初中数学八年级下试卷

2025-2025学年八年级下册数学期末模拟试卷

(时间：120分钟 满分：120分)

选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列根式中,是最简二次根式的是 A. $\sqrt{8}$ B. $\sqrt{12}$ C. $\sqrt{18}$ D. $\sqrt{3}$

   
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2. 在平面直角坐标系中,点P(-2, 3)关于x轴对称的点的坐标是 A. (2, 3) B. (-2, -3) C. (3, -2) D. (-3, 2)

3. 下列函数中,y的值随x值的增大而增大的是 A. $y = -2x + 1$ B. $y = -\frac{1}{3}x$ C. $y = 3x - 2$ D. $y = -x^2$

4. 一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是 A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形

5. 一次函数$y = kx + b$的图像如图所示，则关于x的不等式$kx + b > 0$的解集是

   
   （图片来源网络，侵删）

   (此处应有一张图像，图像显示直线过第一、三、四象限，与x轴交于点(2,0)) A. $x > 2$ B. $x < 2$ C. $x > -1$ D. $x < -1$

6. 下列命题中,是真命题的是 A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

7. 已知一组数据：1, 2, 3, 4, 5，这组数据的方差是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 10

8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB的长为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

   
   （图片来源网络，侵删）

9. 如图,在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不一定正确的是

   (此处应有一张平行四边形ABCD的示意图，对角线交于O) A. AO = CO B. AB = CD C. AC ⊥ BD D. ∠ABC + ∠BCD = 180°

10. 小明从家出发,步行去图书馆，停留一段时间后返回，他离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系图像大致是

    (此处应有一张图像，图像呈现为：先上升，然后水平，再下降) A. B. C. D.

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 计算：$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \underline{\quad\quad}$。

12. 已知一次函数$y = (m-1)x + m^2 - 1$的图像经过原点，则m的值为 $\underline{\quad\quad}$。

13. 一个样本为：3, 6, a, 4, 8，若这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是 $\underline{\quad\quad}$。

14. 如图,在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，若AC=10，则AD的长为 $\underline{\quad\quad}$。

    (此处应有一张矩形ABCD的示意图，对角线交于O，角AOB为60度)

15. 若点A(a, 5)和点B(3, b)关于y轴对称，则a + b的值为 $\underline{\quad\quad}$。

16. 如图,在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，且AD=1，CD=2，则BD的长为 $\underline{\quad\quad}$。

    (此处应有一张直角三角形ABC的示意图，AC=BC，D在AC上，AD=1, DC=2)

解答题（本大题共8小题，共72分）

17. (本题满分8分) 计算： $(\sqrt{3} + 1)^2 - \sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}}$

18. (本题满分8分) 如图，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12。

    (1) 求AC的长度。 (2) 判断△ABD的形状，并说明理由。

    (此处应有一张三角形ABC的示意图，D为BC中点，AD=12)

19. (本题满分8分) 如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。

    (1) 求证：△ABE ≌ △CDF。 (2) 求证：四边形BEDF是平行四边形。

    (此处应有一张平行四边形ABCD的示意图，E、F在AC上，AE=CF)

20. (本题满分8分) 某校为了解学生每周的课外阅读时间，随机抽取了部分学生进行调查，并将收集到的数据整理成如下不完整的统计图表：

阅读时间(小时)	频数(人数)	频率
0 ≤ t < 2	5	1
2 ≤ t < 4	a	3
4 ≤ t < 6	15	3
6 ≤ t < 8	10	b
8 ≤ t < 10	5	1

请根据图表信息回答下列问题： (1) 本次调查共抽取了多少名学生？ (2) 求出表格中的a和b的值。 (3) 如果该校共有1200名学生，估计每周课外阅读时间不少于6小时的学生有多少名？

21. (本题满分9分) 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且AE=CF。

    (1) 求证：△ADE ≌ △CDF。 (2) 若∠D=60°，AB=4，求四边形ABFE的面积。

    (此处应有一张菱形ABCD的示意图，E在CD上，F在AD上，AE=CF)

22. (本题满分9分) 已知一次函数$y_1 = -x + 4$和$y_2 = 2x - 1$。 (1) 求这两个函数图像的交点坐标。 (2) 当x为何值时，$y_1 > y_2$？ (3) 在同一坐标系中画出这两个函数的图像。

23. (本题满分10分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，AC=6，BC=8。

    (1) 求AB和CD的长。 (2) 求sin∠ACD的值。

    (此处应有一张直角三角形ABC的示意图，∠C=90°，CD为斜边高)

24. (本题满分12分) 某商店购进A、B两种商品，A种商品的进价比B种商品每件便宜10元，用200元购进A种商品的数量与用350元购进B种商品的数量相同。 (1) 求A、B两种商品的进价分别是多少元？ (2) 商店决定将A种商品每件售价定为30元，B种商品每件售价定为50元，计划用不超过800元的资金购进这两种商品共40件，其中A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，问商店有几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？

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参考答案与解析

选择题

1. D
2. B
3. C
4. C (解：(n-2)×180° = 900°, n-2=5, n=7)
5. A (解：由图像可知，当x>2时，图像在x轴上方，即y>0)
6. C
7. B (解：平均数=3，方差$S^2 = \frac{1}{5}[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2] = \frac{1}{5}(4+1+0+1+4) = 2$)
8. C (解：$AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$)
9. C (解：平行四边形的对角线互相平分，但不一定垂直)
10. A (解：离家距离y先随时间x增大而增大，停留时y不变，返回时y减小)

填空题

11. $\sqrt{3}$ (解：$2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$)
12. 1 (解：将(0,0)代入，得$0 = m^2 - 1$，且$m-1 \neq 0$，解得m=1)
13. 5 (解：平均数5，则$3+6+a+4+8=25$，解得a=4，数据排序为3, 4, 5, 6, 8，中位数是5)
14. $5\sqrt{3}$ (解：矩形对角线相等且互相平分，AO=BO=5。∠AOB=60°，AOB是等边三角形，AB=5，在Rt△AOB中，$AD = BC = \sqrt{AO^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$。更正：在矩形中，对角线相等且互相平分，AO=OC=BO=OD=5。∠AOB=60°，AOB是等边三角形，AB=5，在Rt△ABD中，$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$)
15. -2 (解：关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标相等，所以a=-3, b=5，a+b=-3+5=2。更正：A(a,5), B(3,b)关于y轴对称，则a=-3, b=5，所以a+b = -3+5 = 2)
16. $\sqrt{5}$ (解：过点D作DE⊥BC于E，因为∠C=90°，AC=BC，C=45°，在Rt△CDE中，CD=2，∠C=45°，所以CE=DE=CD·sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，在Rt△BDE中，BE=BC-CE=AC-CE=3-$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，BD = \sqrt{BE^2+DE^2} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 - 6\sqrt{2} + 2 + 2} = \sqrt{13 - 6\sqrt{2}}$。更正：过D作DE⊥BC于E，因为AC=BC，∠C=90°，ACB=45°，在Rt△CDE中，CD=2，∠DCE=45°，所以DE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}CD = \sqrt{2}$，BE=BC-CE=AC-CE=3-$\sqrt{2}$，在Rt△BDE中，$BD = \sqrt{BE^2+DE^2} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 - 6\sqrt{2} + 2 + 2} = \sqrt{13 - 6\sqrt{2}}$，这个结果比较复杂，通常题目会设计得更简洁，如果AD=1, DC=2, AC=3, BC=3，那么BD=$\sqrt{BC^2+DC^2-2 \cdot BC \cdot DC \cdot \cos45°} = \sqrt{9+4-2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{13-6\sqrt{2}}$，看来题目数据如此，答案为$\sqrt{13-6\sqrt{2}}$。再次检查题目数据：题目是AD=1, DC=2, AC=3，BC=AC=3，计算无误，或者用坐标系法：设C(0,0), A(3,0), B(0,3)，D在AC上，AD=1，所以D(2,0)。$BD = \sqrt{(0-2)^2+(3-0)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$。看来题目描述有歧义，如果D在AC上，AD=1，那么DC=AC-AD=3-1=2，B(0,3), D(2,0)。$BD=\sqrt{(2-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，这是最可能的情况和答案，我将采用$\sqrt{13}$作为标准答案。)

解答题

17. 解： 原式 = $(\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 - 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$ = $3 + 2\sqrt{3} + 1 - 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$ = $4 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

18. 解： (1) 因为AD是BC边上的中线，所以BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2} \times 10 = 5$。 在△ABD中，$AB^2 = 13^2 = 169$，$AD^2 = 12^2 = 144$，$BD^2 = 5^2 = 25$。 因为$AD^2 + BD^2 = 144 + 25 = 169 = AB^2$， ABD是直角三角形，且∠ADB=90°。 所以AC = AD + DC = 12 + 5 = 17。

    (2) 由(1)可知，$AD^2 + BD^2 = AB^2$，ABD是直角三角形，且∠ADB=90°。

19. 证明： (1) 在□ABCD中，AB ∥ CD，AB = CD。 BAE = ∠DCF。 又因为AE = CF， 所以在△ABE和△CDF中， $\begin{cases} AB = CD \ \angle BAE = \angle DCF \ AE = CF \end{cases}$ ABE ≌ �CDF (SAS)。

    (2) 因为△ABE ≌ �CDF， 所以BE = DF。 同理可证（或利用全等对应角相等）△ADE ≌ △CBF，得DE = BF。 因为BE = DF，DE = BF， 所以BE + DE = DF + BF，即BD = EF。 因为对角线互相平分，所以BO = DO。 又因为EF = BD，所以EO = FO。 所以四边形BEDF的对角线BD和EF互相平分， 所以四边形BEDF是平行四边形。

20. 解： (1) 总人数 = $\frac{0.1}{0.1} = 50$ (人)。 答：本次调查共抽取了50名学生。

    (2) a = 50 × 0.3 = 15 (人)。 b = $\frac{10}{50} = 0.2$。 答：a的值为15，b的值为0.2。

    (3) 阅读时间不少于6小时的学生人数 = 10 + 5 = 15 (人)。 频率为 $\frac{15}{50} = 0.3$。 估计全校有1200 × 0.3 = 360 (名)。 答：估计每周课外阅读时间不少于6小时的学生有360名。

21. 证明与计算： (1) 在菱形ABCD中，AD = CD，∠D = ∠D。 因为AE = CF， 所以AD - DE = CD - CF，即AF = CE。 在△ADE和△CDF中， $\begin{cases} AD = CD \ \angle D = \angle D \ AF = CE \end{cases}$ ADE ≌ △CDF (SAS)。

    (2) 因为△ADE ≌ △CDF，DAE = ∠DCF。 因为AD ∥ BC，DAE = ∠AEB。 AEB = ∠DCF。 因为AB ∥ CD，AEB = ∠CFE。 CFE = ∠DCF， CEF是等腰三角形，CE = CF。 因为∠D = 60°，菱形邻边相等，ABD是等边三角形。 四边形ABFE的面积 = 菱形ABCD的面积 - △CDE的面积 - △ABF的面积。 菱形面积 = AB² · sin60° = 4² × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 8$\sqrt{3}$。 设AF = x，则CE = x，DE = 4-x, BF = 4-x。 △ABF面积 = $\frac{1}{2}$ · AB · BF · sin60° = $\frac{1}{2} \times 4 \times (4-x) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}(4-x)$。 △CDE面积 = $\frac{1}{2}$ · CD · DE · sin60° = $\frac{1}{2} \times 4 \times (4-x) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}(4-x)$。 四边形ABFE面积 = $8\sqrt{3} - \sqrt{3}(4-x) - \sqrt{3}(4-x) = 8\sqrt{3} - 2\sqrt{3}(4-x) = 8\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 2\sqrt{3}x = 2\sqrt{3}x$。 因为AE=CF，$\sqrt{AF^2+DF^2} = \sqrt{CE^2+DE^2}$，即$\sqrt{x^2+(4-x)^2} = \sqrt{x^2+(4-x)^2}$，恒成立，此路不通。 重新思考：由(1)知△ADE≌△CDF，所以S△ADE = S△CDF。 所以S四边形ABFE = S菱形ABCD - S△CDE - S△ABF。 因为△ADE≌△CDF，所以S△ADE = S△CDF。 S四边形ABFE = S菱形ABCD - (S△CDE + S△ABF) = S菱形ABCD - (S△CDF + S△ABF)。 这没有简化，换一种思路： S四边形ABFE = S△ABE + △AFB。 S△ABE = $\frac{1}{2}$AB·AE·sin∠BAE。 S△AFB = $\frac{1}{2}$AB·AF·sin∠BAF。 依然复杂。 最佳解法：连接AC。 S四边形ABFE = S△ABC + S△AEC - S△BFC。 S△ABC = $\frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \sin60° = 4\sqrt{3}$。 设AF=x, 则CE=x。 S△AEC = $\frac{1}{2}$AC·CE·sin∠ACE，需要AC长度和角度。 回到坐标系法：设D(0,0), C(4,0), A(2, 2$\sqrt{3}$), B(6, 2$\sqrt{3}$)，设F(x,0), 则E(4-x,0)。 AE = $\sqrt{(4-x-2)^2+(0-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{(2-x)^2+12}$。 CF = $\sqrt{(4-x-4)^2+(0-0)^2} = |x|$。 因为x>0, 所以AE=CF => $\sqrt{(2-x)^2+12} = x$。 $(2-x)^2+12 = x^2$ $4-4x+x^2+12=x^2$ $16-4x=0$ $x=4$。 这意味着F与C重合，E与D重合，不合理，说明题目条件或我的理解有误。 重新审题：E是CD上点，F是AD上点，AE=CF。 设D(0,0), C(4,0), A(0,4$\sqrt{3}$), B(4,4$\sqrt{3}$)。 设F(0, y), E(x, 0)。 AE = $\sqrt{(x-0)^2+(0-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{x^2+48}$。 CF = $\sqrt{(x-4)^2+(0-0)^2} = |x-4|$。 因为0<x<4, 所以AE=CF => $\sqrt{x^2+48} = 4-x$。 $x^2+48 = 16-8x+x^2$ $48 = 16-8x$ $8x = -32$ $x=-4$，无解。 看来此题数据有问题或过于复杂，在考试中应先做其他题，这里提供一个基于对称性的简单解法（可能不严格）： 因为∠D=60°，ABD是等边三角形，连接AC，BD交于O。 由对称性，当E,F使得AE=CF时，四边形ABFE关于AC对称，所以它是等腰梯形。 其面积 = (上底+下底)×高/2。 下底AB=4，上底EF，需要计算，高为等边三角形的高，即2$\sqrt{3}$。 设∠DAE=α，则AE=AF/cosα。 CF=AE=AF/cosα。 在△CDF中，CF=AF/cosα，∠CDF=60°，DF=AF。 由余弦定理：$CF^2 = DF^2+CD^2-2 \cdot DF \cdot CD \cdot \cos60°$。 $(AF/cosα)^2 = AF^2+4^2-2 \cdot AF \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}$。 $AF^2/cos^2α = AF^2+16-4AF$。 又在△ADF中，$cosα = AF/AD = AF/4$。 代入：$AF^2/(AF^2/16) = AF^2+16-4AF$。 $16 = AF^2+16-4AF$。 $AF^2-4AF=0$。 AF(AF-4)=0。 AF=0(舍)或AF=4。 所以F与A重合，E与B重合，这显然不对。 ：第21题(2)小题数据设置存在问题，无法求解，建议在实际考试中跳过。

22. 解： (1) 由 $y_1 = y_2$ 得 $-x+4 = 2x-1$。 解得 $3x = 5$，$x = \frac{5}{3}$。 将 $x = \frac{5}{3}$ 代入 $y_1 = -\frac{5}{3} + 4 = \frac{7}{3}$。 所以交点坐标为 $(\frac{5}{3}, \frac{7}{3})$。

    (2) 当 $y_1 > y_2$ 时，$-x+4 > 2x-1$。 解得 $-3x > -5$，$x < \frac{5}{3}$。

    (3) 画图略。

    • $y_1 = -x+4$：过点(0,4)和(4,0)。
    • $y_2 = 2x-1$：过点(0,-1)和($\frac{1}{2}$,0)。

23. 解： (1) 在Rt△ABC中，$AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10$。 因为 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CD$， $\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = \frac{1}{2} \times 10 \times CD$。 $24 = 5CD$，$CD = \frac{24}{5} = 4.8$。

    (2) 因为∠ACD + ∠BCD = 90°，∠BCD + ∠B = 90°， ACD = ∠B。 $sin\angle ACD = sin\angle B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

24. 解： (1) 设B种商品的进价为x元，则A种商品的进价为$(x-10)$元。 根据题意，得 $\frac{200}{x-10} = \frac{350}{x}$。 解得 $200x = 350(x-10)$。 $200x = 350x - 3500$。 $150x = 3500$。 $x = \frac{70}{3} \approx 23.33$。 A种商品进价 = $\frac{70}{3} - 10 = \frac{40}{3} \approx 13.33$。 答：A种商品的进价是$\frac{40}{3}$元，B种商品的进价是$\frac{70}{3}$元。

    (2) 设购进A种商品m件，则购进B种商品$(40-m)$件。 根据题意，得 $\begin{cases} \frac{40}{3}m + \frac{70}{3}(40-m) \le 800 \ m \ge 2(40-m) \end{cases}$。 由第一个不等式：$40m + 70(40-m) \le 2400$。 $40m + 2800 - 70m \le 2400$。 $-30m \le -400$。 $m \ge \frac{40}{3}$。 由第二个不等式：$m \ge 80 - 2m$。 $3m \ge 80$。 $m \ge \frac{80}{3}$。 因为m为整数，m \ge 27$。 又因为$\frac{40}{3}m \le 800$，$m \le 60$。 所以m的取值范围是 $27 \le m \le 60$，且m为整数。 获利W = (30 - $\frac{40}{3}$)m + (50 - $\frac{70}{3}$)(40-m) = ($\frac{50}{3}$)m + ($\frac{80}{3}$)(40-m) = $\frac{50}{3}m + \frac{3200}{3} - \frac{80}{3}m$ = $-\frac{30}{3}m + \frac{3200}{3}$ = $-10m + \frac{3200}{3}$。 因为-10<0，所以W随m的增大而减小。 要使W最大，需取m的最小值。 所以当m=27时，W最大。 最大利润W = $-10 \times 27 + \frac{3200}{3} = -270 + 1066\frac{2}{3} = 796\frac{2}{3}$ (元)。 此时购进B种商品数量为40-27=13件。 答：商店有34种进货方案（m从27到60），当购进A种商品27件，B种商品13件时，获利最大，最大利润为$796\frac{2}{3}$元。

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使用建议：

1. 模拟测试：请学生在规定时间内独立完成，模拟真实考试环境。
2. 重点复习：做完试卷后，对照答案解析，找出错误原因，重点复习相关知识点，特别是第19、21、24题，综合性较强，需要重点理解。
3. 查漏补缺：对于填空题第16题等难题，如果无法独立完成，应向老师或同学请教，掌握解题思路。
4. 画图练习：解答题中的几何证明题，一定要动手画图，并规范写出已知、求证和证明过程。