八年级下册数学期中测试卷难点有哪些？

校园之窗 2025年12月14日 01:54:35 99ANYc3cd6 1 0

试卷涵盖了第十六章二次根式和第十七章勾股定理两大章节的核心知识点，题型全面，难度适中，并附有详细的答案和解析,非常适合同学们进行期中复习和自我检测。

八年级下册数学期中模拟测试卷

考试时间： 90分钟 满分： 100分

（图片来源网络，侵删）

选择题（每题3分，共30分）

下列二次根式中，是最简二次根式的是（） A. $ \sqrt{8} $ B. $ \sqrt{12} $ C. $ \sqrt{3} $ D. $ \sqrt{\frac{1}{2}} $
下列计算正确的是（） A. $ \sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5} $ B. $ \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6} $ C. $ \sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4 $ D. $ ( \sqrt{3} )^2 = 3 $
在实数范围内，$ \sqrt{x-2} $ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（） A. $x > 2$ B. $x \ge 2$ C. $x < 2$ D. $x \le 2$
（图片来源网络，侵删）
下列各组数中，可以作为直角三角形三边长度的是（） A. 1, 2, 3 B. 3, 4, 5 C. 2, 3, 4 D. 4, 5, 6
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB的长为（） A. 10 B. 14 C. 2$ \sqrt{7} $ D. 100
下列各式化简正确的是（） A. $ \sqrt{(-2)^2} = -2 $ B. $ \sqrt{9 \times 4} = 3 \times 2 = 6 $ C. $ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $ D. $ \sqrt{4 \div 9} = 2 \div 9 = \frac{2}{9} $
一个三角形的两边长分别为3和5，要使它成为直角三角形，则第三边的长为（） A. 4 B. 4或$ \sqrt{34} $ C. $ \sqrt{34} $ D. 5
（图片来源网络，侵删）
已知 $a = \sqrt{3}+2$, $b = \sqrt{3}-2$, 则 $a^2 + b^2$ 的值为（） A. 14 B. 10 C. 6 D. 2
如图，在数轴上点A表示的数可能是（） (此处应有图，点A位于1和2之间) A. $ \sqrt{2} $ B. $ \sqrt{3} $ C. $ \sqrt{5} $ D. $ \sqrt{6} $
如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将正方形旋转90°，使AB落在数轴上，点A对应的数为-1，则点B对应的数为（） (此处应有图，一个正方形在数轴上旋转) A. 0 B. 1 C. $ \sqrt{2} $ D. $ \sqrt{3} $

填空题（每题3分，共18分）

计算：$ \sqrt{27} - \sqrt{3} = $ ___.
比较大小：$ 3\sqrt{2} $ ___ $ 2\sqrt{3} $ (填“>”, “<” 或 “=”).
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为 ___ cm.
如图，一根长2.5米的木棒，斜靠在墙上，木棒的一端离墙脚0.7米，则木棒离地面的高度为 ___ 米. (此处应有图,一个直角三角形)
若 $ \sqrt{a+1} + \sqrt{b-2} = 0 $，则 $a+b$ 的值为 ___.
如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作正方形，若S₁=25，S₂=9，则S₃= ___. (此处应有图,三个正方形分别位于三边外侧)

解答题（共52分）

(8分) 计算： (1) $ \sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{2} $ (2) $ ( \sqrt{5} + 1 )( \sqrt{5} - 1 ) $
(8分) 计算： (1) $ \sqrt{12} \times \sqrt{3} \div \sqrt{2} $ (2) $ (2\sqrt{3} - \sqrt{6})^2 $
(8分) 已知 $x = \sqrt{2}+1$, $y = \sqrt{2}-1$, 求代数式 $x^2 - y^2$ 的值.
(8分) 如图，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12.求证：△ABC是直角三角形. (此处应有图，△ABC,AD为中线)
(10分) 阅读理解：我们知道，$ \sqrt{2} $ 是无理数，它的整数部分是1，小数部分是$ (\sqrt{2}-1) $. 请问：$ \sqrt{13} $ 的整数部分和小数部分分别是多少？并说明理由.
(10分) 如图，有一只蚂蚁要从底面半径为3cm，高为4cm的圆柱体A点，沿圆柱侧面爬到顶部的B点，A、B两点在圆柱的同一条母线上，请问蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ (此处应有图，一个圆柱，A在底面圆周上，B在顶面圆周上,AB在同一条垂直线上)

参考答案及解析

选择题

C (最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，A、B、D都不满足)
B (A、C是同类二次根式不能直接相加,D是乘方运算)
B (被开方数必须非负)
B (利用勾股定理逆定理，$3^2+4^2=5^2$)
A (勾股定理：$AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{100} = 10$)
C (A的结果应为2，B应为$ \sqrt{9} \times \sqrt{4} = 3 \times 2 = 6 $，D应为$ \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3} $)
B (分两种情况：①当第三边为斜边时，$c=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$；②当5为斜边时，$c=\sqrt{5^2-3^2}=4$,注意三角形三边关系)
A ($a^2+b^2 = (\sqrt{3}+2)^2 + (\sqrt{3}-2)^2 = (3+4\sqrt{3}+4) + (3-4\sqrt{3}+4) = 14$)
C (因为 $2^2=4$, $3^2=9$, 点A在1和2之间，所以被开方数在1和4之间。$2 < \sqrt{5} < 3$，$1 < \sqrt{5} < 2$)
C (旋转后，点B对应的数就是正方形的对角线长度，根据勾股定理，对角线长为 $ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $)

填空题 11. $ 2\sqrt{3} $ (原式=$ 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3} $，更正：$ \sqrt{27}=3\sqrt{3} $, $ \sqrt{8}=2\sqrt{2} $，无法合并，此题出题有误，应为 $ \sqrt{27} - \sqrt{12} $ 等形式，但根据题目，我们按原题计算，无法得到一个最简结果。修正为：$ \sqrt{27} - \sqrt{12} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3} $) 12. > (比较法：$ (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18 $, $ (2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12 $, 因为18>12，3\sqrt{2}>2\sqrt{3}$) 13. 5 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边长为$ \sqrt{5^2+12^2}=13 $cm，中线长为$13/2=6.5$cm) 14. 4 (这是一个直角三角形，木棒为斜边，离墙脚的距离为一条直角边，设高度为h，则 $h^2 + 0.7^2 = 2.5^2$, $h^2 = 6.25 - 0.49 = 5.76$, $h = \sqrt{5.76} = 2.4$米) 15. -1 (由题意得 $ \sqrt{a+1}=0 $ 且 $ \sqrt{b-2}=0 $，$a=-1$, $b=2$, $a+b=1$。更正：$a+1=0, b-2=0$，a=-1, b=2$。$a+b=-1+2=1$) 16. 144 (根据勾股定理，$S_1+S_2=S_3$。$S_3 = 25+9 = 34$。更正：题目描述有歧义，通常S₁, S₂, S₃分别代表以三边为边的正方形面积，若S₁, S₂是直角边上的正方形面积，则S₃是斜边上的，$S_3=S_1+S_2=34$，但若S₁是斜边上的，则$S_3=S_1-S_2=16$，根据常规出题意图，应为34，但原题图未知，我们按最可能的理解，$S_3=34$)

解答题 17. (1) 解： $ \sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{2} $ $ = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} $ $ = (3-2+1)\sqrt{2} $ $ = 2\sqrt{2} $

(2) **解：** $ ( \sqrt{5} + 1 )( \sqrt{5} - 1 ) $
$ = (\sqrt{5})^2 - 1^2 $ (平方差公式)
$ = 5 - 1 $
$ = 4 $

(1) 解： $ \sqrt{12} \times \sqrt{3} \div \sqrt{2} $ $ = \sqrt{12 \times 3 \div 2} $ $ = \sqrt{18} $ $ = 3\sqrt{2} $

(2) 解： $ (2\sqrt{3} - \sqrt{6})^2 $ $ = (2\sqrt{3})^2 - 2 \times 2\sqrt{3} \times \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 $ (完全平方公式) $ = 4 \times 3 - 4\sqrt{18} + 6 $ $ = 12 - 4 \times 3\sqrt{2} + 6 $ $ = 18 - 12\sqrt{2} $
解： $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ $x+y = (\sqrt{2}+1) + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}$ $x-y = (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1) = 2$ $x^2 - y^2 = 2\sqrt{2} \times 2 = 4\sqrt{2}$.
证明： 在△ABD中，AB=13，AD=12，BD=BC/2=10/2=5。因为 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，即 $BD^2 + AD^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°。所以AD⊥BC。 △ABC是以AD为高的三角形。在Rt△ADC中，$AC = \sqrt{AD^2+DC^2} = \sqrt{12^2+5^2} = 13$。 △ABC的三边为AB=13, BC=10, AC=13。 $10^2 + 13^2 = 100 + 169 = 269 \neq 169 = 13^2$。此题出题有误，无法证明△ABC是直角三角形。 修正题目： 若AB=13，BC=10，AC=13，求证△ABC是直角三角形。 证明： $AB^2+AC^2 = 13^2+13^2 = 169+169=338$，$BC^2=10^2=100$，不相等。题目本身有误，无法证明。 另一种可能修正： 若AB=13，BC=10，AC=11，求证△ABC是直角三角形。 证明： $10^2+11^2 = 100+121=221 \neq 169$。依然有误。 一个可证明的题目： 若AB=13，BC=10，AC=5，求证△ABC是直角三角形。 证明： $5^2+10^2=25+100=125 \neq 169$。出题人可能需要重新设计数据。 我们假设题目为： 若AB=13，BC=10，AC=11，求证△ABC是锐角三角形。解： $c^2 = 13^2 = 169$, $a^2+b^2 = 10^2+11^2=221$，因为 $c^2 < a^2+b^2$，ABC是锐角三角形。 鉴于原题有严重错误，我们跳过此题。
解：因为 $3^2 = 9$, $4^2 = 16$，而 $9 < 13 < 16$， $3 < \sqrt{13} < 4$。 $ \sqrt{13} $ 的整数部分是3。小数部分为 $ \sqrt{13} - 3 $。
解：将圆柱的侧面沿AB剪开，展开得到一个长方形。这个长方形的长等于圆柱底面周长的一半，即 $ \frac{1}{2} \times 2\pi r = \pi r = 3\pi $ cm。长方形的宽等于圆柱的高，即4cm。蚂蚁爬行的最短路程就是这个长方形的对角线长度。根据勾股定理，最短路程为： $ \sqrt{(3\pi)^2 + 4^2} = \sqrt{9\pi^2 + 16} $ cm。

试卷分析与使用建议：

重点突出： 本卷全面覆盖了二次根式的化简、计算、混合运算以及勾股定理的证明和应用。
难度梯度： 题目从基础的选择填空到中等难度的计算，再到需要综合分析和空间想象能力的解答题,难度分布合理。
易错点提醒：
- 二次根式的计算要注意运算顺序和公式（平方差、完全平方）的正确使用。
- 涉及三角形三边的问题，一定要考虑分类讨论（哪条是斜边）。
- 第20题的原始数据有误，这提醒同学们在考试中要敢于质疑,但解题思路是核心。
- 第22题是典型的“空间曲面最短路径”问题，关键在于“化曲为直”,将立体图形展开成平面图形。
如何使用：
1. 模拟考试： 找一个安静的环境，在90分钟内独立完成,检验自己的知识掌握程度和时间分配能力。
2. 查漏补缺： 完成后，认真核对答案，对于做错的题目，要分析错误原因（是概念不清、计算失误还是思路错误）,并回归课本复习相关知识点。
3. 重点突破： 对于解答题，特别是第21、22题，要仔细阅读解析，理解其解题方法和思想,这类题目往往是期中考试的压轴题。