一层就停止了。
- 错误：
4x⁴ - y⁴ = (2x² + y²)(2x² - y²)（停止） - 正确：
4x⁴ - y⁴ = (2x² + y²)(2x + y)(2x - y)（继续分解2x² - y²）
- 错误：
-
混淆概念： 分解因式是乘法，不是除法。
- 错误：
x²/x = x - 正确：
x²/x = x(这是化简，不是因式分解)，因式分解的结果是乘积形式，如x² = x * x。
- 错误：
-
符号错误： 提取负号或分组时符号出错。
- 错误：
-x² + 2x - 1 = -(x² - 2x - 1)（括号内符号全反了） - 正确：
-x² + 2x - 1 = -(x² - 2x + 1) = -(x-1)²
- 错误：
-
忘记“一提”： 不先提公因式，直接用其他方法，导致复杂或无法分解。
- 错误：
2x² - 4x - 6直接用十字相乘法，很麻烦。 - 正确： 先提公因式
2，2(x² - 2x - 3)，再用十字相乘法2(x-3)(x+1)。
- 错误：
专项练习题
基础题 (巩固方法)：
8m²n - 4mn²a² - 16x² - 6x + 9y² + 5y + 62x + 4xy
进阶题 (综合运用)：
6. 3ax² - 12axy + 12ay²
7. x²y - 4y
8. (a+b)² - 4(a+b)
9. x² - 2xy + y² - 4
10. x² - 4xy + 4y² - 9
挑战题 (需要技巧)：
11. x⁴ - y⁴
12. a²(b-c) + b²(c-b)
13. x² - 5x - 14
14. 2x² - 7x - 4
15. (x² - 2x)² - 2(x² - 2x) - 3
练习题答案
4mn(2m - n)(a + 4)(a - 4)(x - 3)²(y + 2)(y + 3)2x(1 + 2y)3a(x - 2y)²y(x - 2)(x + 2)(a+b-2)(a+b+2)(x-y)² - 2² = (x-y+2)(x-y-2)(先分组再用平方差)(x-2y)² - 3² = (x-2y+3)(x-2y-3)(先分组再用平方差)(x² + y²)(x + y)(x - y)a²(b-c) - b²(b-c) = (b-c)(a² - b²) = (b-c)(a+b)(a-b)(x-7)(x+2)(2x+1)(x-4)- 设
y = x² - 2x，则原式为y² - 2y - 3 = (y-3)(y+1)，再把y换回去，得(x² - 2x - 3)(x² - 2x + 1)，最后继续分解，得(x-3)(x+1)(x-1)²。
希望这份详细的总结和练习能帮助你学好因式分解！关键在于多练，熟悉各种形式的特征，就能做到得心应手，加油！
