九年级数学上册测试题难点在哪里？

九年级数学上册综合测试题

（考试时间：120分钟 满分：120分）

班级：__ 姓名：__ 分数：__

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选择题（每小题3分，共30分）

1. 方程 $x^2 - 4x = 0$ 的根是 A. $x = 0$ B. $x = 4$ C. $x_1 = 0, x_2 = 4$ D. $x_1 = 0, x_2 = -4$

2. 下列函数中，是二次函数的是 A. $y = 2x - 1$ B. $y = (x-1)^2$ C. $y = \frac{1}{x}$ D. $y = x^3 + 1$

3. 抛物线 $y = (x-2)^2 + 3$ 的顶点坐标是 A. $(2, 3)$ B. $(-2, 3)$ C. $(2, -3)$ D. $(-2, -3)$

4. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 得到 $\triangle AB'C'$，则点 $B$ 的对应点 $B'$ 的坐标是（假设 $A(0,0), B(2,0), C(0,1)$）

A. $(0, 2)$
B. $(2, 0)$
C. $(0, -2)$
D. $(-2, 0)$

5. 已知 $\odot O$ 的半径为 $5$，点 $A$ 到圆心 $O$ 的距离为 $3$，则点 $A$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 A. 点 $A$ 在 $\odot O$ 上 B. 点 $A$ 在 $\odot O$ 外 C. 点 $A$ 在 $\odot O$ 内 D. 无法确定

6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 等边三角形

7. 用配方法解方程 $x^2 - 6x - 2 = 0$ 时，配方正确的是 A. $(x-3)^2 = 11$ B. $(x-3)^2 = 7$ C. $(x+3)^2 = 11$ D. $(x+3)^2 = 7$

8. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，若 $\angle BOC = 40^\circ$，则 $\angle A$ 的度数为


A. $20^\circ$
B. $40^\circ$
C. $50^\circ$
D. $80^\circ$

9. 一个不透明的袋子中装有 $4$ 个红球和 $2$ 个白球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球，摸到红球的概率是 A. $\frac{1}{6}$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{2}{5}$

10. 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是

A. $a > 0$
B. $c < 0$
C. $b^2 - 4ac < 0$
D. $a + b + c < 0$

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填空题（每小题3分，共24分）

11. 方程 $x^2 - 9 = 0$ 的解是 __。

12. 二次函数 $y = 2x^2$ 的图象开口向 __，顶点坐标是 __。

13. 已知一元二次方程 $x^2 - 3x - 1 = 0$ 的两根为 $x_1, x_2$，则 $x_1 + x2 = ______\$，$x_1x2 = ______\$。

14. 如图，$PA, PB$ 是 $\odot O$ 的切线，切点分别为 $A, B$，若 $\angle APB = 60^\circ$，则 $\angle PAB = _______$ 度。


15. 在平面直角坐标系中，将点 $P(-3, 2)$ 向右平移 $2$ 个单位长度，再向下平移 $1$ 个单位长度，得到点 $P'$ 的坐标是 __。

16. 已知扇形的圆心角为 $120^\circ$，半径为 $6$，则这个扇形的面积为 __。（结果保留 $\pi$）

17. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2 - 2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 __。

18. 一个两位数，十位数字比个位数字大 $2$，这个两位数等于十位数字与个位数字之积的 $3$ 倍，设个位数字为 $x$，可列方程为 __。

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解答题（共66分）

（本小题8分）解下列方程： (1) $(x-1)^2 = 4$ (2) $2x^2 - 4x - 1 = 0$ （用公式法）

（本小题8分）先化简，再求值： $(\frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2}) \div \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}$，$x = \sqrt{3} + 1$。

**21.（本小题8分）如图，在 $10 \times 10$ 的网格中，每个小正方形的边长均为 $1$ 个单位长度，将 $\triangle ABC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90^\circ$，得到 $\triangle A'B'C$。

(1) 画出旋转后的 $\triangle A'B'C$。 (2) 求点 $A$ 旋转到点 $A'$ 所经过的路径长。

**22.（本小题10分）如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $CD \perp AB$ 于点 $E$，连接 $OC$，若 $AB = 10$，$OE = 2$。

(1) 求 $\odot O$ 的半径； (2) 求弦 $CD$ 的长。

**23.（本小题10分）某商店销售一种服装，每件成本为 $50$ 元，经市场调查发现，这种服装每天的销售量 $y$（件）与销售单价 $x$（元）满足一次函数关系 $y = -2x + 160$，设销售这种服装每天的利润为 $W$ 元。 (1) 求 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式； (2) 当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

**24.（本小题12分）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0$。 (1) 求证：无论 $k$ 取何实数，方程总有实数根； (2) 若等腰三角形 $ABC$ 的两边长分别为 $a, b$，且满足 $a^2 - 4a + 3 = 0$，$b$ 是方程的一个根，求 $\triangle ABC$ 的周长。

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参考答案

选择题

1. C
2. B
3. A
4. A （解析：B(2,0) 绕 A(0,0) 逆时针旋转90°后坐标为 (0,2)）
5. C
6. C
7. A （解析：$x^2 - 6x = 2 \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = 11 \Rightarrow (x-3)^2 = 11$）
8. A （解析：直径所对的圆周角是直角，$\angle A$ 是圆周角，$\angle BOC$ 是圆心角，$\angle A = \frac{1}{2}\angle BOC = 20^\circ$）
9. C （解析：$P(\text{红球}) = \frac{4}{4+2} = \frac{2}{3}$）
10. D （解析：由图象知，开口向下，$a<0$；与y轴交点在x轴上方，$c>0$；与x轴有两个交点，$b^2-4ac>0$；当 $x=1$ 时，$y=a+b+c<0$）

填空题

11. $x_1 = 3, x_2 = -3$
12. 上，$(0, 0)$
13. $3$，$-1$
14. $30$ （解析：PA, PB是切线，$\angle PAB = \angle PBA$，$\angle PAB = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$）
15. $(-1, 1)$
16. $12\pi$ （解析：$S_{\text{扇形}} = \frac{120}{360} \pi r^2 = \frac{1}{3} \pi \times 6^2 = 12\pi$）
17. $k < 1$ 且 $k \neq 0$ （解析：$\Delta = (-2)^2 - 4k \times 1 > 0$ 且 $k \neq 0$）
18. $10(x+2) + x = 3x(x+2)$

解答题

解： (1) $(x-1)^2 = 4$ $x-1 = \pm 2$ $x-1 = 2$ 或 $x-1 = -2$ $x_1 = 3$，$x_2 = -1$。

(2) $2x^2 - 4x - 1 = 0$ $a = 2, b = -4, c = -1$ $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 16 + 8 = 24$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{24}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$ $x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$。

解： 原式 $= \frac{x(x+2) - 2(x-2)}{(x-2)(x+2)} \div \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}$ $= \frac{x^2 + 2x - 2x + 4}{(x-2)(x+2)} \times \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}$ $= \frac{x^2 + 4}{(x-2)^2}$ 当 $x = \sqrt{3} + 1$ 时， 原式 $= \frac{(\sqrt{3}+1)^2 + 4}{(\sqrt{3}+1-2)^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1 + 4}{(\sqrt{3}-1)^2} = \frac{8 + 2\sqrt{3}}{3 - 2\sqrt{3} + 1} = \frac{8 + 2\sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}}$ 分子分母同乘以 $(4 + 2\sqrt{3})$： $= \frac{(8 + 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})}{(4)^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{32 + 16\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 12}{16 - 12} = \frac{44 + 24\sqrt{3}}{4} = 11 + 6\sqrt{3}$。

解： (1) 图略（A'坐标为(7, 5)，B'坐标为(4, 8)）。 (2) 点 $A$ 的坐标为 $(2, 2)$，点 $C$ 的坐标为 $(5, 5)$。 $AC = \sqrt{(5-2)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。 旋转路径长是弧长，即 $l = \frac{90\pi \times AC}{180} = \frac{\pi}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\pi$。

解： (1) $\odot O$ 的半径 $r = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$。 (2) 连接 $OC$。 因为 $CD \perp AB$，$OE \perp CD$，$E$ 是 $CD$ 的中点。 在 Rt $\triangle OCE$ 中，$OC = 5$，$OE = 2$。 $CE = \sqrt{OC^2 - OE^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}$。 $CD = 2CE = 2\sqrt{21}$。

解： (1) $W = (x - 50)y = (x - 50)(-2x + 160) = -2x^2 + 160x + 100x - 8000 = -2x^2 + 260x - 8000$。 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $W = -2x^2 + 260x - 8000$。 (2) $W = -2x^2 + 260x - 8000 = -2(x^2 - 130x) - 8000$ $= -2(x^2 - 130x + 4225 - 4225) - 8000$ $= -2(x - 65)^2 + 8450 - 8000$ $= -2(x - 65)^2 + 450$。 因为 $a = -2 < 0$，所以抛物线开口向下，当 $x = 65$ 时，$W$ 有最大值。 最大利润是 $450$ 元。 答：当销售单价定为 $65$ 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 $450$ 元。

解： (1) 证明： $\Delta = (2k+1)^2 - 4 \times 1 \times (k^2 + k)$ $= 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4k$ $= 1$。 因为无论 $k$ 取何实数，$\Delta = 1 > 0$,所以方程总有实数根。

(2) 解方程 $a^2 - 4a + 3 = 0$。 $(a-1)(a-3) = 0$。 $a_1 = 1$，$a_2 = 3$。 解方程 $x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0$。 $\Delta = 1$，$x = \frac{2k+1 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{2k+1 \pm 1}{2}$。 $x_1 = k+1$，$x_2 = k$。 即方程的两个根为 $k$ 和 $k+1$。 $b$ 的取值为 $k$ 或 $k+1$。 情况一：$a=1$。 因为 $1, 3, b$ 能构成三角形，$b$ 只能为 $3$。 $k=3$ 或 $k+1=3$（即 $k=2$）。 若 $k=3$，则 $b$ 为 $3$ 或 $4$，当 $b=3$ 时，三边为 $1, 3, 3$，周长为 $7$，当 $b=4$ 时，三边为 $1, 3, 4$，不能构成三角形。 若 $k=2$，则 $b$ 为 $2$ 或 $3$，当 $b=3$ 时，三边为 $1, 3, 3$，周长为 $7$，当 $b=2$ 时，三边为 $1, 3, 2$，不能构成三角形。 所以当 $a=1$ 时，周长为 $7$。 情况二：$a=3$。 因为 $1, 3, b$ 能构成三角形，$b$ 只能为 $1$。 $k=1$ 或 $k+1=1$（即 $k=0$）。 若 $k=1$，则 $b$ 为 $1$ 或 $2$，当 $b=1$ 时，三边为 $3, 3, 1$，周长为 $7$，当 $b=2$ 时，三边为 $3, 3, 2$，周长为 $8$。 若 $k=0$，则 $b$ 为 $0$ 或 $1$。$b$ 不能为 $0$，当 $b=1$ 时，三边为 $3, 3, 1$，周长为 $7$。 所以当 $a=3$ 时，周长为 $7$ 或 $8$。 $\triangle ABC$ 的周长为 $7$ 或 $8$。